Bim et Schim

Les deux jeux présentés ici font appel à la motricité fine, et sont donc intéressants à pratiquer dès le CP, voire la GS. Leurs noms vient de ceux de leurs auteurs (Bim est Busser’s nim et Schim est Schilli’s nim). Les deux jeux proviennent de tentatives d’améliorations de Rim, jeu créé à la va-vite par John Conway, et ici décrit (page 131 de On Numbers and Games) :

En fait, le jeu décrit par Conway, tel quel, est relativement sans intérêt, puisqu’il y a une stratégie gagnante simple pour celui qui joue en premier : il n’a qu’à tracer une courbe fermée passant par tous les points et son adversaire est bloqué.

• Dans Bim, on ajoute la règle suivante : au premier coup on trace une courbe passant par au moins un point, mais pas par tous les points.
• Dans Schim on ne dit rien sur le premier coup, mais la courbe tracée doit obligatoirement passer par 1, 2 ou 3 points qui ne sont pas déjà sur une courbe. Schim est dont une généralisation de Rayles décrit ci-dessus.

Bim

On appelle libre un point qui n’est pas sur une courbe. Voici donc la règle de Bim ;

Le jeu se joue sur une constellation. Le premier trace une courbe passant par au moins un point, et lassant libre au moins un point. Ensuite chaque joueur à son tour, trace une courbe passant par au moins un point libre, et ne croisant ni touchant aucune courbe déjà tracée. Le premier qui ne peut plus jouer a perdu.

Bim est le jeu octal 0.677777777…

Schim

Voici la règle de Schim :

Le jeu se joue sur une constellation. Chaque joueur à son tour trace une courbe passant par 1, 2 ou 3 points libres et ne croisant ni touchant aucune courbe déjà tracée. Le premier qui ne peut plus jouer a perdu.

Schim est le jeu octal 0.777.

On convient que dès qu’une courbe en croise une autre (ou elle-même) ou passe par plus de 3 points libres ou par un point non libre, le joueur ayant fait l’erreur a perdu.

Voici quelques exemples de parties de Schim jouées en (fin de) CP :

Exemples d’erreurs

Ces exemples sont utiles pour expliquer la règle du jeu : on demande aux élèves quelles sont les erreurs :

• L’une des courbes passe par plus de 3 points.
• Il reste un point libre.
• Une courbe passe par plus de 3 points, et deux courbes passent par un même point.
• Le petit cercle orange à gauche, passe par un point qui est sur une courbe, ou croise cette courbe.
• Une courbe reliant l’unique point libre à un point déjà sur une courbe, a été tracée par erreur, puis barrée, ce qui a caché le fait que le point tout à droite est libre et que le jeu n’était donc pas fini.
• La courbe fractale se croise elle-même.
• L’hypoténuse du triangle à gauche, n’arrive pas vraiment à éviter un point non libre.
• Deux points sont sur deux courbes (en gris).
• La courbe jaune passe par 5 points.
• Deux courbes marron sont tangentes.
• La courbe bleue passe par 4 points.
• La courbe fractale s’auto-croise.
• Les verts n’ont pas vu qu’il reste un point libre et ont cru perdre alors qu’ils gagnaient.
• Une courbe passe deux fois par le même point.
• Deux courbes se croisent (et en plus l’une est de trop, les verts n’ayant joué qu’une fois).
• Si on ne triche pas, le jeu se termine sur des sommets qui sont tous de degré 2 ; ici il y a même un sommet de degré 4 !

Le théorème de Jordan (toute courbe fermée sans point double sépare le reste en un intérieur et un extérieur) n’est pas une vision naturelle en CP (au début, aucun élève n’a pensé à englober des courbes dans une courbe, par contre la notion de courbe fractale semble être présente, comme on le voit sur certains exemples ci-dessus.

Exemples de parties terminées

Pour analyser des parties, il vaut mieux imposer la couleur bleue à celui qui joue en premier et la couleur rouge à celui qui joue en deuxième, afin de pouvoir expliquer qui a gagné au cas où il y a un nombre pair de courbes. Voici quelques parties remarquables observées en CP :

Comment faire jouer à Schim

Les élèves peuvent très bien jouer sur une ardoise, sur laquelle ils adorent d’ailleurs dessiner les points avant de jouer. Mais il vaut mieux les faire jouer juste avant la sonnerie, car le jeu les excite. Comme cela avait déjà été fait avec Sprouts (auquel Bim et Schim ressemblent un peu), on peut même envisager un tournoi au tableau avec Velleda.

On détermine qui joue en premier, avec Pierre-Feuille-Ciseaux : le gagnant à Pierre-Feuille-Ciseaux joue la couleur bleue et commence. Quand le jeu est terminé, il est intéressant de l’examiner avec les élèves et débattre de qui a gagné et pourquoi. S’il y a un nombre pair de courbes, c’est Bleu qui a gagné, sinon c’est celui qui a tracé une courbe de plus que l’autre (sauf s’il y a eu triche comme deux courbes qui se croisent ou une courbe qui passe par plus de 3 points).

Il peut être intéressant aussi de donner des problèmes de Schim du type Rouge joue et gagne en un coup. Et surtout, le jeu faisant travailler les nombres 1, 2 et 3 et la motricité fine, serait probablement intéressant à explorer en cycle 1, ou en début de CP : on voit plus haut sur les exemples, la maîtrise qu’ont certaines élèves en tracé de cercle circonscrit à la main, ainsi qu’un cercle de diamètre donné, il serait intéressant de comparer ces performances avec celles d’élèves plus jeunes, mais aussi avec celles d’élèves plus âgés : l’idée de séparer les points par une courbe n’est apparue spontanément à aucun.e élève de CP.

On peut aussi jouer au tableau, comme cela avait été fait pour Sprouts à partir de la grande section.

Des élèves, avides de jouer sur beaucoup de points, ont inventé une variante de Schim où on a aussi le droit de passer par 4 points :

Mais ils n’ont pas pensé à englober des points ou des courbes dans une courbe, d’ailleurs ils voyaient des polygones remplis :

Combien de points ?

Manifestement, le jeu testé en CP avec 7 points au départ, est peu intéressant. Or il se trouve que le nombre de Grundy de ce jeu est 3 qui n’est pas énorme. Un critère de choix de nombre initial de points pour lequel la stratégie gagnante n’est pas évidente est un nombre de Grundy élevé. Par exemple, 6, 10, 11, 14, 16, 33 ou 34 points semblent intéressants :

Ces nombres de Grundy ont été calculés avec ces fonctions Python, utilisant la programmation dynamique :

def mex(tab):
    for k in range(len(tab)+1):
        if k not in tab:
            return k

def decomp(n):
    return [(i,n-i) for i in range(n//2+1)]

def grundy(n):
    tab = list(range(5))
    for k in range(5,n+1):
        sommes = set()
        for j in range(k-1,k-4,-1):
            for t in decomp(j):
                sommes.add(tab[t[0]]^tab[t[1]])
        tab.append(mex(sommes))
    return tab[n]

On constate que pour un nombre raisonnable de points, le nombre de Grundy 9 ne semble pas exister. En fait il faut attendre jusqu’à 418 points pour que le nombre de Grundy soit 9 :

La répartition des nombres de Grundy semble aussi complexe que celle pour ce jeu inventé par un autre Patrick, ce qui montre que Schim est un jeu objectivement intéressant. En plus, il est praticable très jeune, alors pourquoi se priver ?