Ce texte montre l’aide que peut apporter le logiciel Xcas pour progresser vers la solution de deux problèmes du XVIIe siècle. Présentés comme des défis pour les mathématiciens de l’époque, ils peuvent, aujourd’hui, être pratiquement abordés par un élève de lycée. Énoncé et solution se fondent instantanément en un clic, ce qui permet d’obtenir les résultats demandés en un temps record.
Pour le premier défi – une équation de Pell –, nous dégageons une loi qui permet de trouver d’autres solutions à partir de l’une d’entre elles. Puis, en utilisant un algorithme datant des premiers siècles de l’ère chrétienne, nous construisons des programmes qui permettent de trouver une solution minimale.
Pour le deuxième défi – une égalité pythagoricienne –, nous construisons d’abord une solution qui chemine par les connaissances exigibles d’un élève du secondaire. Puis, toujours avec les outils élémentaires, nous donnons une forme plus générale au problème. Enfin, par l’utilisation de la géométrie dynamique et du calcul formel, laquelle se résume par définir et observer, nous reléguons au musée ce qui précède.
Quelques notes historiques agrémentent le texte autour de l’interrogation sur Fermat et les preuves.
Sommaire
- Défi arithmétique
- L’énoncé
- Exemple de Fermat
- Les solutions minimales observées pour α <100
- Vers la solution – Le principe
- La règle
- Les programmes
- Défi géométrique
- L’énoncé
- Une solution aujourd’hui
- Euler relève le défi
- Fermat avait-il la solution ?
- Étude d’un lieu
- Un problème cousin
- Géométrie dynamique et calcul formel
- Annexes
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