Quelques remarques issues de la deuxième journée du stage
(J’étais absent de la première journée, à cause des conférences pour les 10 ans de l’IREM ; un compte-rendu plus complet est ici)
- La notation $A \Leftrightarrow B \Leftrightarrow C$ est à éviter car elle est ambigüe. En effet on peut l’interpréter par
$$\left( A \Leftrightarrow B \right) \wedge \left( B \Leftrightarrow C\right)$$
ou par
$$\left( A \Leftrightarrow B \right) \Leftrightarrow C$$
qui n’ont pas la même signification (René Cori a mis leurs tables de vérité au tableau pour nous en convaincre). - René Cori déconseille de placer des quantificateurs à la fin comme dans "$x^2$ est positif pour tout $x$ réel". En effet la majorité des élèves ont une perception de la phrase qui est linéaire dans le temps, et ne comprennent tout simplement pas ce genre de phrase. La parade est évidemment de prendre l’habitude le plus tôt possible de mettre le quantificateur au début : $\forall x \in \R, x^2\geqslant 0$.
- Il est peut-être plus simple, plutôt que d’expliquer ce que signifie $A \Rightarrow B$, d’expliquer ce que signifie sa négation : C’est $A \wedge \neg B$. René Cori conseille de mettre ça dans le cours, le plus tôt possible, afin de pouvoir arriver à ceci :
- Par conséquent la négation de $(\forall x) A \Rightarrow B$ est $(\exists x) A \wedge \neg B$...
- Une stagiaire a proposé comme illustration de la notion de contraposée, la démonstration de "Si $n^2$ est impair alors $n$ est impair". De façon générale, la plupart des stagiaires avaient faim d’exemples traitables en Seconde ; personnellement je suis un peu resté sur ma faim...
- À ce propos, René Cori a proposé, lui, comme exemple de contraposée, de chercher la contraposée de "Si tu as faim, il y a de la viande dans le frigo" ! L’explication : le mot "si" a plusieurs significations dans la langue française, et ne représente pas toujours une implication.
- Par contre, "halte ou je tire" est bien une implication, comme on peut s’en rendre compte en transformant $\neg A \vee B$ en $A \Rightarrow B$.
- René Cori déconseille également d’utiliser la notation "$\Rightarrow$" pour "donc" parce que "$A \Rightarrow B$" et "$A$ donc $B$" n’ont pas la même signification.
- René Cori préfère la notation $\Omega \setminus A$ à la notation probabiliste $\bar{A}$ pour le contraire. En effet la deuxième notation ne fait pas référence à l’ensemble contenant.
- Sur le lien entre probabilités et logique, René Cori déconseille de "remplacer" les implications par des inclusions, en faisant (essayer de) construire le tableau suivant :
| logique | probabilités |
| $A \wedge B$ | $A \cap B$ |
| $A \vee B$ | $A \cup B$ |
| $\top$ | $\Omega$ |
| $\bot$ | $\emptyset$ |
| $\neg A$ | $\bar{A}$ |
| $A \Rightarrow B$ | ? |
On serait tenté de mettre $A \subseteq B$ dans la dernière case, mais on ne peut pas puisque dans les autres cas, il s’agit d’opérations entre ensembles (le résultat est un ensemble) mais $A \subseteq B$ est une proposition et pas un ensemble. Remarque personnelle : Il y a quand même un lien entre implication et inclusion puisque $A \subseteq B \Leftrightarrow \bar{A} \cup B = \Omega$...
Différentes sortes de raisonnement :
- Des exemples d’application du raisonnement par conditions nécessaires : René Cori propose les problèmes des lieux (ou de lignes de niveau). Il n’est pas question de raisonner par condition nécessaire sans parler aussi des conditions suffisantes.
- Le raisonnement par contraposition n’est pas le raisonnement par l’absurde : Le raisonnement par contraposition consiste juste à démontrer $\neg B \Rightarrow \neg A$ pour démontrer $A \Rightarrow B$. Alors que le raisonnement par l’absurde (pour montrer $A \Rightarrow B$) consiste à supposer le contraire, soit $A \wedge \neg B$, et à montrer $\bot$ (antilogie) à partir de là. Remarque personnelle : Il y a bien un lien entre les deux types de raisonnement lorsque ce n’est pas une implication qu’on cherche à montrer par l’absurde, puisque dans ce cas c’est $\neg B \Rightarrow \bot$ qu’on démontre (on suppose $B$ fausse et on en déduit une absurdité) et que la contraposée de $\neg B \Rightarrow \bot$ est $\top \Rightarrow B$ ce qui revient bien à démontrer $B$.
- Raisonnement par disjonction des cas : René Cori donne comme exemple la classique démonstration de l’existence de deux nombres $a$ et $b$ irrationnels tels que $a^b$ soit lui aussi irrationnel (ici il y a deux cas : ou bien $\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \in \Q$ ou bien non ; la démonstration n’est qu’une démonstration d’existence, qui faillit à dire lequel des cas est le bon ! En fait,$\sqrt{2}^\sqrt{2}$ est irrationnel mais ce n’est pas avec la démonstration par disjonction des cas qu’on le sait).
- Le raisonnement par récurrence est basé sur la propriété suivante :
| Toute partie non vide de $\N$ admet un plus petit élément. |
Par conséquent il peut éventuellement être abordé assez tôt (c’est l’opinion de René Cori, on n’est pas obligé de la partager !) Par exemple, à la question de la recherche d’un exemple, il a proposé la démonstration de $\forall n \in \N, F_{n+1}=F_{n} F_{n+2}+(-1)^{n+1}$, où $(F_n)_{n \in \N}$ désigne la suite de Fibonacci).
René Cori interprête la classique erreur dans les démonstrations par récurrence, par le passage de l’hypothèse de récurrence $\forall k, \left( p_k \Rightarrow p_{k+1} \right)$ à $\left( \forall k, p_k \right)\Rightarrow p_{k+1}$ qui est une évidence. En ce sens, la fameuse erreur de récurrence est un problème de parenthèse mal placée !
Il y a deux sortes de raisonnements par récurrence :
- Celui basé sur $\left( p(0) \wedge (p_{k-1} \Rightarrow p_k) \right)\Rightarrow p_n$
- et celui basé sur $\left( p(0) \wedge (\forall m < k, p_m) \Rightarrow p_k \right)\Rightarrow p_n$.
Un exemple d’utilisation de la deuxième version est la démonstration de la propriété "tout entier supérieur ou égal à 2 a un diviseur premier".
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