Exercice

On veut démontrer que les trois médianes d'une triangle passent par un même point G. Alors on définit le point G comme intersection des médianes (AA') et (BB'): Il ne reste alors qu'à prouver que la médiane issue de C passe aussi par G. Autrement dit, on veut prouver que la droite (CG) passe par le milieu de [AC]. Pour cela, on construit un point D supplémentaire, symétrique de C par rapport à G:

Remettre la démonstration dans l'ordre:

• puisque ses côtés opposés sont parallèles.
• Donc (GA)//(C''B).
• Soient A' le milieu de [BC] et B' le milieu de [AC].
• Donc ses diagonales se coupent en leur milieu C'.
• Donc AC''BA' est un parallélogramme,
• Donc C' est aligné avec C et G cqfd.
• Mais (GB')=(BG),
• De même, (GA')//(C''B) (théorème des milieux dans BC''C).
• Soit également G=(AA')∩(BB').
• Mais (GA)=(GA').
• Soit enfin C'' le symétrique de C par rapport à G.
• donc (BG)//(C''A).
• D'après le théorème des milieux dans AC''C, (GB')//(C''A).