On utilise le planimètre pour mesurer des aires dont au moins une est celle d’un carré qui sert à calibrer les mesures : il définit l’unité d’aire.

Ce document a été distribué aux participants du séminaire du 6 avril 2022 (cliquer sur l’image pour obtenir le pdf) :

La photographie ci-dessous montre un planimètre polaire d’Amsler en cours d’utilisation :

En bas à droite on aperçoit deux cylindres blancs concentriques. Le plus grand des deux est coincé entre le plus petit (un vernier) et un disque métallique : ce dernier est la roue de mesure. Le grand cyclindre est gradué en dixièmes de tours et un engrenage démultiplieur permet à une autre roue graduée située plus près de l’articulation (et perpendiculaire aux autres cylindres) d’afficher le nombre de tours effectués.

Voici un autre planimètre polaire, de marque Morin :

Voici un extrait des explications fournies par Morin :

8) On lit quatre chiffres sur le planimètre : le chiffre des milles sur le disque horizontal divisé de 0 à 9, sur la roulette au contact du papier les chiffres des centaines et des dizaines. Enfin celui des unités sur le vernier.
9) La surface mesurée est la différence entre la seconde et la première lecture.

Pour mesurer une aire,

• on commence par repérer (au crayon par exemple) un point sur le contour de la surface à mesurer,
• on pose le planimètre de telle manière que la pointe de mesure soit sur ce point repéré,
• on lit la graduation actuelle du planimètre,
• on fait faire par la pointe de lecture, un tour complet de la surface à mesurer, en prenant soin que le pôle ne bouge pas au cours de la mesure,
• on lit alors la graduation finale obtenue,
• on effectue enfin une soustraction pour connaître (en tours de roue) l’aire mesurée.

Pour convertir des tours de roue vers les cm², il faut préalablement calibrer le planimètre en mesurant l’aire d’une surface connue. C’est le rôle du carré dans le fichier présenté précédemment, le disque ayant pour rayon le côté de ce carré, son aire est censée être π fois plus grande que celle du carré et le quotient des deux mesures devrait donc a priori être voisine de 3,14. De fait les personnes présentes à l’atelier ont trouvé un quotient entre 3,1 et 3,2.

Les mesures ont été effectuées collaborativement le 6 avril :

• une personne maintient le pôle fixe pour éviter des erreurs de mesure liées à un glissement d’icelui,
• une autre personne fait suivre le contour par la pointe de lecture,
• une troisième prend des notes et commente le travail des autres :

Parfois survient un observateur pour vérifier le résultat :

La mesure requiert de la concentration :

Avant même le début du cours sur le calcul intégral, on peut faire mesurer par les élèves, des aires sous des courbes. L’essentiel de la séance consiste à apprendre à manipuler le planimètre et effectuer des mesures. Par la suite, il est dit que l’aire mesurée s’appelle une intégrale, puis dans le cours sur le calcul intégral, on calcule les intégrales données en exemple et on compare le résultat du calcul avec celui des mesures.

L’Oberstlieutnant Holger Prytz (1848-1930) a rédigé, en 1886, pour la revue danoise Den Tekniske Forenings Tidsskrift un article faisant le bilan de la planimétrie à la fin de XIXéme siècle.

Outre une description des modèles les plus courants à l’époque (planimètres polaires d’Amsler, de Coradi et d’Ott), Prytz propose une version simplifiée de ces planimètres, qui ne donne pas la valeur exacte de l’aire mais seulement une approximation, mais qui est plus simple à construire (et peut donc être construite en série).

Le planimètre de Prytz ressemble à une petite hache :

L’un des bouts du planimètre est pointu et sert de pointe de visée comme pour tous les planimètres (on lui fait suivre le bord de la surface à mesurer). L’autre a une forme plus plate (une lame) et parcourt une tractoire du pourtour.

Par exemple avec un carré, la tractoire [1] ressemble à un triangle curviligne :

On constate que la position finale du planimètre n’est pas identique à sa position initiale, on a donc (pour montrer le fonctionnement) refermé la boucle en tournant le planimètre autour du point qui a servi de départ et d’arrivée sur le pourtour, traçant ainsi un arce de cercle. Cet arc de cercle délimite un secteur circulaire (en rouge) :

Il résulte du théorème de Green que l’aire du carré est la somme de l’aire du secteur circulaire (en rouge) et de l’aire du triangle curviligne. En fait ce triangle curviligne est compté négativement car il est à l’intérieur du cercle et le résultat exact donné par le théorème de Green est que la somme algébrique de l’aire du secteur circulaire et de l’aire algébrique de la tractoire refermée par l’arc de cercle, est égale à l’aire mesurée.

Souvent la tractoire comprend une partie en dehors du cercle et une autre partie en dedans :

Dans ce cas l’aire algébrique de la tractoire refermée par l’arc de cercle est faible puisque les aires des parties en dehors du cercle compensent celles des parties dans le cercle.

Aussi Prytz propose-t-il de négliger cette aire algébrique (que l’on ne sait de toute manière pas calculer dans le cas général) et le planimètre de Prytz ne donne qu’une approximation de l’aire cherchée.

Pour cette activité, un planimètre à cône est tout indiqué (on ne déplace le stylet que le long de la représentation graphique et non sur toute une courbe fermée).

Un planimètre d’Amsler est également un bon choix de par sa précision. Mais ne disposant pas de planimètres d’Amsler, il a été fait le choix de planimètres de Prytz, plus faciles à fabriquer. La fabrication a été faite au lycée Roland-Garros, à l’aide d’une imprimante 3D (la machine à découpe laser étant en panne à ce moment-là).

Pour cela, a été fait ce profil au format svg :

Puis le chemin a été importé dans le logiciel Blender 3D, et converti en mesh puis extrudé. Voici le fichier obtenu :

On remarque que Blender a déformé l’arc de cercle au moment de l’import du fichier. Le fichier a été exporté au format STL qui est reconnu par le pilote de l’imprimante 3D :

On peut visualiser en ligne l’objet 3D ci-dessus, en le chargeant sur ce site.

Plus tard (après l’activité en BTS) a été refait un planimètre de Prytz avec Blender, mais en utilisant des pavés, cônes et cylindres (le cône semblant assurer une meilleure prise en mains) :

Voici le modèle en STL pour impression en 3D :

On gagne en stabilité si on leste (ici par des rondelles en métal) la lame du planimètre.

Pour l’activité, la longueur du planimètre de Prytz a été choisie telle que son carré soit 150 cm², soit environ 12,25 cm. Le logiciel CaRMetal a été choisi pour réaliser les figures de l’activité car il exporte les dessins en vraie grandeur (1 unité dans le repère de CaRMetal donnant un centimètre sur le papier).

La feuille d’exercices ci-dessous a été distribuée dans un premier temps (durée : une vingtaine de minutes) :

Il s’agissait juste de mesurer des intégrales à l’aide du planimètre. Les graduations angulaires sur la feuille sont en centimètres carrés. Voici le diagramme en bâton des mesures pour la première intégrale (environ 10,67 cm²) :

La moyenne est de 14,519 cm². On gagnait en précision en effectuant 10 fois le tour de la surface (sans remettre le planimètre à 0) et en divisant la déviation angulaire totale par 10.

La seconde intégrale a posé plus de problèmes car elle est petite (difficile de faire décoller le planimètre) :

La moyenne de cette série est 13,78 cm² alors que la valeur de l’intégrale est 3,94 cm².

Après cette séance a été fait le cours sur les intégrales. Les exercices sur les primitives ont été faits avec plus de succès que les années précédentes, peut-être par l’attrait du nouveau mais peut-être aussi parce que le mot « intégrale » a été associé à quelque chose de suffisamment concret pour être mesuré.

La suite de la séance a été consacrée à une mesure multiple d’intégrales, la borne supérieure variant d’une mesure à la suivante :

Les plus petites intégrales ont souvent été mesurées comme nulles, ce qui donne un aspect convexe à la primitive :

Et les fluctuations des mesures ont été parfois très visibles :

Pour comparaison, voici la représentation graphique de la primitive s’annulant en 1 :

Un planimètre de Prytz de plus grande précision a été fabriqué au lycée Roland Garros par Yani Picard (préparateur en physique appliquée), à l’aide de câble en cuivre, d’une rondelle en inox, d’un bouchon de vin et d’un bâton. Il pourrait servir pour des activités innovantes dans le premier degré.

La pointe de mesure est un câble électrique en cuivre, torsadé pour le rendre plus dur et plus droit, et au bout limé pour moins accrocher :

La lame est une rondelle en inox, plantée dans un bouchon de vin, lui-même vissé dans un bâton (du « support » d’impression 3D d’un des planimètres précédents) :

C’est parce que la lame est fine, qu’elle ne glisse pas. C’est là le secret de la précision du planimètre. La lecture de l’aire mesurée est également facilitée par cette finesse de la lame.

Voici ce planimètre en action lors de la mesure de l’aire d’un rectangle 5cm×10cm :

Avec ce planimètre, on a mesuré que

• l’aire d’un carré de côté 2cm est un peu moins que 5cm²,
• l’aire d’un carré de côté 3cm est un peu moins que 10cm²,
• l’aire d’un carré de côté 4cm est un peu plus que 15cm²,
• l’aire d’un carré de côté 5cm est 25cm²,
• l’aire d’un carré de côté 6cm est environ 38cm²,
• l’aire d’un carré de côté 7cm est environ 50cm²,
• l’aire d’un rectangle 5cm×10cm est aussi 50cm²,
• l’aire d’un carré de côté 8cm est environ 60cm²,
• l’aire d’un carré de côté 9cm est plus que 70 cm².

ce qui suggère une méthode jusqu’alors inexpérimentée pour enseigner les tables de multiplication. Par exemple pour apprendre combien font 6×4, on

• dessine un rectangle de 6cm×4cm,
• mesure son aire à l’aide du planimètre,
• en déduit une valeur approchée du produit 6×4,
• se rappelle que 6 et 4 étant tous les deux pairs, le produit doit être pair

ce qui donne un ordre de grandeur du produit, éventuellement susceptible d’aider à mémoriser sa valeur exacte.

Un avantage qu’il y a à relier la multiplication avec des calculs d’aire est que, si on admet l’invariance de l’aire par déplacement (rotation de 90° par exemple) alors la commutativité de la multiplication devient évidente.

En mesurant avec des planimètres de Prytz des aires de carrés de côtés respectifs 1cm, 2cm etc, on voit que les résultats des mesures ne sont pas alignés :

Avec le planimètre à rondelle :

Avec le planimètre imprimé en 3D :

En rouge pointillé, la parabole d’équation y=x².

Cette partie de l’activité est peut-être plutôt pour le cycle 4 puisqu’elle fait intervenir la notion de fonction (en plus, non affine).