Moyennes harmoniques en Seconde

mardi 24 novembre 2009
par  Alain BUSSER


Pour aller plus loin

Une des élèves a par erreur réinventé les diagrammes en toile d’araignée :

toile d’araignée

Autrement dit, on peut calculer une moyenne harmonique de manière itérative (ce qui peut être vu en Première). La suite considérée est $u_{n+1}=-\frac{2}{5}u_n+2$. La manipulation de $u_0$ sur la figure ci-dessus montre que pour toute valeur de $u_0$, la suite converge vers la moyenne harmonique.

Le début de la suite pour $u_0=2$ donné par WxMaxima donne ceci :

$$2\mapsto\frac{6}{5}\mapsto\frac{38}{25}\mapsto\frac{174}{125}\mapsto\frac{902}{625}\mapsto\frac{4446}{3125}\mapsto\frac{22358}{15625}\mapsto\frac{111534}{78125}\mapsto\frac{558182}{390625}$$

qui est une suite de fractions qui convergent vers une fraction.

En Terminale, on peut conjecturer et chercher à démontrer par récurrence que le dénominateur est $5^n$ et, en posant $u_n=\frac{a_n}{5^n}$, on a

$$\frac{a_{n+1}}{5^n}=-\frac{a_n}{5^n}+\frac{2\times 5^n}{5^n}=\frac{2 \times 5^n-a_n}{5^n}$$

La suite des numérateurs est donc définie récursivement par

$$\left\{\begin{array}{l}a_0=2\\a_{n+1}=2 \times 5^n-a_n\end{array} \right.$$

et peut mener à une recherche d’éventuelles propriétés arithmétiques des nombres $a_n$...


Commentaires

Navigation