L’arbre de Brocot, élaboré à la fin du XIX^e siècle, a capté l’attention de nombreux mathématiciens. Ses nœuds ont été relié à des objets mathématiques très différents : nombres rationnels positifs, intervalles de nombres réels, matrices, homographies. Ses branches ont été représentées par des séquences binaires sur l’alphabet {gauche, droite}, un lien a été établi avec le développement en fractions continues d’un nombre réel, etc. Dans ce texte nous abordons l’arbre sous un angle nouveau.

L’objet initial de ce texte est de compter le nombre des puissances de 3 inférieures à un nombre d donné et de le comparer à celui des puissances de 2 également inférieures à d.

Les nombres de la forme $n^2+n+41$ ont depuis longtemps intéressé les mathématiciens. Euler fit remarquer que pour n = 0, 1, 2, ..., 39, ils sont tous premiers. Un nombre composé est un nombre entier naturel différent de 1 qui n’est pas premier. Le travail qui suit porte sur un ensemble de nombres composés de la forme $n^2+n+r$.

La division euclidienne permet pour un nombre rationnel de trouver son développement en fractions continues. Nous montrons dans le texte qui suit que c’est également le cas pour une autre famille de nombres réels : les nombres irrationnels de la forme √α, lorsque α est un entier naturel non carré. En lien avec le thème précédent, nous nous intéressons aussi aux polynômes de Lagrange.

Ce texte montre l’aide que peut apporter le logiciel Xcas pour progresser vers la solution de deux problèmes du XVII^e siècle. Présentés comme des défis pour les mathématiciens de l’époque, ils peuvent, aujourd’hui, être pratiquement abordés par un élève de lycée.

L’article justifie la méthode de Héron pour extraire une racine carrée par la géométrie élémentaire. Le théorème de Thalès ainsi que les notions de moyenne proportionnelle, de médiatrice d’un segment et de partition du plan qui en découle, permettent de mettre en évidence et de comprendre l’algorithme utilisé par Héron, tout en prouvant sa convergence.

Un programme écrit avec Xcas fournit les nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Simplement manipulatoire, il ne fait pas appel aux notions de cribles, de diviseurs ou de multiples. Il peut s’interpréter à l’aide d’un abaque composé d’une seule tige verticale et pouvant recevoir un grand nombre de jetons, et d’un boulier dont les tiges verticales ne peuvent recevoir qu’un nombre limité de boules. Son utilisation permet de revisiter divers résultats classiques d’arithmétique.

On propose deux problèmes qui portent sur les itérés des nombres entiers par une fonction particulière. Comme pour le problème de Syracuse, un seul bassin d’attraction apparait. Dans chaque cas, une conjecture émerge qui semble vouloir résister. Pourtant au moins une des deux est fausse !

Des problèmes de type Syracuse sont étudiés, dont certains sont résolus avec des moyens de niveau lycée. Le logiciel Xcas est utilisé pour les calculs.

L’année 2015 verra peut être la conjecture des nombres premiers jumeaux s’éteindre. Le moment paraît donc bien choisi pour sensibiliser les élèves de classes terminales et leurs professeurs sur un sujet qui défit l’esprit depuis des siècles.