Le petit Fang
Pour jouer au petit fang, il faut 4 coupelles alignées, dont celles du milieu contiennent chacune une graine, avant le jeu. Deux des coupelles (celles qui sont à la gauche de Sud) sont le camp de Sud, elles sont coloriées en bleu ci-après. Les deux autres coupelles, coloriées en rouge, sont le camp de Nord [1].
La case tout à gauche est marquée en bleu, celle tout à droite est marquée en rouge, ce sont les tibongs. La case tout à gauche est le tibong de Sud et la case tout à droite est le tibong de Nord. Les tibongs sont les cases à partir desquelles on commence à semer : chaque joueur sème de sa gauche vers sa droite, en commençant par la case qui est tout à (sa) gauche : son tibong. Les couleurs ne sont donc pas nécessaires pour les élèves latéralisés mais en début de GS les élèves ne sont pas tous latéralisés [2].
Début
Avant de jouer, on donne 3 graines à chaque joueur, qu’il répartit dans son réservoir :
Les 3 graines en haut sont le réservoir de Nord, et celles en bas sont le réservoir de Sud.
Chaque joueur à son tour,
- prend une des graines de son réservoir,
- la place dans une case non vide (où il y a au moins une graine),
- prend toutes les graines de cette case (y compris celle qu’il vient d’ajouter),
- sème ces graines à partir de son tibong, une par une.
Le gagnant est celui qui a le plus de graines dans sa moitié du plateau à la fin du jeu (c’est-à-dire lorsque chaque joueur a joué 3 fois).
On suppose que c’est Sud qui commence.
Sud 1
Pour le premier tour de Sud, il n’y a que deux cases jouables (celles du centre, car les tibongs sont actuellement vides). Sud prend une graine de son réservoir, et la transfère dans une des deux cases non vides, c’est-à-dire soit ici :
soit là :
On suppose que Sud a fait ce second choix : elle prend donc les 2 graines dans sa main :
puis en place une dans son tibong :
et la deuxième dans la case voisine du tibong :
Comme il n’y a plus de graine dans sa main, Sud a terminé son tour :
C’est donc à Nord de jouer.
Nord 1
Nord a deux choix possibles puisqu’il y a 2 cases non vides :
Il prend une des 3 graines de son réservoir, puis la place ou bien ici :
ou bien là :
Supposons qu’il ait fait ce choix ; alors il prend les 3 graines,
en place une dans son tibong,
la deuxième dans la case d’à côté,
et la troisième dans la case suivante :
N’ayant plus de graines dans sa main, Nord a fini son tour de jeu, et c’est à nouveau au tour de Sud de jouer.
Sud 2
Sud a maintenant 4 choix possibles pour jouer puisqu’aucune des cases du plateau n’est vide :
Supposons pour l’exemple, que Sud décide de jouer son propre tibong (elle peut parce que son tibong n’est pas vide) :
Alors Sud prélève les deux graines de ce tibong, les met dans sa main,
en resème une immédiatement dans son tibong :
puis la suivante dans la case voisine :
Il n’y a à nouveau plus aucune case vide : la seconde case contient même 2 graines.
Nord 2
Nord décide (par exemple) de jouer la seconde case qui est la plus remplie. Il prélève une des deux graines de son réservoir, et la rajoute aux deux graines de la case 2 :
Ensuite il prend ces trois graines,
en place une dans son tibong,
une seconde dans la case voisine du tibong,
et la dernière dans la case 2 :
Il n’y a donc à nouveau pas de case vide. Sud, qui va jouer la dernière graine de son réservoir, a donc 4 choix.
Sud 3
Sud prend la dernière graine de son réservoir (ce qui veut dire qu’elle entame son dernier coup), la place (par exemple) dans la case 3 qui contenait déjà 2 graines,
prend les trois graines de cette case,
en transfère une à son propre tibong,
la seconde dans la case voisine du tibong (la 2),
et la troisième dans la case 3 :
La case 3 est la seule qui ne contienne qu’une graine. Mais Nord a-t-il intérêt à jouer cette case pour son dernier coup ?
Nord 3
Si Nord joue son propre tibong pour son dernier coup, il transfère la dernière graine de son réservoir vers ledit tibong,
met les trois graines de son tibong dans sa main,
puis le sème à partir de son tibong :
Comme les deux réservoirs sont vides, le jeu est terminé. Reste à savoir qui a gagné [3]. Pour cela, on constate que la moitié bleue du plateau contient 5 graines en tout, alors que la moitié rouge (celle de Nord) n’en contient que 3. Dans ce cas il est naturel de considérer que Sud a gagné.
Gagnant
Si maintenant, pour son dernier coup, Nord avait choisi de jouer la case 3 qui était la seule à ne contenir qu’une graine, on aurait commencé ce tour par un plateau très symétrique :
Mais cette symétrie aurait vite été rompue, puisque Nord doit prendre les deux graines de la case qu’il a attaquée :
Pour ensuite les semer à partir de son tibong :
D’une certaine manière, la symétrie est un peu revenue, puisqu’il y a 4 graines bleues et 4 graines rouges. Cette configuration ne permet pas de savoir qui a gagné avec la règle celui qui a le plus de graines dans sa moitié du plateau gagne le jeu. Mais on constate que le tibong de Sud est mieux garni que celui de Nord. Donc là encore c’est Sud qui a gagné.
En fait à partir de
Nord pouvait gagner en transférant la dernière graine de son réservoir vers une des cases bleues, cela lui aurait assuré 5 graines dans son camp et donc la victoire.
Problème
Voici une partie un peu atypique de Fang, qui pose un problème intéressant.
La position initiale est
Sud attaque la case 3 :
Nord attaque alors la case 2 :
On constate que Nord a semé en tout 3 graines, ce qui fait que la case 2 n’est pas vide (la dernière graine du semis y est tombée). Sud attaque alors la case 3 :
Nord décide alors d’attaquer le tibong de Sud :
Sud, pour sa dernière graine, attaque la case 3 :
Examinons maintenant la fin de cette partie : il y a 3 cases non vides. Mais Nord ne peut pas jouer la case 2, en effet il y a déjà 4 graines dedans et cela ferait 5 graines à semer... dans seulement 4 cases !
Cela incite, pour le petit fang, à modifier un peu la règle du jeu : au lieu de commencer par transférer une graine depuis le réservoir vers une case non vide, on va commencer par transférer une graine du réservoir vers une case non vide et contenant moins de 4 graines. On verra plus bas que cette précaution ne semble pas nécessaire avec les moyen et grand fangs.
Revenons à la fin de la partie : à partir de
Nord peut attaquer son tibong :
(et perdre), ou celui de Sud :
et gagner, puisque même s’il y a autant de graines dans chaque camp, il y en a plus dans le tibong de Nord, que dans celui de Sud.
Le moyen Fang
Début
Ce jeu se joue sur un plateau de 6 cases, donc 3 sont bleues (celles de Sud) et les 3 autres sont rouges (celles de Nord). Avant de jouer, chaque joueur a 4 graines dans son réservoir (et jouera donc exactement 4 coups au cours de la partie), et il y a déjà 4 graines dans le plateau :
On suppose que Sud commence.
tour 1
Comme il y a 4 cases non vides sur le plateau, Sud a 4 choix. On suppose qu’elle choisit la case jouable la plus proche du tibong de Nord (ajouter une graine de son réservoir à cette case, prendre les deux graines de la case puis les semer l’une dans son tibong et l’autre à côté) :
La case 5 est maintenant vide, mais pas la case 1. Nord a donc également 4 choix. Supposons qu’il joue la case de Sud la plus proche de son camp (la case 3). Il transfère dans cette case l’une des graines de son réservoir, prend les deux graines puis les sème, l’une dans son tibong, l’autre dans la case voisine :
tour 2
Sud fait pareil : transférer une des graines de son réservoir vers la case 4 (la case rouge la plus proche de son camp), puis prendre les deux graines de la case 4 et en mettre une dans son tibong, l’autre dans la case voisine :
L’une des cases (la case 2) contient maintenant 3 graines. Si Nord jouait cette case, il aurait 4 graines à semer, dont la dernière retomberait dans le camp de Sud. Il préfère donc attaquer le tibong de Sud (mettre une graine issue de son réservoir dans le tibong, prendre les 3 graines du tibong dans sa main, puis les semer une par une dans chacune des 3 cases de son camp, en commençant par le tibong) :
tour 3
Sud décide alors d’attaquer également le tibong de Nord : transférer une des graines de son réservoir vers le tibong de Nord (case 6), puis prendre les 3 graines qui sont alors dans cette case, et les semer, une par une, dans chacune des trois cases de son camp, en commençant par son tibong :
Nord décide alors de jouer la case 5 : transférer une graine de son réservoir vers la case 5 (qui contient déjà 2 graines), puis prélever les 3 graines de cette case, et les répartir une par une dans les 3 cases de son camp, en commençant par son tibong :
tour 4
Sud joue sa dernière graine, en la transférant depuis son réservoir vers la case 4, puis en prélevant les 3 graines de cette case, et en les semant une par une de gauche à droite en commençant par son tibong :
On constate que la case 2 contient maintenant 5 graines. Si Nord veut faire quelque chose d’impressionnant, il peut attaquer cette case, en commençant par transférer la dernière graine de son réservoir vers cette case,
puis en semant les 6 graines de cette case :
Il ne semble pas possible qu’à un moment du jeu, une case contienne plus de 5 graines, et donc il n’y a pas de risque qu’un semis soit impossible pour cause de sortie du plateau.
Gagnant
Comme pour le petit fang, le gagnant du moyen fang est celui qui, à la fin du jeu
- a plus que 6 graines dans son camp (les trois cases de sa gauche),
- ou a exactement 6 graines dans les trois cases, mais plus dans de graines dans son tibong qu’il n’y en a dans le tibong de l’adversaire.
Par exemple avec la position finale
comme il y a 7 graines bleues (dans le camp de Sud) et 5 graines rouges c’est Sud qui a gagné.
Le grand Fang
Le grand fang est le jeu originel, le premier à avoir été testé en GS et le plus proche du fifangha. Pour voir comment il fonctionne, on simule une partie de ce jeu.
Début
Le jeu se joue sur un plateau de 8 cases, dont 4 sont coloriées en bleu (le camp de Sud) et les 4 autres, en rouge (le camp de Nord). Les cases extrêmes sont le tibong de Sud et le tibong de Nord, marquées par des gommettes des couleurs adéquates pour les élèves non latéralisés.
Avant de jouer, on distribue 5 graines à chaque joueur (à placer dans le réservoir pour libérer les mains qui seront utilisées au cours des semis), et 6 graines dans le plateau, à savoir une par case dans chacune des cases centrales :
Chaque joueur à son tour, va
- transférer une graine de son réservoir vers une case non vide du plateau (donc chaque joueur ne jouera que 5 fois),
- prendre dans sa main toutes les graines qui sont dans la case attaquée (il y en a donc au moins 2 puisqu’on a ajouté une graine à une case non vide),
- mettre la première graine dans son tibong,
- la seconde graine dans la case suivante, etc jusqu’à la fin du semis.
Le but du jeu est d’avoir un maximum de graines dans son camp après que chaque joueur a joué 5 fois.
On suppose que Sud commence.
tour 1
Comme au début du jeu, il y a 6 cases non vides, Sud a 6 choix. Supposons qu’elle opte pour la case 4 (elle a le droit de jouer une case de son propre camp). Elle transfère une des graines de son réservoir vers la case 4 (qui alors contient 2 graines), puis prend les 2 graines de cette case (qui est alors vide), en place une dans son tibong (qui n’est plus vide) et la seconde dans la case voisine du tibong (qui contient alors 2 graines) :
Cette case avec 2 graines est tentante pour Nord, qui décide alors de la jouer :
- transférer une graine de son réservoir vers la case 2 (qui contient alors 3 graines),
- prendre les 3 graines (la case 2 est alors vide),
- semer l’une d’entre elles dans son tibong (case 8),
- la seconde dans la case 7 (voisine du tibong),
- et la troisième dans la case 6 :
tour 2
Sud choisit alors de jouer la case 6 (dans le camp adverse, contenant déjà 2 graines). Elle
- transfère une graine de son réservoir vers la case 6 (qui contient alors 3 graines),
- place ces 3 graines dans sa main (la case 6 est alors vide),
- ajoute l’une de ces 3 graines dans son tibong,
- la seconde graine dans la voisine du tibong (case 2),
- et la troisième graine dans la case 3 :
Nord a alors intérêt à attaquer la case 3. Il
- transfère une graine de son réservoir vers la case 3,
- prélève les 3 graines de la case 3,
- en met une dans la case 8 (son tibong),
- la seconde dans la case 7,
- et la troisième dans la case 6 :
La case 7 contient alors 3 graines, ce qui est intéressant pour Sud.
tour 3
Sud attaque donc la case 7, ce qui veut dire qu’elle
- transfère une graine de son réservoir vers la case 7 (laquelle contient alors 4 graines),
- prend les 4 graines dans sa main (ce qui vide la case 7),
- puis sème ces 4 graines dans les 4 cases de son camp, en commençant par son tibong :
Mais maintenant c’est la case 1 (tibong de Sud) qui comprend 3 graines. Nord va donc attaquer cette case, en
- transférant une graine de son réservoir vers la case 1,
- semant les 4 graines obtenues dans les cases 8, 7, 6 et 5 (qui constituent son camp) :
tour 4
Sud décide alors d’attaquer la case 5 qui contient déjà 2 graines. Elle transfère l’avant-dernière graine de son réservoir vers la case 5, prélève les 3 graines obtenues, puis les sème de gauche à droite à partir de son tibong :
La case 2 contenant 3 graines, Nord attaque cette case : il transfère l’avant-dernière graine de son réservoir vers cette case, prélève les 4 graines qu’elle contient alors puis les sème dans son camp à partir de son tibong :
L’avantage de Nord devient évident : il y a 10 graines dans son camp, alors qu’il n’y en a que 4 dans celui de Sud. Mais le tibong de Nord est bien garni (4 cases).
tour 5
Sud choisit le tibong de Nord : elle transfère la dernière graine de son réservoir vers la case 8, puis prend les 5 graines qui sont alors dans la case 8, et les sème une par une à partir de son tibong :
Comme 5 graines ont été semées, l’une d’entre elles est revenue dans le camp de Nord, puisque chaque camp ne contient que 4 cases. Une bonne tactique consiste donc à ne pas attendre qu’une case contienne plus de 3 graines pour l’attaquer.
Par chance pour Nord, la case 3 contient exactement 3 graines. Nord joue donc cette case, en y transférant la dernière graine de son réservoir, puis en vidant la case 3 de ses 4 graines, et en semant les 4 graines à partir de son tibong, soit les cases 8, 7, 6 et 5 (son camp) :
Comme les réservoirs sont vides, chaque joueur a joué exactement 5 fois, et le jeu est terminé.
Gagnant
La position finale étant
on dénombre 5 graines dans le camp de Sud et 11 graines dans le camp de Nord. Comme 11 est plus grand que 5, c’est Nord qui a gagné.
Le jeu a été présenté lors du séminaire IREMI du 11 octobre 2023. Voici le document qui a été distribué ce jour-là :
Un partie intéressante y a été menée, elle se termine par
La question est de savoir qui a gagné, vu que
- il y a exactement 8 graines dans chaque camp (donc égalité),
- il y a exactement 1 graine dans chaque tibong (égalité aussi)...
Il a alors été proposé que la partie soit nulle, mais on peut aussi dire que, Sud ayant 3 graines dans la case voisine de son Tibong, alors que Nord n’en a aucune dans la case 7, l’avantage est à Sud.
Amélioration
Un jeune joueur (grande section ; 5 ans) propose que si le semis se termine dans le camp du joueur (ce qui signifie que le joueur sème plus de 4 graines au grand fang), alors on rejoue : on reprend le tas de graines où le semis s’était terminé, et on sème le tout à partir de son tibong. Cette nouvelle règle du jeu, possiblement inspirée par le fifangha que le jeune joueur connaît un peu, semble modifier considérablement la stratégie gagnante. Ce nouveau jeu est-il récursif ? Questionné à ce sujet (« et si, lorsqu’on rejoue, la dernière graine tombe dans une case du camp adverse, rejoue-t-on une troisième fois ? »), le jeune créateur a évité d’entrer dans une boucle récursive, ce qui à l’âge de 5 ans était prévisible [4].
analyse du jeu par IA
Pour chercher la stratégie gagnante à ce jeu, on peut le charger avec le logiciel ludii. Voici le script permettant de simuler le jeu avec ludii :
(define "PiecesOwnedBy" (count in:(sites #1 "Zone")))
//-------------------------------------------------
(game "Fang"
(players 2)
(equipment {
(board
(merge {
(rectangle 1 <Start:int>)
(graph vertices: {{<Start:milieu> -1} {<Start:milieu> 1} { -1 0} {<Start:int> 0} })
}
)
{
(track "Track1" "<Start:tibong1>,0,E" P1 directed:True)
(track "Track2" "<Start:tibong2>,<Start:len>,W" P2 directed:True)
}
use: Vertex
)
<Start:rp1>
<Start:rp2>
(map "Tibong" { (pair P1 <Start:tibong1>) (pair P2 <Start:tibong2>)})
(map "Reservoir" { (pair P1 <Start:int>) (pair P2 <Start:grand>) })
(piece "Seed" Shared)
// (hand Each)
(regions "Home" P1 (difference (sites Board) (union {(sites Bottom) (sites Top) (sites Left) (sites Right)})))
(regions "Home" P2 (difference (sites Board) (union {(sites Bottom) (sites Top) (sites Left) (sites Right)})))
})
(rules
(start <Start:board>)
(play
(move
(from
(mapEntry "Reservoir" (mover)))
(to (sites Mover "Home") if: (is Occupied (to)))
count:1
(then
( fromTo
(from (last To))
(to (mapEntry "Tibong" Mover))
count:(count at:(last To))
(then
(sow
(trackSite FirstSite Mover)
count: (count at:(trackSite FirstSite Mover))
"Track" owner:(mover)
)
)
)
)
)
)
(end ("MancalaByScoreWhen" (no Moves Next)))
)
)
//------------------------------------------------------------------------------
(option "Columns" <Start> args:{<int><len><grand><milieu><tibong1><tibong2><board><rp1><rp2>}
{
(item "4" <4><3><5><1.5><6><7>< (place Stack "Seed" (sites { 1 2 4 5 }) counts:{ 1 1 3 3}) >< (regions "Zone" P1 (sites { 0 1 })) >< (regions "Zone" P2 (sites { 2 3 })) > "4 holes")**
(item "6" <6><5><7><2.5><8><9>< (place Stack "Seed" (sites { 1..4 6 7 }) counts:{ 1 1 1 1 4 4}) >< (regions "Zone" P1 (sites { 0 1 2 })) >< (regions "Zone"P2 (sites { 3 4 5 })) > "6 holes")***
(item "8" <8><7><9><3.5><10><11>< (place Stack "Seed" (sites { 1..6 8 9 }) counts:{ 1 1 1 1 1 1 5 5}) >< (regions "Zone" P1 (sites { 0 1 2 3 })) >< (regions "Zone" P2 (sites { 4 5 6 7 })) > "8 holes")*
(item "10" <10><9><11><4.5><12><13>< (place Stack "Seed" (sites { 1..8 10 11 }) counts:{ 1 1 1 1 1 1 1 1 6 6}) >< (regions "Zone" P1 (sites { 0 1 2 3 4 })) >< (regions "Zone" P2 (sites { 5 6 7 8 9 })) > "10 holes")
(item "12" <12><11><13><5.5><14><15>< (place Stack "Seed" (sites { 1..10 12 13 }) counts:{ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 7}) >< (regions "Zone" P1 (sites { 0 1 2 3 4 5 })) >< (regions "Zone" P2 (sites { 6 7 8 9 10 })) > "12 holes")
}
)
//------------------------------------------------------------------------------
(metadata
(info
{
(description "Fang is a two players game. ")
(rules "At each turn, one takes a seed from one's reserve then puts this seed in a nonempty hole, then take all the seeds from this hole and sow them from one's leftest hole. At the end, the winner is the one who has the most seeds in his half part of the board. .")
(version "1.0.0")
(classification "board/sow")
(credit "Alain Busser")
(origin "This game was created by Alain Busser, as a simplification of fifangha, in september 2023.")
}
)
(graphics {
(board Style Mancala)
// (show AsHoles {<Start:int> <Start:grand>} Oval)
(show AsHoles {<Start:tibong1> <Start:tibong2>} Square)
})
)Pour savoir s’il y a une stratégie gagnante, on peut explorer l’arbre des positions atteignables du jeu, avec l’élagage alpha-bêta. Pour un plateau de 6 cases (rondes, les autres ne sont pas semables) on constate que vient assez rapidement la preuve d’une position perdante pour le premier joueur :
Pour le jeu à 4 cases on ne trouve pas de stratégie gagnante, ni pour un joueur, ni pour l’autre. On fait alors appel à une IA similaire à celle d’AlphaZero (elle s’appelle UCT) qui permet d’assurer une partie nulle :
La même IA trouve que pour 8 cases, le second joueur a une stratégie gagnante :
Cette stratégie est confirmée par l’élagage alpha-bêta :
En résumé, ce jeu est peu intéressant en tant que jeu (avantage systématique à celui qui joue en deuxième, sauf dans le cas 4 cases) mais il est intéressant comme outil d’apprentissage du nombre par la manipulation, ce qui était d’ailleurs le but de sa création.
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