Pour dessiner par exemple le plan à 169 points, on souhaite montrer sa structure de plan sur le corps $F_{13}$ à 13 éléments (en effet $169=13^2$). En bref, on veut 13 rangées de 13 points chacune. Pour chaque rangée, les ordonnées doivent être fixes, allant de 0 pour la première rangée à 12 pour la dernière : La fonction $E \left( \frac{t}{13}\right)$ fait l’affaire puisqu’elle implémente le quotient euclidien de $t$ par 13. Alors $t$ ira de 0 à 168. Et pour les abscisses, on prend $t$ modulo 13, qui s’implémente par $t-13 \times E\left(\frac{t}{13} \right)$.

Bref, dans CarMetal on choisit l’outil « représentation graphique de fonctions » (deuxième icône dans « fonctions et lieux ») puis on coche la case « fonction paramétrée » comme on le voit ci-dessous :

Ensuite on entre les deux fonctions pour x et y (en CarMetal, la partie entière se note « floor ») :

t-13*floor(t/13)
floor(t/13)

Enfin on voit sur la capture d’écran ci-dessus que t va de 0 à 168, et que le pas est de 1 puisqu’on veut des entiers. C’est cette étape qui donne le plan discret. On voit aussi que le nom de la courbe est « f1 » et on a ceci :

Pas terrible : les points sont bien là mais reliés par des segments comme pour toute représentation graphique qui se respecte ! Alors toujours dans la fenêtre des propriétés de f1, on clique sur l’onglet « Aspect » où on coche la case "seulement avec des points :

Après il suffit de choisir l’aspect des points, et on a un dessin du plan à 169 points (149 octets pour 169 points, ça fait moins d’un octet par point !) :

Et cet espace discret fonctionne à merveille, sans magnétisme. Par exemple, si on crée un point A (en rouge) en cliquant quelque part sur le nuage de points, A sera lié à ce nuage, comme on le voit sur la figure ci-dessous (la même qu’avant, mais avec A en plus) :

Si on bouge A sur la figure ci-dessus, on constate qu’il est bien lié au plan à 169 points, comme en témoignent ses coordonnées affichées à droite. Pour afficher celles-ci, on a créé un texte où on a écrit

A(%x(A)%;%y(A)%)

Pour faire vraiment de la géométrie dans le plan à 169 points, il faut faire de l’analytique modulo 13. Notamment les droites se représentent avec la même technique (représentation paramétrique mais cette-fois ci, t va de 0 à 12 et non 168), avec des coefficients qui se trouvent par division modulo 13, ce qui nécessite la création d’une fonction « inverse modulo 13 » dans CarMetal : Pas facile, il faut abuser de « if(x==2 ;7 ;...) » avec des tests imbriqués...

Cette technique a été utilisée dans ce diaporama sur le plan à 121 points avec quelques diapos sur l’espace à 125 points [1] pour illustrer la notion d’espace de petite dimension sur un corps fini de caractéristique différente de 2.

Pour la caractéristique 2, la situation est tellement déroutante qu’un diaporama spécial (spécial dans tous les sens du terme d’ailleurs) lui a été consacrée.

Tout corps fini est un espace de dimension finie sur un corps $F_p=Z/pZ$ où $p$ est premier. Donc le cardinal d’un corps fini est nécessairement de la forme $p^d$ où $d$ est la dimension du corps sur $F_p$. Ainsi il n’existe pas de corps à 6, 10 ou 15 éléments. Voici la classification des plus petits corps finis :

et la partie située entre 120 et 130 :

qui montre bien l’extrême irrégularité du schéma...