Des jeux pour découvrir la divisibilité

La semaine des mathématiques de 2015 a permis de tester des jeux permettant de mieux connaître les tables de multiplication.

Le trésor de Jabuse

Cette variante du jeu de Fort-Boyard appelée jeu des parties aliquotes diffère de son ancêtre par le fait qu’au lieu de soustraire 1, 2 ou 3 objets de la collection, on en soustrait autant qu’on veut du moment que le nombre d’objets que l’on s’apprête à retirer de la collection, est un diviseur propre du nombre d’objets actuellement présents.

La redoutable sorcière Latourista, sorcière des mers du Sud, a jeté sur une des pièces du trésor du pirate Jabuse, un sort, qui provoque chez le possesseur de ladite pièce d’atroces douleurs abdominales. Désireux de guérir de cette dysenterie, le pirate Jabuse vous propose de partager son trésor. Votre but n’est pas de gagner un maximum de pièces, mais de ne pas avoir la pièce maudite.

Pour partager les pièces, on fait comme ceci : chacun son tour, dispose les pièces restantes en un motif rectangulaire, puis prélève une ligne ou une colonne de ce rectangle.

Celui qui prend la dernière pièce perd le jeu, et est instantanément frappé par la malédiction de la célèbre sorcière Latourista.

Par exemple, s’il ne reste que 12 pièces et que c’est à moi de jouer, je peux

• placer ces pièces en une ligne et prendre cette ligne (déconseillé : prendre toutes les pièces c’est aussi prendre la pièce maudite et perdre le jeu),
• placer les pièces en deux lignes de six et prendre une des lignes (il reste alors 6 pièces),
• placer les pièces en trois lignes de 4 et prendre une ligne (il reste alors 8 pièces),
• placer les pièces en quatre lignes de trois et prendre une ligne (il reste alors 9 pièces),
• placer les pièces en six lignes de deux et prendre une ligne (il reste alors 10 pièces),
• placer les pièces en douze lignes d’une pièce chacune (c’est-à-dire en une colonne) et prendre une ligne (c’est-à-dire une pièce ; il reste alors 11 pièces),

autrement dit, le nombre de pièces que je peux retirer du trésor de Jabuse doit être un diviseur de 12 autre que 12.

Chomp

Une autre variante des jeux de Nim portant (mais de façon un peu cryptée) sur la divisibilité a été décrite par David Gale sous le nom (trouvé par Martin Gardner) de Chomp :

Le jeu de Chomp, qui est un jeu de Nim bidimensionnel, peut être vu également comme un jeu (Schuh, 1952) sur la divisibilité :

On donne au premier joueur la valeur initiale d’une variable (par exemple 72). Chaque joueur à son tour divise la variable par un de ses diviseurs autre que 1. Le premier qui arrive à rendre la variable égale à 1, perd le jeu.

En plaçant le biscuit empoisonné en bas à gauche, les biscuits portent les numéros suivants :

9	18	36	72
3	6	12	24
1	2	4	8

Dans l’article de Gale ci-dessus, il est suggéré pour gagner, de manger le biscuit numéroté 12 et tous ceux qui étaient plus haut et plus à droite que celui-ci (24, 36 et 72 ci-dessus : ce sont les multiples de 12 qui a été joué). Il reste alors les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 et 18 à jouer : chaque tour de jeu consiste à retirer, parmi les diviseurs de 72, un nombre et ceux de ses multiples qui seraient encore là. Celui qui retire 1 est perdant du jeu.

Juniper Green

Vers la fin du XXe siècle, Richard Porteous, professeur au collège de Juniper Green, invente un jeu quelque peu similaire aux deux précédents :

On dispose d’une collection d’entiers non nuls (par exemple ceux inférieurs à un seuil). Le premier joueur choisit un nombre pair, puis chaque joueur à son tour, choisit un nombre qui n’a pas déjà été choisi et qui soit, ou bien un multiple, ou bien un diviseur, du nombre précédemment choisi. Le premier joueur qui ne peut plus choisir de nombre vérifiant ces contraintes, perd le jeu.

D’après un article du bulletin vert de l’APMEP, le jeu a été testé en classes de CM1 et collège.

Mise à jour : après la présentation de ce jeu au séminaire de l’IREM,

• le jeu a été présent au BTS SIO en 2016,
• puis présenté par Boris Laval et Olivier Sicard en séminaire IREM
• puis programmé par Boris sur smartphone (avec un solveur implémentant des IA de jeu)
• puis quasiment résolu par Julien Lemoine (spécialiste des jeux de Nim, or le jeu de Juniper Green est un jeu de Nim)

divhasard

Ce jeu a bénéficié d’un franc succès en CM1 et en 5e. Il se joue avec un dé (de préférence icosaédrique) que les joueurs lancent à tour de rôle. Parès le lancer du dé, est indiqué un entier de 1 à 20 (par exemple 12). Alors

• on dresse la liste des diviseurs (exemple 1, 2, 3, 4, 6, 12)
• compte les diviseurs (par exemple 12 a 6 diviseurs)
• marque autant de points que le nombre de diviseurs (par exemple si on obtient 12, on augmente son score de 6 points).

Après trois tours (une demi-heure pour la moitié d’une classe de 5e), la personne ayant le plus grand total a gagné le tournoi de divhasard.

Voici la description du jeu en pdf :