Patron d’une pyramide à base carrée standard.

Par standard, on entend une pyramide dont le sommet se projette orthogonalement sur le centre du carré. Dans ce cas, en terme de construction, l’angle dièdre de la base avec chaque face est le même et donc, en général on ne l’évoque même pas. Si on veut construire manuellement le pliage il faudra en tenir compte, en s’apercevant au passage que ça va être un peu moins simple si le projeté orthogonal du sommet est un point quelconque, et probablement encore moins simple s’il est en dehors de la base.

Manipulation : tant qu’aucun outil n’est sélectionné, la souris ou le doigt sur tablette permet de déplacer le trièdre. Si nécessaire désélectionner la flèche à gauche. Ce mode consultation (sans outil actif) permet une manipulation facile de la figure, en particulier sur tablette, sans créer des points de manière intempestive. Toutes les variables utiles sont simplement cachées (et non pas « super cachées »), il est facile de les faire réapparaître avec l’outil gomme.

Remarque : selon le navigateur, dans les onglets SPIP, parfois la flèche gauche est sélectionnée. Penser à la désélectionner pour déplacer simplement la figure en 3D.

Utilisation collective : En notant I le milieu de [AB], on peut faire calculer la distance entre Sab et I qui réalise
• la pyramide dont toutes les arêtes sont égales ou
• la pyramide dont le sommet est sur la face du cube opposée à sa base,
• et comparer avec les valeurs données par le logiciel, en effectuant les rapports en direct quand Sab est aimanté par les points mL (même Longueur) et cCube (côté du cube) respectivement.

La figure en ligne dans un format plus grand : http://huit.re/PatronPyraBase1

Détails de la réalisation (et utilisation éventuelle autour du code)

1. La face du sol. Dans cette interface de DGPad, il est plus simple de construire un polygone sur le sol, de prendre un point A dans ce polygone et de construire les autres points du carré directement à partir des coordonnées de A. C’est l’occasion d’utiliser de la géométrie repérée, et éventuellement de le montrer aux élèves (faire une figure, c’est aussi un peu coder, même si on ne s’en aperçoit pas nécessairement). Voici un extrait du fichier texte de la figure :

2. L’angle maximum de pliage. Dans DGPad la fonction distance d calcule en 2D si la figure est en 2D et en 3D si elle est en 3D. L’angle de pliage est donc le supplémentaire de l’angle dièdre, ce qui donne tout simplement (là aussi cela peut faire l’objet d’une question - ouverte ou à choix multiple - sur la figure après avoir manipulé le curseur) :

3. Les coordonnées de mL et cCube. On peut utiliser les expressions formelles. Il faudrait en fait utiliser des mesures algébriques, alors que l’on ne dispose, de base, sans macro, que des distances. Tant que la projection orthogonale du sommet est à l’intérieur de la base de la pyramide, c’est la même chose, donc c’est très simple ici, cela le sera moins quand on voudra s’autoriser à ce que cette projection sorte de la base. Les points mL et cCube peuvent alors être définis, respectivement, ainsi

4. le déplacement des sommets. On détaille celui associé au point Sab, c’est la même chose pour les autres.

Le curseur va de 0 à 1. Il s’appelle Ouvre. L’angle maximal s’appelle angMax. On définit alors Plier=Ouvre*angMax. Cette méthode, non indispensable ici, sera utile quand l’angle maximal sera différent pour chaque sommet associé aux différents côtés de la base.

Une méthode très efficace, due à Monique Gironce, consiste à placer le vecteur associé à la rotation à l’origine du repère. I est le milieu de A et B, on construit donc le point u de coordonnées

(les points sont des triplets [x(I, y(I), z(I)], I[0] est donc la façon de noter x(I)).

En notant SabI la distance entre Sab et I c’est-à-dire la hauteur des faces latérales, le sommet de la face mobile, en fonction du curseur, est donc simplement :

5. Disparition des arêtes en pointillé sur le sol quand Ouvre est égal à 0.

La suppression conditionnelle est traitée dans une expression avec la méthode setHidden disponible pour chaque objet. D’une manière générale une expression qui comprend des éléments programme, comme c’est le cas avec setHidden, ce qui suit le dernier point virgule est une sortie pour l’expression. En pratique, on écrira un commentaire entre deux guillemets après une série de setHidden :

Nous ne détaillerons plus ces points-ci dans le reste de l’article, ils sont toujours sous-jacents.
Nous aborderons, au contraire, les modifications à y apporter pour des cas moins élémentaires.

Haut de la barre d’interface : patron général d’une pyramide à base triangulaire.

Patron général d’une pyramide à base triangulaire - La figure

Désormais Sab est un point du plan qui n’est plus nécessairement sur la médiatrice de [AB], Sbc est alors sur le cercle de centre B passant par Sab. Alors pour tout point Sab - dans le demi plan délimité par (AB) ne contenant pas C - et tout point Sbc du cercle (dans le demi plan associé), déterminent le patron d’une pyramide de base le triangle ABC. Autrement dit, construisant Sca comme le point du demi plan délimité par (CA) et vérifiant simplement la contrainte sur les longueurs des arêtes correspondantes égales, ce point est bien l’image du sommet d’une pyramide dans le plan (ABC) :

Dans les onglets intérieurs, certains navigateurs - dont Firefox - nécessitent qu’on déplace le curseur pour voir apparaître les faces.

Remarque : selon le navigateur, dans les onglets SPIP, parfois la flèche gauche est sélectionnée. Penser à la désélectionner pour déplacer simplement la figure en 3D.

Figure en ligne plus grande, hors article : http://huit.re/PatronPyraTR02

Preuve du résultat

Le triangle $ABC$ est donné, $S_{ab}$ également, ainsi que $S_{bc}$ sur le cercle de centre $B$ passant par $S_{ab}$. Les perpendiculaires aux côtés $[AB]$ et $[BC]$ passant respectivement par $S_{ab}$ et $S_{bc}$ se coupent en $H$. $H$ est le projeté orthogonal d’un point $S$, sommet de la future pyramide. Le cercle de centre $C$ passant par $S_{bc}$ et celui de centre $A$ passant par $S_{ab}$ se recoupent en $S_{ca}$, dans le demi plan délimité par $(CA)$ ne contenant pas $B$.

Montrer que le patron de la pyramide se ferme bien revient à montrer que $(HS_{ca})$ est orthogonal à $(AC)$ pour que, replié selon $(AC)$, $S_{ca}$ puisse coïncidé avec le point $S$ déjà défini, et donc se projeter en $H$. Les autres contraintes sont vérifiées par les égalités de longueurs liées aux cercles.

Preuve rapide : si on connait la notion d’axe radical de deux cercles, par construction $H$ est à l’intersection des deux axes radicaux des cercles de centres $A$ et $B$, les deux perpendiculaires tracées pour le définir, et donc c’est le centre radical des trois cercles, il n’y a rien à montrer, c’est une conséquence de l’existence du centre radical de trois cercles.

Preuve standard : par le produit scalaire, orientée leçon d’oral au CAPES par exemple.
Soit $S$ le sommet déjà défini : par pliage en 3D selon $(AB)$ et $(BC)$, $S_{ab}$ et $S_{bc}$ se rejoignent en $S$. On a alors :

$S_{ab}B^2=SH^2+BH^2=S_{bc}B^2=SH^2+HC^2$

Mais comme $S_{ca}A=S_{ab}A$ et $S_{ca}C=S_{bc}C$, il vient

$S_{ca}A^2=SH^2+HA^2$ et $S_{ca}C^2=SH^2+HC^2$, soit, en faisant la différence :

$S_{ca}A^2-S_{ca}C^2=HA^2-HC^2$. Ce qui s’écrit aussi :

$(\overrightarrow{S_{ca}A}-\overrightarrow{S_{ca}C})(\overrightarrow{S_{ca}A}+\overrightarrow{S_{ca}C})=(\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HC})(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HC})$, soit

$\overrightarrow{CA}(\overrightarrow{S_{ca}A}+\overrightarrow{S_{ca}C})=\overrightarrow{CA}(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HC})$, et donc

$\overrightarrow{CA}(2\overrightarrow{S_{ca}H})=0$

Ainsi, $\overrightarrow{S_{ca}H} \perp \overrightarrow{AC}$, la figure est bien le patron de la pyramide de sommet $S$ comme défini précédemment.

Construction de la figure - le prix d’une manipulation directe non contrainte

1. Construction de Sca
Le point le plus délicat pour réaliser cette figure est que l’intersection de deux cercles 3D n’est pas encore implémenté dans DGPad, même s’ils sont coplanaires, donc il faut la calculer. Pour Sca, on peut tricher et utiliser les relations métriques pour le placer sur la perpendiculaire à (CA) passant par H. C’est ce qui a été fait ici dans un premier temps, mais calculer l’intersection de deux cercles sera incontournable pour le cas d’une base quadrilatère.

2. Angle dièdre selon que H soit ou non à l’intérieur de la base de la pyramide
Comme déjà indiqué à l’onglet précédent, il y a un angle dièdre par face. Mais, pour une même face, cet angle dièdre ne s’écrit pas de la même façon selon que H soit, ou non, dans l’autre demi plan que le sommet par rapport à l’arête de pliage. Pour avoir une figure complétement dynamique, il faut donc réaliser un test sur la position de H et adapter l’angle dièdre, puis faire ceci pour les trois arêtes du triangle.

Le test de la position de H peut se faire simplement par l’inégalité triangulaire. Comme on travaille sur des réels, on ne peut pas assurer, aux arrondis machine près, l’exactitude des égalités, donc le booléen SgnAB est construit sur une inégalité, avec une précision importante mais pas sur une égalité, dynamiquement non stable. Voici ce que cela donne pour le point Sab.

Cela paraît un peu compliqué comme ça a priori, mais cela se fait facilement. C’est aussi le prix d’une manipulation directe la moins contrainte possible, c’est-à-dire, une action sur les objets eux mêmes. Par exemple on peut même avoir H à l’extérieur pour deux côtés, soit H dans l’opposé du secteur angulaire réalisé par la face du sol.

Retour sur le questionnement compétence/savoir
En relation avec le questionnement de l’introduction, je fais partie de ceux pour qui c’est de la responsabilité des formateurs de montrer aux futurs enseignants que l’on peux affiner nos simulations, pour donner plus de sens mathématique à ce qui est manipulé, plus de fluidité dynamique, pour utiliser ces outils, sur les sujets que nous abordons, dans toute leur potentialité et richesse numérique et ne pas se contenter de ce que proposent les outils standards de nos logiciels (même si c’est déjà beaucoup pour le CAPES). C’est à nous, formateurs de la formation initiale ou de la formation continue, d’ouvrir le champ des possibles, de maintenir large la perception des micro-mondes des outils que les étudiants ou stagiaires ont dans leurs mains, et que parfois ils découvrent.

Bien entendu, personne n’a le temps de travailler cela directement dans les maquettes de formation initiale, mais on peut construire des ’’tâches complexes étudiant’’ pour travailler sur des projets de ce type, en particulier en M2 MEEF. Les compétences évaluées, parce qu’elles engagent un rapport au savoir, sont alors des compétences liées à la manipulation directe, à la richesse du micro-monde construit. Elles sont plus méta-cognitives que des compétences essentiellement d’instrumentation d’un logiciel riche et complexe.

Haut de la barre d’interface : la question du patron général d’une pyramide à base quadrilatère.

Faux patrons de pyramides à base quadrilatère

On comprend bien, après l’onglet précédent que ce qui a fonctionné pour trois côtés, ne va pas s’étendre à quatre côtés. Tout comme se donner trois longueurs égales permet de construire un triangle qui a trois angles égaux, alors qu’un quadrilatère ayant quatre côtés égaux ne donne pas nécessairement quatre angles égaux, de même se donner quatre sommets vérifiant simplement les longueurs correctes pour les arêtes ne peux pas donner un sommet : il y aura, a priori deux sommets possibles, selon la façon de joindre les faces latérales, et donc pas de pyramides.

Dans la figure suivante on a choisi de coller entre elles les deux faces autour du sommet B : les deux faces se rencontrent au sommet Sb, associé à ce pliage. Les deux autres faces se replient autour des arêtes qui contient le sommet D et se rencontrent au sommet Sd. On peut déplacer les sommets Sab, Sbc, Scd pour faire coïncider les deux sommets et avoir une pyramide et donc un patron de pyramide.

Dans les onglets intérieurs, certains navigateurs - dont Firefox - nécessitent qu’on déplace le curseur pour voir apparaître les faces.

Remarque : selon le navigateur, dans les onglets SPIP, parfois la flèche gauche est sélectionnée. Penser à la désélectionner pour déplacer simplement la figure en 3D.

Manipulations : En déplaçant le sommet Scd, on peux faire observer aux élèves que le point Hd se déplace sur une droite passant par Hb. Quand les deux points Hd et Hb coîncident, on a bien un patron de pyramide. On peut aussi activer la trace de Sd et vérifier que le point trace une courbe plane dans l’espace qui passe par Sb.

Voir une copie d’écran de cette trace

Figure en ligne plus grande, hors article : http://huit.re/FauxPatronPyraQd1

Ancienne réalisation avec CaRMetal (2009)

Cette figure pourrait être améliorée, en particulier grâce aux nouveaux widgets de DGPad. Cela sera fait prochainement quand les widgets seront disponibles aussi sur les iApp, et pas seulement en ligne comme actuellement.

En attendant, voici une extension possible, déjà réalisée dans CaRMetal : le choix des regroupements des faces : dans la figure ci-dessus la face de sommet Sab se relie uniquement à celle de sommet Sdb, autour du sommet B. On pourrait aussi relier Sab à Sbc, et on aurait deux autres sommets potentiels de pyramide et deux autres projections orhogonales Ha et Hc. Voici deux copies d’écran, la figure est téléchargeable en fin d’article.

Illustration correspondant à ce qui a été fait en DGPad : autour des sommets B et D

Autre choix, autour des points A et C

Cas de la base carrée

Les élèves peuvent penser que cette situation où les faces ne se rencontrent pas malgré des longueurs conformes au ’’collage des faces’’ vient de ce que le quadrilatère est quelconque, mais que dans le cas d’une base carrée, cela n’est pas possible. Bien entendu on peut réagir et leur proposer de dessiner (en papier-crayon s’entend) un faux patron où l’on aurait Hb=B et Hd=D. Cette simple figure, élémentaire à construire, fait nettement réfléchir, en particulier parce que la figure du faux patron est symétrique par rapport au centre du carré.

Mais on peux aussi proposer la figure générale précédente, où la base est un carré :

Dans les onglets intérieurs, certains navigateurs - dont Firefox - nécessitent qu’on déplace le curseur pour voir apparaître les faces.

Remarque : selon le navigateur, dans les onglets SPIP, parfois la flèche gauche est sélectionnée. Penser à la désélectionner pour déplacer simplement la figure en 3D.

Figure en ligne plus grande, hors article : http://huit.re/FauxPatronPyraQd1

Éléments de constructions de la figure

Étant donnés les points A, B, C, d sur le sol, puis Sab, on choisit Sbc sur le cercle de centre B passant par Sab, on détermine le point Hb et donc les éléments de constructions associés à ces deux sommets (copier coller et adaptation) comme à la figure précédente.

Sur le cercle de centre C passant par Sbc, on place le point Scd. Il faut ensuite construire l’intersection des deux cercles de centre D passant par Scd et de centre A passant par Sab, pour pouvoir ensuite construire le point Hd. Or, l’intersection de deux cercles en 3D n’étant pas implémentée (c’est immédiat en GGB 3D car on a la fenêtre 2D), Dans DGPad, il faut la construire. Bon il suffit que quelqu’un le fasse une fois, ensuite c’est une macro. C’est détaillé dans le bloc suivant.

Formules et macros de construction de l’intersection de deux cercles

En cherchant sur le net, on trouve la formule générale suivante (merci à l’auteur Michel Bertaud qui détaille même les cas particuliers non repris ici)

On transforme alors ceci en macro construction

// Macros :
$macros={};
$macros["Inter2CerclesSol"]={
	name:"Inter2CerclesSol",
	parameters:["point","point","point","point"],
	exec:
	function (O1,A1,O2,A2){
A=Expression("A","","","","1+((O1[0]-O2[0])/(O1[1]-O2[1]))^2","-1.4526533986435648","-7.1576194733164815");
A2O2=Expression("A2O2","","","","d(A2,O2)","0.5282375995067514","-6.62938187380973");
A1O1=Expression("A1O1","","","","d(O1,A1)","-1.4526533986435664","-6.62938187380973");
N=Expression("N","","","","(A2O2^2-A1O1^2-O2[0]^2+O1[0]^2-O2[1]^2+O1[1]^2)/(2*(O1[1]-O2[1]))","2.509128597657069","-6.62938187380973");
C=Expression("C","","","","O1[0]^2+O1[1]^2+N^2-A1O1^2-2*N*O1[1]","2.2450097979036934","-7.1576194733164815");
B=Expression("B","","","","(2*O1[1]-2*N)*((O1[0]-O2[0])/(O1[1]-O2[1]))-2*O1[0]","0.2641187997533757","-7.1576194733164815");
Delta=Expression("Delta","","","","B^2-4*A*C","4.093841396177323","-7.1576194733164815");
x2=Expression("x2","","","","(-B+sqrt(Delta))/(2*A)","5.414435394944202","-8.742332271836734");
x1=Expression("x1","","","","(-B-sqrt(Delta))/(2*A)","-0.5282375995067514","-9.66674807097355");
y2=Expression("y2","","","","N-x2*((O1[0]-O2[0])/(O1[1]-O2[1]))","5.414435394944202","-9.006451071590112");
y1=Expression("y1","","","","N-x1*((O1[0]-O2[0])/(O1[1]-O2[1]))","-0.5282375995067514","-9.930866870726925");
Int1=Point("Int1","[x1,y1,0]","1");
Int2=Point("Int2","[x2,y2,0]","1");
STL(Int1,"c:#006633;s:3;sn:true;f:18;np:1.8695175112564661");
STL(Int2,"c:#0000b2;s:3.5;sn:true;f:18;np:4.861076732674988");
return [Int1,Int2];
}};

Une fois le point Sda construit, la suite se termine comme elle a commencé, en copian-collant les formules de la figure précédente et en les adaptant. Mais quand même, quelle belle figure !

Haut de la barre d’interface : construction (et preuve) du patron général d’une pyramide à base quadrilatère.

Vrai patron d’une pyramide à base quadrilatère

La macro de la figure précédente étant faite, la réalisation d’une figure générale réalisant le patron d’une pyramide à base quadrilatère avec six objets de base (les quatre points du quadrilatère et deux des quatre sommets du patron) ne pose pas de problème. Reste à voir quand même pourquoi cela fonctionne finalement.

Principe de construction et preuve du résultat

On part d’un quadrilatère ABCD, et des sommets Sab dans le plan du sol (dans le demi plan délimité par (AB) ne contenant pas C) et Sbc sur le cercle de centre B passant par Sab. La projection orthogonale H su sommet de la pyramide est à l’intersection des deux perpendiculaires (bleues ci-dessous - simple copie d’écran) à (AB) et (BC) passant respectivement par Sab et Sbc.

La perpendiculaire à (CD) passant par H coupe le cercle de centre C passant par Sbc en Scd (du bon côté, pas de problème ici, tous les logiciels gèrent bien cela en 2D). Par construction, les trois premières faces se rejoignent par pliage au même point S qui pourrait être défini seulement à partir de Sab et Sbc.

Les deux cercles de centre D et A passant respectivement par Scd et Sab se coupent en Sda. Dire que l’on a un patron de pyramide consiste à dire que Sda se replie bien sur S, c’est-à-dire, puisque tout le reste est vérifié, que (HSda) et (DA) sont orthogonales.

Or pour montrer cela on peut simplement appliquer le résultat du cas du triangle en ajoutant un sommet fictif Sca, et la face fictive associée ACSca, mais aussi le sommet fictif Sac (seconde intersection des cercles de centres A et C, et la face fictive CASac :
• Par construction de H et de Sca, la pyramide triangulaire de base ABC a pour sommet S projeté en H.
• Par propriété de H, comme intersection des perpendiculaires à (AC) et (CD) passant par Sac et Scd,
la pyramide de base ACD de sommets Sac et Scd a pour sommet S de projection orthogonale H. Le sommet sur le sol de la face SDA est le point Sda intersection des deux cercles de centres A et D, et donc (AD) est bien perpendiculaire à (HSda).

Version rapide : on a 4 cercles dont les centres radicaux en les prenant par trois - comme ci-dessus - est le point H, donc H est centre radical des 4 cercles.

La figure en manipulation directe

Dans les onglets intérieurs, certains navigateurs - dont Firefox - nécessitent qu’on déplace le curseur pour voir apparaître les faces.

Remarque : selon le navigateur, dans les onglets SPIP, parfois la flèche gauche est sélectionnée. Penser à la désélectionner pour déplacer simplement la figure en 3D.

La même figure, plus grande, en ligne : http://huit.re/VraiPatronPyraQD

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