Dans l’un des ateliers d’une usine chimique, la production journalière d’une cer-
taine substance est comprise entre 0 et 90 kilogrammes.
Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 90], on note f(x) le coût de production, en euros,
de x kilogrammes de cette substance. La fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 90].
Un kilogramme de la substance produite est vendu 9 €. La fonction g , ex-
primant la recette en euros pour x kilogrammes vendus, est donc définie sur
l’intervalle [0 ; 90] par g(x) = 9x.
Toute la production est vendue et l’entreprise souhaite optimiser son béné-
fice.
Dans la suite, on admet que la fonction coût de production journalier f est définie
par :
f (x) = 0,075x2 + 1,5x + 120 pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 90].
Montrer que le bénéfice B(x) réalisé par l’atelier pour la production et la vente
journalières de x kilogrammes est donné par :
B(x) = −0,075x2 + 7,5x − 120 pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 90].

	f = (x) -> 0.075*x*x+1.5*x+120
	g = (x) -> 9*x
	B = (x) -> (g x) - f x

• f désigne la fonction coût (fonction de x);
• g désigne la fonction recette (fonction de x);
• B désigne la fonction bénéfice (fonction de x)

   B = (x) -> -0.075*x*x + 7.5*x - 120

En dérivant la fonction B par rapport à x, on trouve B'(x)=-0,15x+7,5, qui est positif pour x≤50 et négatif pour x≥50. Le maximum est donc atteint en x=50 comme on a pu expérimenter ci-dessus, et vaut B(50).