PREMIÈRE PARTIE : UN PEU D’HISTOIRE AUTOUR DU THÉORÈME DE PYTHAGORE

Un théorème aussi important que le théorème de Pythagore a un avant, un pendant et un après. Environ 3000 ans d’histoire au total. Avant, nous étudierons une tablette babylonienne datée vers -1800 et quelque peu étonnante. Pendant, il y a toute une histoire de l’auteur présumé du théorème jusqu’à la forme léguée par Euclide 300 ans plus tard. Après, il a bien fallu des traducteurs et des transmetteurs. Tout cela agrémenté de démonstrations utilisables au collège.

Le problème

Voici une propriété (évidente ?) du triangle rectangle isocèle : le carré construit sur sa base est égale à la somme des carrés construits sur les côtés de l’angle droit.

Pour démontrer cette propriété, nous allons nous contenter de découper les triangles-unités. Nous vérifions que nous avons de chaque côté le même nombre de triangles-unité, à savoir 4. Les nombres et les mesures sont pratiquement inutiles !

Conjecture : la propriété reste vraie si le triangle est rectangle mais n’est plus isocèle.

Avant Pythagore

Et même bien avant Pythagore puisque nous sommes environ 1300 ans
auparavant. Une tablette incroyable, conservée pendant 3000 ou 4000 ans dans le désert et maintenant à l’université de Yale, montre l’habileté d’au moins un homme de Mésopotamie dans le tracé du carré et de ses diagonales ainsi que leurs mesures. Un artiste !

Cette tablette est unique. Elle porte sur le côté du carré sa mesure 30 soit 0,5 en
base 60. Sur la diagonale on peut lire 1 24 51 10, ce qui donne $1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}$.
Et sous cette inscription 42 25 35, c’est-à-dire 0 plus 42 soixantièmes, etc.

Vous avez deviné. Une utilisation du futur théorème de Pythagore. Dans le triangle isocèle de côté 30 soixantièmes, la diagonale mesure 0 42 25 35. Et nous avons en prime une excellente valeur approchée de $\sqrt{2}$. Difficile à croire, n’est-il pas ?

Nous ne pouvons pas en déduire des choses très précises sur l’organisation de
l’école. Simplement, 1800 ans avant, en Mésopotamie, un homme avait compris
comment mesurer la diagonale d’un carré. Et il avait eu l’heureuse idée de graver son résultat sur une tablette d’argile.

Pythagore de Samos (580-500)

Tout est nombre (Pythagore).

À ce voisin, dans le temps comme dans l’espace, de Thalès, on attribue la démonstration du théorème de l’angle droit. Depuis la haute antiquité jusqu’à nos jours, sur les chantiers de par le monde, il est une méthode commode pour implanter un angle droit. Vous prenez une corde à 13 nœuds. Elle délimite 12 segments égaux. Tendez bien la corde et vous aurez un angle droit. Pythagore a transformé cette vieille connaissance empirique et pratique des maçons en un théorème.

La vie de Pythagore nous serait mieux connue que celle de Thalès. Conditionnel de rigueur. Né à Samos, il aurait connu son célèbre voisin. Il est allé en Égypte pour s’initier à la géométrie comme cela se faisait en son temps. De retour dans son île, il aurait essayé de se faire une place auprès du tyran local. Samos n’était pas une démocratie. Il est certain qu’il a quitté Samos pour la Grande Grèce, une colonie du sud de l’Italie. De son plein gré ou chassé ?

En Grande Grèce, il a fondé une école entièrement à sa dévotion, très hiérarchisée. Grand Maître entouré de ses disciples comme cela se fait encore, Pythagore ne semble pas avoir été un démocrate, plutôt un gourou. Avec Thalès et Pythagore, nous avons deux versions de la politique. Ce dernier connut un certain succès en politique avec ses disciples.

Le théorème de Pythagore est un théorème de construction

L’énoncé porte sur des surfaces, sur les surfaces de carrés.

Théorème : soit un triangle ABC rectangle en A. Alors : le carré construit sur l’hypoténuse BC est égal à la somme des carrés construits sur les côtés de l’angle droit, AB et AC.

Intéressons-nous à quelques démonstrations du théorème de Pythagore.

La démonstration classique dans les livres anciens est reprise dans les Éléments d’Euclide, toujours lui. La démonstration de Pythagore était-elle la même ?
Peut-être. Peut-être pas, car la démonstration d’Euclide est assez savante et complexe. Dans l’esprit de Pythagore, l’idée devait être celle d’Euclide, superposer des surfaces. Par contre, le procédé était sûrement différent. Une façon intéressante de procéder est le découpage. Souvent une démonstration suggère de découper un ou deux carrés et d’utiliser les morceaux pour reconstituer le dernier carré.

Première démonstration

Le grand carré construit sur AC est égal à la somme des deux petits carrés construits sur AB et BC. Certes. Il reste à localiser ces carrés et à mettre en place une démonstration basée sur les propriétés des triangles ou sur le découpage et les surfaces superposables.

Deuxième démonstration

Rappelons que l’exercice consiste à découper les morceaux de triangles et à appliquer la méthode des surfaces superposables, i. e. égales. Après découpage, on se retrouve avec un puzzle de 6 morceaux.

Ce premier voyage nous fait remonter aux débuts de la civilisation grecque, avant, par exemple, le siècle de Périclès. Nous avons assisté à la naissance de la mathématique par démonstration. Ce que certains ont nommé « le miracle grec » a commencé. Nous entrons dans le monde des certitudes en géométrie, sur des objets simplifiés. Les démonstrations de ces géomètres sont perdues, pas leurs théorèmes, loin de là, puisqu’ils forment toujours le coeur de notre enseignement.
Comme par hasard, ces théorèmes primitifs sont encore et toujours nos premiers théorèmes dans l’enseignement. Ne pas en déduire qu’on doit enseigner dans l’ordre historique. Cependant, la construction historique a un ordre et ne pas tenir compte de cet ordre a aussi de graves inconvénients dans certains cas.
Le fait est que les premiers géomètres ont réglé en priorité les problèmes des parallèles et de l’angle droit par des résultats sur les mesures de longueurs et de surfaces. Clairement, ces résultats sont définitifs et font partie du patrimoine de l’humanité.

Troisième démonstration

Ces démonstrations furent en fait éclipsées pendant 2000 ans par celle donnée
par Euclide vers 300 avant J.-C., qui fut la référence à travers toutes les civilisations méditerranéennes. Probablement celle qui vous fut enseignée, basée toujours sur l’égalité des surfaces, mais par raisonnement direct sur la figure.

Les deux idées sont les suivantes :

1. Les triangles DBC et ABF sont égaux.
2. Le triangle ABF a une aire moitié de celle du rectangle BHGF.

Alors, Pythagore et son école ont-ils démontré le théorème ? Nous ne le saurons
probablement jamais. Les informations sont trop indirectes. L’école mystique du
gourou Pythagore avait institué une religion autour de la notion de nombre. Le monde était organisé autour des nombres.

La démonstration léguée par Euclide trois cents ans après Pythagore sera reprise par tous ceux qui firent leur apprentissage des mathématiques dans les fameux Éléments d’Euclide. Quand on connaît la démonstration, elle parait simple et plutôt naturelle. En fait sa rédaction, le discours associé aux faits géométriques, est assez obscure. Le « discours » d’Euclide est difficile à lire. Comme d’habitude, trop de rigueur fait perdre une bonne partie du sens.
Voici par exemple l’avis de Schopenhauer :

Shopenhauer, dans Le monde comme volonté et comme représentation, qualifie cette démonstration d’étrange et d’absurde. Il écrit : "Elle se donne une peine infinie pour détruire l’évidence, qui lui est propre, et qui d’ailleurs est plus à sa portée, pour lui substituer une évidence logique. [...] À nos yeux, la méthode d’Euclide n’est qu’une brillante absurdité. La démonstration boiteuse et même captieuse d’Euclide nous abandonne au pourquoi, tandis que la simple figure, [...] nous fait entrer du premier coup, et bien plus profondément que la démonstration, au cœur même de la question : elles nous amène à une plus intime conviction de la nécessité de cette proposition et de sa liaison avec l’essence même du rectangle" (Évelyne Barbin, L’océan Indien au carrefour des mathématiques arabes, chinoises, européennes et indiennes, p. 340).

En résumé, pour un géomètre, la figure a une force de persuasion que n’a pas le texte. Le texte est indispensable puisqu’il porte la démonstration que nous ne savons pas faire avec la seule figure. Mais la figure porte les faits et le texte seul n’a aucun sens. Toute la difficulté vient du lien entre ces deux langages des mathématiques, du passage de l’un à l’autre.

Civilisation chinoise : Liu Hui, 3ème siècle

La démonstration de Liu Hui. Cette démonstration n’utilise pas de discours, et seulement quatre mots "bleu", "rouge", "sort" et "entre". L’utilisation de couleurs pourrait même réduire cette liste à deux mots : "entre" et "sort".

Les mots "entre" et "sort" indiquent les mouvements de corps, et les mots "bleu" et "rouge" les mouvements de l’œil qui perçoit les figures qui sont les mêmes. La figure de Liu Hui s’obtient de celle de Platon-Schopenhauer par décalage des diagonales. Comme nous pouvons le voir en rétablissant une à une les étapes de la construction qui part des deux carrés construits sur les côtés du triangle rectangle pour obtenir le carré construit sur la diagonale.

La nécessité de l’énoncé n’est pas indiquée par le chemin du discours, mais le mouvement et les couleurs suggèrent un cheminement à l’entendement. Entre les démonstrations grecque et chinoise, il y a un renversement du fixe et du mobile. La première contemple une figure immobile et déroule son discours, la seconde repose sur la mobilité de la figure et offre un dire qui n’est pas mobilisé dans un discours. (Évelyne Barbin, L’océan Indien au carrefour des mathématiques arabes, chinoises, européennes et indiennes, p. 341-342).

Civilisation arabe

Les Arabes sont célèbres pour leur création de l’algèbre et la résolution des équations du second degré. Pourtant, ils nous ont transmis, après traduction, les Éléments d’Euclide et la plupart des textes de géométrie grecs. Donc, pas de doute, ils étaient aussi excellents en géométrie.

Démonstration d’Ibn-Qurra

Notre second exemple est un peu plus tardif et concerne Ibn-Qurra (836-901). Nous lui devons cette jolie démonstration du théorème de Pythagore. Saurez-vous retrouver sa démonstration ?

Le triangle ABC est rectangle en B. Ibn-Qurra montre que le grand carré est égal à la somme des 2 petits carrés dont les côtés sont AB et BC.

Le problème du président

Attribué à Paul Painlevé (1863-1933), homme politique mais aussi
mathématicien, la construction remonte en fait au mathématicien italien Mascheroni (1750-1800) connu pour ses résolutions de problèmes à la règle et au compas. L’Histoire dit que Bonaparte, excellent élève en math, en proposa une
démonstration devant l’Académie des sciences.

Un joli triangle ABC rectangle en A. Ses côtés mesurent a, b, c. Calculer de deux manières différentes l’aire du trapèze ADEC. Vous disposez de l’écriture algébrique inventée par Descartes au 17ème siècle. Déduire de vos calculs le théorème de Pythagore.

Commentaire et conclusion

Cette démonstration particulièrement courte et élégante se fait en quelques
lignes. Et surtout par l’algèbre à première vue. Sans les difficiles considérations de
triangles égaux où tout apprenant peu motivé va se perdre. Cette démonstration montre la supériorité de l’algèbre dans ce cas précis. Elle fait fonctionner la clef universelle des mathématiques qui veut que la géométrie algébrique soit
aujourd’hui le fondement de notre travail et de nos raisonnements. Mais il ne faut jamais sous-estimer ni la géométrie, ni l’algèbre. À tout moment, on peut être amené à utiliser l’une ou l’autre. Il ne vous aura pas échappé le fait que la démonstration algébrique en trois lignes repose sur le calcul des aires de
triangles et d’un trapèze. Clef universelle disions-nous.

SECONDE PARTIE : QUELS SONT LES DOCUMENTS UTILISABLES DANS UNE CLASSE ? QUELS ENJEUX ? POUR QUOI FAIRE ?

Première démonstration

Cette figure géométrique permet de visualiser qu’au niveau d’un triangle rectangle, l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit.
Les nombres ne sont pas utilisés ici, car les géomètres grecs utilisent les grandeurs.

Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique

L’utilisation d’animations « géogébresques » permet :

– soit de vérifier visuellement, en bougeant les pièces d’un puzzle géométrique, que la conjecture de Pythagore semble vraie :

– soit d’effectuer des calculs numériques d’aires et d’émettre une conjecture sur la somme des aires en utilisant la figure :

Cependant, Le paradoxe de Lewis Caroll devrait provoquer un débat intéressant sur la notion de preuve. Ce paradoxe est constitué par le puzzle ci-dessous :

Suivant la manière dont les pièces sont agencées, il semble que l’on puisse obtenir un carré de côté 8 ou un rectangle dont les dimensions mesurent 5 et 13. Donc, par égalité des aires, on aurait : 64 = 65.

Une construction précise de la figure avec GeoGebra permet d’expliquer le phénomène :

Autre figure utilisable en classe :

• Les élèves ne voient pas les trois carrés construits sur les côtés du triangle rectangle et doivent comprendre la logistique du déplacement.
• Les déplacements des différentes figures géométriques ne constituent toujours pas une démonstration au niveau des géomètres grecs.
• La preuve sera apportée par des calculs algébriques.

La démonstration des Éléments d’Euclide

Utilisation d’une animation sur le site de Kangourou.

Avantage :

• Cette animation permet de mieux comprendre la démonstration assez complexe pour un élève de collège de la propriété de Pythagore.
• La démonstration est rigoureuse par rapport aux précédentes.

Mais :

• Les déplacements effectués grâce au logiciel sont anachroniques car pas du tout en vigueur au temps d’Euclide !

Le problème du président : Paul Painlevé, 20e siècle

Le calcul de deux manières différentes de l’aire du trapèze rectangle AEDC donne une preuve algébrique de la propriété de Pythagore.

Mais... on connaissait déjà.

CONCLUSION

On a vu les différentes approches historiques et épistémologiques de la propriété de Pythagore. Certaines font appel :

• à des cas particuliers,
• à des découpages de formes connues pour recouvrir ou reconstituer des carrés,
• à des démonstrations géométriques,
• à des calculs numériques,
• à des calculs algébriques.

Ces différences approches témoignent des différentes conceptions de la notion de preuve au niveau de cette propriété suivant la civilisation ou l’époque. On peut supposer que les élèves ont aussi des attentes multiples sur le sujet !

BIBLIOGRAPHIE

• Dominique Tournès (éd.), L’océan Indien au carrefour des mathématiques arabes, chinoises, européennes et indiennes, Actes du colloque de novembre 1997, Saint-Denis de la Réunion : IUFM de la Réunion, 1997.
• Émile Fourrey, Curiosités géométriques, Paris : Vuibert, 1899.
• Geoffrey Lloyd, Les débuts de la science grecque, Paris : La Découverte, 1974.
• Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une histoire des mathématiques. Routes et dédales, Paris : Seuil, 1982.
• Euclide, Œuvres, Paris : Blanchard, 1993.
• Jean Dhombres et al., Mathématiques au fil des âges, Paris : Gauthier-Villars, 1987.