Après un travail de précurseur remarquable de Pasch (1882), l’histoire a surtout retenu Les fondements de la Géométrie de Hilbert (1899) comme première tentative moderne d’axiomatisation de la géométrie euclidienne.

Mouvement et congruence

Pour Hilbert il s’agissait de mettre en pratique, sur l’exemple de la géométrie, son projet formaliste. Si le travail axiomatique (indépendance des groupes d’axiomes, causalité, catégoricité de la théorie construite) et le foisonnement des recherches (géométrie non legendrienne, géométrie semi-euclidienne) sont considérables à l’époque autour des fondements de la géométrie, il reste, avec le recul historique, que la démarche ne sortait pas, malgré tout cela, d’un certain empirisme, en particulier parce que l’incidence et la congruence sont données a priori, et, en dernière analyse, encore fondées sur l’intuition de l’espace.

« Pour Hilbert, et pour tous les mathématiciens semble-t-il, l’énoncé des axiomes de la géométrie se fonde sur les propriétés intuitives des points, droites etc. On pourrait dire que c’est la position d’Euclide et interpréter en partie, l’histoire des débats sur les fondements de la géométrie comme l’histoire d’une défiance de plus en plus grande vis-à-vis des vérités appuyées sur l’intuition de l’espace, mais qui aboutit à la constatation qu’on ne peut pas s’en passer totalement. »
Gilbert Arsac - « Axiomatique de Hilbert » - Édition Aléas (IREM de Lyon)

C’est aussi la position de Poincaré qui, à l’opposé de Hilbert, est l’un des premiers mathématiciens à s’inscrire résolument dans une voie intuitionniste :

« C’est par la logique qu’on démontre, c’est par l’intuition qu’on invente… La faculté qui nous apprend à voir c’est l’intuition ; sans elle, le géomètre serait comme un écrivain ferré sur la grammaire, mais qui n’aurait pas d’idée. »
Poincaré - Science et Méthode, p. 137

Pour lui, seule la perception du mouvement fonde l’expérience que l’on a de l’espace et des objets dans l’espace. Il précise qu’une axiomatique fondée sur la congruence doit incorporer d’une façon ou d’une autre le mouvement :

« ...deux figures sont égales quand on peut les superposer ; pour les superposer il faut déplacer l’une d’elle jusqu’à ce qu’elle coïncide avec l’autre, mais comment faut-il la déplacer ? Si nous le demandions, on nous répondrait sans doute qu’on doit le faire sans la déformer à la façon d’un solide invariable. Le cercle vicieux serait alors évident. […]
Cependant toute imparfaite qu’elle soit, cette définition implique un axiome. La possibilité du mouvement d’une figure invariable n’est pas une vérité évidente par elle-même, ou du moins elle ne l’est qu’à la façon du postulatum d’Euclide et non comme le serait un jugement analytique a priori. D’ailleurs en étudiant les définitions et les démonstrations de la géométrie, on voit qu’on est obligé d’admettre, sans les démontrer, non seulement la possibilité de ce mouvement, mais encore quelques-unes de ses propriétés.
C’est ce qui ressort d’abord de la définition de la ligne droite. On en a donné beaucoup de défectueuses, mais la véritable est celle qui est sous-entendue dans toutes les démonstrations où la ligne droite intervient :
« Il peut arriver que le mouvement d’une figure invariable soit tel que tous les points d’une ligne appartenant à cette figure restent immobiles pendant que tous les points situés en dehors de cette ligne se meuvent. Une pareille ligne s’appelle une ligne droite. »
Nous avons à dessein, dans cet exposé, séparé la définition de l’axiome qu’elle implique. »
Poincaré - La Science et l’Hypothèse (1902) – Éd. Champs Flammarion, p. 70-71

D’autres mathématiciens, impliqués, comme Hilbert, dans une démarche axiomatique font une critique différente et proposent, dès 1905, des prémisses axiomatiques basées sur les symétries orthogonales. C’est en particulier le cas de Hjelmslev qui est le premier à développer, en 1907, à partir des faisceaux (et l’étude de la composition de trois symétries), une théorie qui contient le cas hyperbolique.

Si ces travaux des deux premières décennies du XX^e siècle approfondissent de plus en plus finement les liens, les causalités et d’une manière générale les dépendances entre les axiomes ou l’expression de diverses notions, ils participent également à l’élaboration d’une axiomatique au sens où nous l’entendons maintenant, avec des axiomes totalement indépendants des expériences sensibles, les notions d’interprétation des axiomes et de modèle.

L’incidence dégagée de l’empirisme

Il a fallu attendre 1924 pour que le formalisme naissant propose une première axiomatique de la géométrie (euclidienne). La nouveauté logique introduite alors par Geiger est de travailler sur deux ensembles d’objets indépendants, et de définir une relation entre ces objets : concrètement on considère un ensemble Γ de points, un ensemble ∆ de droites et une relation I qui exprime la correspondance que peuvent avoir un point et une droite. La relation I est définie sur le produit cartésien Γ × ∆ ; elle correspond à l’incidence usuelle.

La relation d’incidence définie sur un produit cartésien d’ensemble donne une symétrie naturelle à l’incidence, symétrie bien entendu présente à l’esprit de chacun dans tout système d’axiomes, mais généralement exprimée de manière dissymétrique puisque l’incidence est décrite par des termes différents selon qu’on lise A I d : un point « appartient » à une droite, ou « est sur » une droite, alors qu’une droite « passe par » ou « contient » un point, quand on exprime oralement d I I. Dans ce contexte, une géométrie métrique est une géométrie pour laquelle, en plus de la relation d’incidence sur Γ × ∆, on dispose aussi d’une relation d’orthogonalité sur ∆ × ∆.

Au-delà de la seule démarche axiomatique, l’activité autour du formalisme en général est très riche, en particulier avec les travaux de Russel et de Whitehead et leur propre école de logicisme. La rencontre entre les deux démarches ne pouvait que se faire rapidement, et a atteint très rapidement les sommets que l’on sait : avec Ackermann, en 1928, Hilbert soulève cette question :

« Étant donné un système formel, avec un langage, des axiomes, des règles de déduction et une notion d’interprétation dans des structures mathématiques, toute assertion vérifiée dans toute interprétation est-elle formellement déductible des axiomes ? »

Gödel s’empare de la question et y répond par l’affirmative (théorème de complétude des prédicats) en 1929, puis il montre deux ans plus tard ses deux fameux théorèmes d’incomplétude qui répondent, eux, par la négative, au problème n° 2 de Hilbert : il n’est pas possible à une théorie qui contient l’arithmétique de prouver en elle-même sa propre non-contradiction.

Si ces résultats fondamentaux, tout en ouvrant de nouvelles recherches en logique, signent la fin du projet de Hilbert de concevoir le formalisme comme mode de pensée auto-référent des mathématiques, elles n’affectent en rien les problématiques de l’axiomatique pour elle-même.

Première et seconde axiomatisation

Quand on examine les ouvrages d’enseignement supérieur (premier cycle) qui nous présentent l’axiomatique de Hilbert (ou une variante) on voit souvent en préambule, une présentation qui prépare à une première axiomatisation, à savoir une lecture de l’espace euclidien tel que nous le percevons. L’une de ces introductions les plus caractéristiques est peut-être la présentation des origines empiriques de la congruence par Bela Kerekjarto :

« Les bases empiriques de la géométrie sont fournies par l’examen des mouvements des corps rigides. Après être arrivé par abstraction à la notion de »point« , on voit que lorsqu’un corps rigide est fixé en deux points, il y a certains points qui restent à leur place lors de tous les mouvements encore possibles du corps ; l’ensemble de ces deux points forme une »droite". Si le corps est fixé par deux points d’une droite, les points de la droite en question, et eux seuls, restent à leur place ; ce qui peut s’exprimer de la façon suivante : deux points quelconques déterminent une droite et cette droite est déterminée par n’importe lequel de deux de ses points.

En faisant continuellement tourner le corps rigide autour d’une de ses droites, tous les points du corps reviennent après une certaine rotation à leur place initiale ; cette rotation est nommée rotation complète autour de la dite droite. Une rotation dont la répétition donne une rotation complète est appelée demi-rotation. Certaines droites se transforment elles-mêmes après avoir effectué une demi-rotation autour d’une droite : ce sont des droites perpendiculaires à notre droite. Par une rotation complète autour d’une droite, toute droite perpendiculaire à la droite fixée décrit un « plan ». L’arrangement des points sur la droite est conforme à l’ordre de succession dans le temps selon lequel un point, en décrivant la droite, les parcourt.

Nous passons de la notion de corps rigide à celle de figure géométrique en faisant abstraction de la matière du corps et en ne considérant que la place occupée par elle dans l’espace. Deux figures seront nommées congruentes si l’une peut être superposée à l’autre par un certain mouvement (déplacement). Deux mouvements successifs peuvent être remplacés par un seul mouvement : il s’en suit que lorsqu’une figure est congruente à une autre et celle-ci à une troisième, la première figure est aussi congruente à la troisième".
« Les fondements de la géométrie » - Bela Kerekjarto – Gauthier-Villars – 1969 (Édition originale en 1937).

On voit bien ici qu’on ne sort pas du rapport au mouvement. Kerekjarko reprend, à sa façon, le même argument que Poincaré ci-dessus. Pourtant la démarche axiomatique envisage, elle, d’aller au delà, et cherche, dans cette première axiomatisation de l’espace que représente la géométrie euclidienne, des propriétés qui vont être des invariants absolus, vrais aussi pour la géométrie hyperbolique, et surtout elliptique, et ceci, plus particulièrement dans une démarche algébrique initiée par Klein dans son programme d’Erlangen.

C’est cette démarche qu’analyse par exemple Gonseth quand il présente ce qu’il appelle la double axiomatisation :

« S’il [Le géométrique] naît de l’intuitif par un acte de schématisation qui est déjà une axiomatisation, il est ensuite axiomatisé par ce nouvel acte de schématisation qui en dégage la structure logique profonde. Autant dans le premier acte que dans le deuxième, l’abstraction comporte une perte de détermination et de capacité représentative de la totalité, qui est en même temps un gain de capacité représentative d’un ou plusieurs aspects du concret. Le deuxième acte est en particulier marqué par une perte de substance des notions mathématiques dégagées lors du premier acte, une perte de « tout ce qui rappelle leur signification dans le monde des phénomènes directement perçus par nos sens ».
Dans la double axiomatisation dont surgit la géométrie axiomatique, la première conserve ainsi les formes particulières des phénomènes, tandis que la deuxième ne conserve que la structure logique des rapports entre ces formes. Pourtant ce qui reste de particulier après la première axiomatisation « consiste avant tout dans le souvenir des réalisations où les notions ont été primitivement aperçues » de sorte que, si « l’idée du géométrique a sa source dans l’intuitif, […] sa sphère d’existence spécifique est comprise entre la première axiomatisation qui lui faisait un visage abstrait face au côté intuitif de notre connaissance et la seconde qui en fait un concret face au côté purement logique ».
« Les philosophes et les mathématiques » ouvrage collectif coordonné par E. Barbin et M. Caveing – Ellipses & IREM – 1996. Monographie consacrée à Gonseth, par Marco Panza, p. 270.

Un enseignant est nécessairement sensible à cette description où l’existence spécifique du géométrique est quelque part entre les deux axiomatisations : pour nous c’est toute l’ambiguïté des programmes de géométrie dans le secondaire qui est décrite ici, et dans une certaine mesure, celle d’une formation initiale dans laquelle, pour l’écrit du CAPES nous sommes plus dans une ratio cognoscendi (voie de la reconstruction formelle) alors que pour l’oral, intégrant des éléments de professionnalisation, elle doit s’inscrire dans une ratio essendi (voie effective de la découverte), respectivement liées à la seconde et à la première axiomatisation.

Lecture algébrique de l’orthogonalité et de l’incidence

Pour construire une seconde axiomatique de la géométrie qui contienne en elle-même les trois géométries, Bachmann, après d’autres, dans un prolongement historique, pose un regard algébrique encore plus profond sur les propriétés euclidiennes pour en tirer une algébrisation de l’incidence et de l’orthogonalité. On a mentionné la première lecture algébrique de Klein pour qui la géométrie est l’étude d’un groupe opérant sur un ensemble, et plus précisément sur un ensemble de points et des ensembles de points particuliers que sont les droites. Bachmann va pousser ce projet jusqu’à son aboutissement algébrique puisqu’il va supprimer... l’ensemble sur lequel opère le groupe : il va opérer sur lui-même.

Pour cela Bachmann nous invite à observer (comme Kerekjarto) non pas le monde sensible, mais la géométrie euclidienne, et dans cette géométrie, non pas le champ des configurations — directement lié à la première axiomatisation — mais plutôt à développer une perception structurelle, algébrique, sur les transformations euclidiennes planes.

L’axiomatique qu’il propose est construite sur un groupe, opérant sur lui-même. Les objets premiers de cette axiomatique vont être les transformations qui vont générer le groupe. Elle vont correspondre aux droites : ce seront des générateurs d’ordre 2.

Observons alors ce que va être un point :

<carmetal|doc=731|largeur=790|hauteur=523>

Puis ce que va être l’incidence

<carmetal|doc=732|largeur=790|hauteur=523>

On voit bien apparaitre la conjugaison comme action du groupe : si A est incident à d on a (Ad).(Ad)=1 soit dAd=A : un point va être incident à une droite si l’action de la droite sur le point le laisse invariant, mais aussi bien l’inverse AdA = A et donc que l’action d’un point sur une droite laisse la droite invariante (puisque d et A sont d’ordre 2 chacun est égal à son inverse).

On a déjà souligné que cette approche s’inscrit dans une perspective historique. Nous y reviendrons dans les présentations de l’axiomatique de Bachmann. Signalons quand même que — au moins d’un point de vue opérationnel — cette approche est déjà présente dans les cours de géométrie anallagmatique (du célèbre Deltheil & Caire) : les points pouvaient être considérés comme des cercles de rayon nul et l’orthogonalité de ces cercles-points avec les autres étaient interprétée — et intervenait dans les calculs — comme une incidence. La nouveauté ici est bien sûr la démarche totalement algébrique de cette axiomatique.

Prolongements

Après un tour d’horizon sur différentes interprétations, de géométries finies, mais aussi de la géométrie euclidienne, nous avons vu une présentation succincte d’un modèle du cas hyperbolique et d’un autre du cas elliptique.

Nous poursuivrons dans de futurs articles par une présentation des premières propriétés de ces géométries (qui seront alors une première axiomatisation) puis nous utiliserons ces premières représentations comme support à une analyse de seconde axiomatisation pour entrer dans la présentation de l’axiomatique de Bachmann.

En attendant cette mise en ligne dynamique sur le site de l’IREM (qui sera disponible en aout 09) les personnes intéressées peuvent regarder un premier travail assez complet sur ce thème en PDF (139 pages - 10 Mo) et, partiellement en ligne, en manipulation directe ici.

Signalons que cette axiomatique cherche essentiellement à reconstruire les géométries usuelles. Et donc, même si on retrouve des géométries exotiques, comme dans le projet de Hilbert, les géométries construites seront arguésiennes, on ne retrouvera donc pas, par exemple, le plan de Moulton que l’on a déjà étudié comme autre type de géométrie non euclidienne, à savoir une géométrie non arguésienne et en particulier le fait qu’il n’y a pas — dans ce cas — de relation entre mouvement et congruence.