Le modèle de Bernoulli, une manière non standard pour enseigner les fractions en cycle 2

Dans les programmes de 2025, on aborde les fractions dès le cycle 2, selon la progression suivante :

• En CE, on aborde des fractions de grandeurs (en général continues : par exemple pour obtenir les trois quarts d’une pizza, on coupe la pizza en quatre parts égales, puis on en prend trois ; la plupart des enfants savent qu’il est impossible de couper une pizza en quatre parts rigoureusement égales…),
• en CM, on passe progressivement des fractions de grandeurs, à des fractions de mesures,
• en 6^e, on apprend qu’en fait les fractions sont des nombres (quotients d’entiers).
• Dans le nouveau programme (2026) de cycle 4, on lit :

une fraction est le quotient de deux entiers (numérateur et dénominateur)

Le programme, qui s’inspire de (Neagoy 2017), n’aborde cependant pas les ratios, clairement évoqués dans l’ouvrage de référence. L’activité présentée ici, par contre, permet aux élèves de réinventer le concept de ratio. En n’évoquant que des grandeurs discrètes (et donc des mesures entières), elle est clairement hors programme. Cependant elle permet de parler de fractions dès le CE 1 avec simplicité et efficacité, et elle reste basée sur de la manipulation d’objets. Elle est basée sur le modèle de Bernoulli qui n’est n’est pas du tout évoqué dans les programmes, mais qui permet d’aborder aussi la notion de probabilité : chez Bernoulli, la probabilité (lorsqu’on extrait une graine de l’urne) que la graine soit noire, est égale à la proportion de graines noires dans l’urne, comme on le voit avec cette activité en ligne qui existe depuis plus de 10 ans et a déjà servi comme question flash en CM.

L’activité proposée ici dure environ une heure et est composée de deux parties : au début on distribue des pions de deux couleurs (que les élèves connaissent pour avoir joué à alquerkonane la semaine précédente) et on demande à chaque élève la proportion de pions noirs sur le total de pions ; et dans la seconde partie on demande aux élèves de troquer des pions de manière que la proportion de pions noirs soit une fraction donnée (ici, 1/2).

Première partie : trouver la fraction

Sur l’ardoise, les élèves écrivent la phrase à trous suivante :

Il y a …… pions noirs sur …… pions.

Puis on leur distribue un nombre aléatoire de pions de chaque couleur, et ils doivent compléter la phrase. Par exemple voici la fraction 7/17 :

et la fraction 4/11 :

Au début, beaucoup d’élèves ont tendance à ne compter que les pions blancs au lieu de tous les pions, ce qui aboutit à un ratio (ci-dessus 4:7) au lieu d’une fraction.

Ceci dit, une fois comprise la différence entre ratios et fractions, les élèves continuent à compter les pions blancs, parce qu’il est plus simple (dès le CE 1) d’additionner les nombres de pions noirs et pions blancs, plutôt que compter tous les pions.

Souvent, les élèves placent les pions de manière à pouvoir les comparer :

(fraction 7/12)

(fraction 4/11)

(fraction 5/14)

(fraction 4/11)

(fraction 8/13)

(fraction 4/11)

Simplification de fractions en CE 1

Pour trouver les nombres de pions noirs et de pions blancs, des élèves de CE 1 ont tendance à simplifier l’urne en sous-urnes identiques entre elles. Ce qui révèle des écritures différentes d’une même fraction :

4/12 = 1/3

4/10 = 2/5

3/9 = 1/3

6/12 = 1/2

qui amène à citer un théorème totalement hors programme :

Lorsqu’une urne peut être décomposée en sous-urnes toutes identiques entre elles, la proportion de pions noirs dans l’urne est la même que la proportion de pions noirs dans chacune des sous-urnes.

Cependant, il faut bien faire attention au début de l’énoncé, de peur que plus tard des élèves en déduisent à tort des choses comme 2/3+4/5 = (2+4)/(3+5).

Cette manière de montrer la simplification de fractions, outre le fait qu’elle a été inventée par des élèves de CE 1, présente sur la manière classique l’avantage de ne pas nécessiter d’hypothèse sur la stricte égalité entre mesures continues et de ne parler que de nombres entiers, conformément au programme de cycle 4 de 2026.

Version cours moyen

En CM, on apprend plutôt à compliquer les fractions, qu’à les simplifier. Par exemple pour montrer visuellement que 4/12 = 1/3, on commence par représenter 1/3 (en supposant que les trois rectangles sont rigoureusement superposables) :

et ensuite, on découpe chaque rectangle en 4 parties (rigoureusement, bien sûr, puisque tout un chacun sait que c’est possible) égales :

et, comme on compte 3 carrés cyan sur 12 carrés, la fraction 1/3 est égale à la fraction 4/12.

Version CE 1

Là, on part de 12 graines dont 4 sont noires (on n’a donc effectivement que des entiers) et on arrange les graines pour faire apparaître des motifs identiques, ayant chacun un pion noir sur trois :

Encore une fois, ce modèle

• est basé sur des nombres entiers et pas des rectangles,
• part de la fraction compliquée 4/12 et va vers une simplification,
• est basée sur une vraie manipulation d’objets et non un simple dessin de rectangles.

Ce qui peut expliquer son succès auprès d’élèves de CE 1, qui en sont d’ailleurs les auteurs. Reste à produire des exercices du style simplifier les fractions par un jeu sérieux…

Construire la fraction 1/2

La première version de l’exercice, en ligne, consistait à créer soi-même une proportion imposée par l’énoncé. Pour la version pions, l’énoncé suivant a été écrit au tableau :

La moitié des pions sont noirs.

puis il a été demandé aux élèves de faire en sorte que ce soit vrai, par troc avec l’animateur :

• soit on demande des pions en plus,
• soit on se débarrasse de certains pions,

et, dans chacun des cas, on précise le nombre et la couleur des pions.

Dans de rares cas, il y avait déjà la bonne proportion de pions, mais même là, les élèves ont essayé de changer la représentation de la fraction 1/2. En fait le but est d’avoir autant de pions de chaque couleur.

En fait, il s’agit d’un exercice de soustraction. Par exemple si j’ai 7 pions noirs sur 17 pions, c’est que j’ai 10 (obtenu par soustraction) pions blancs, donc un trop plein de pions blancs. Alors je peux

• me débarrasser des pions blancs superflus (10 pions – 7 pions = 3 pions, ou je les vois par alignement),
• ou demander des pions noirs : il en faut 10-7=3.

La seconde méthode, bien que plus compliquée, a été souvent préférée des élèves, aboutissant à des fractions de grand dénominateur et pas forcément égales à 1/2. Par exemple à partir de 7/17 on est arrivé à 12/22 :

Une élève de CE 1, semblant viser d’instinct la fraction 2/3, a régulièrement constaté qu’il y avait trop de pions noirs, et a essayé de compenser cela en ajoutant d’autres pions noirs, ce qui n’a fait qu’aggraver la situation :

Une seule élève (CE 2) a pensé à se débarrasser de presque tous ses pions en n’en laissant qu’un de chaque couleur : la moitié c’est un sur deux donc un pion noir et un pion blanc. D’autres fractions, plus complexes, ont été trouvées :

8/16 :

6/12 :

5/10 :

Avec, souvent, une recherche esthétique impressionnante :

Presque 1/2

En CE 2, il y a eu parfois des difficultés à arriver pile sur 1/2. Voici quelques erreurs constatées :

Dans ces deux derniers cas, il est possible que les élèves en soient restés à la partie précédente, ou qu’ils aient visés d’autres fractions que 1/2 (1/3 ci-dessus). Cependant, il y a eu de réelles difficultés de planification des tâches (la soustraction n’est pas toujours maîtrisée) et la fraction ci-dessus peut aussi provenir de la recherche d’un ratio 1:2 plutôt que celle d’une fraction 1/2.

Conclusion

Cette activité est hors programme, mais elle est axée sur la représentation d’une fraction comme quotient de deux nombres entiers, permet de découvrir instinctivement les notions de ratio et de probabilités, est basée sur un cycle entre manipulation et observation, et peut être traitée dans le cadre de la résolution de problèmes. Il serait donc dommage de ne pas la tester, ne serait-ce qu’en APC.