SPLAT! : Un levier ludique pour introduire l’algèbre et donner du sens aux schémas en barres (Focale cycle 3)

Résumé : La résolution de problèmes constitue l’activité principale de l’apprentissage des mathématiques, permettant ainsi de développer les compétences fondamentales liées à cette discipline. Cependant, elle représente un obstacle pour les élèves. Il est donc nécessaire de s’interroger sur les leviers possibles afin d’aider les élèves à surmonter leurs difficultés. Depuis l’introduction de l’algèbre dès le programme de CM1, les schémas en barres constituent un modèle pertinent qui ne doit pas se transformer en écueil supplémentaire pour les élèves mais devenir un véritable appui à la résolution de problèmes. Cet article présente « SPLAT! », un outil pédagogique visuel et ludique permettant de réconcilier les élèves avec la schématisation, favorisant ainsi une transition fluide vers la modélisation algébrique.

Cadre institutionnel : Cet article s’inscrit dans le cadre d’une recherche-action menée au sein d’un atelier de l’IREMI de La Réunion. Ce travail s’est nourri et enrichi des interventions menées par les formateurs RM2D dans le sillage du Plan Mathématiques, ainsi que des expérimentations conduites dans les collèges accompagnés. Cette réflexion trouve son origine dans un atelier centré sur le développement de la pensée algébrique, dont les travaux ont notamment été présentés à la CORFEM. L’ensemble de cette démarche didactique a bénéficié de l’appui des inspecteurs de mathématiques de l’académie, ainsi que des riches débats et confrontations d’idées avec les membres de l’IREMI.

1. Le paradoxe du schéma en barres : un outil puissant mais parfois rejeté

Les nouveaux programmes de cycle 3 demandent d’initier les élèves à la « pensée algébrique » et de développer leur capacité à résoudre des problèmes en raisonnant sur des nombres dont ils ne connaissent pas la valeur. Dans cette optique, la représentation sous forme de schémas en barres offre un moyen universel de modéliser plusieurs catégories de problèmes (parties/tout, comparaisons, transformations).

La puissance de ces schémas réside dans un principe simple : “Dans un schéma en barres, la barre du haut et la barre du bas représentent des quantités égales.”

Cependant, la pratique en classe révèle des obstacles :

• L’obstacle de la schématisation : les schémas en barres, souvent présentés comme une aide, peuvent constituer une difficulté supplémentaire pour les élèves fragiles, tandis que les élèves en réussite n’en perçoivent pas toujours l’utilité.
• L’obstacle du passage à l’opération experte : Une fois le schéma réalisé (par exemple avec une inconnue modélisée par un « ? »), de nombreux élèves peinent à retranscrire cette égalité avec l’opération experte, particulièrement lors de l’utilisation de grands nombres ou de nombres décimaux.

Pour dépasser ces blocages, il est apparu nécessaire de trouver une situation d’accroche s’affranchissant de la barrière de la langue, permettant aux élèves de se focaliser uniquement sur la modélisation mathématique.

2. Découverte de SPLAT : l’énigme visuelle au service de la modélisation

Développé par l’enseignant canadien Steve Wyborney, SPLAT! (conservé avec l’onomatopée britannique) s’est imposé comme un outil redoutablement efficace pour introduire les schémas en barres.

Le principe de base : Une quantité de billes (ou de jetons) est affichée à l’écran avec un total connu. Un « Splat » (une tache) vient ensuite recouvrir une partie de ces billes. L’élève doit déterminer combien de billes sont cachées sous la tache : 

(Voir la diaporama d’introduction complet sur le digipad https://digipad.app/p/1754235/397f3f517445b)

Cette activité ludique, vécue comme une véritable énigme, permet d’identifier naturellement les différentes composantes du problème :

• Le « tout » : le nombre total de billes indiqué.
• La partie visible : les billes non recouvertes.
• La partie invisible (l’inconnue) : les billes cachées sous la tache.

En proposant un problème sans énoncé textuel, on libère la charge cognitive de l’élève, qui s’engage pleinement dans l’étape cruciale de la compétence Représenter.

3. Une progression outillée : De « Petit SPLAT! » à la résolution d’équations

Pour accompagner cette démarche dans les classes, une progression complète a été structurée sur le Digipad. Cette progression s’appuie sur le site Maths&go (développé par M. Gwenaël Bourgault), qui génère aléatoirement des situations et des planches d’activités déclinables en trois phases :

Séquence 1 : L’appropriation avec « Petit SPLAT! » 

Dans ce premier niveau, l’objectif est d’installer l’outil de représentation.

• L’application propose des exercices où la situation est dessinée et l’élève doit compléter le schéma en barres correspondant.
• À l’inverse, l’application peut fournir un schéma partiellement complété, charge à l’élève de dessiner les points manquants pour illustrer la situation.
• Travailler le schéma « dans les deux sens » lui donne un véritable sens mathématique.

La séquence 1 du digipad propose 6 fiches avec Petit SPLAT! et mène progressivement les élèves vers des modélisations de type ax+b=c (plusieurs taches cachant un nombre identique de jetons)

Séquence 2 : De plus grands nombres avec « SPLAT! classique » 

• La progression se complexifie en regroupant les points par « paquets », ce qui permet d’atteindre des nombres plus grands.
• L’élève doit ici tracer lui-même son schéma en barres, s’appropriant pleinement l’outil.
• C’est également à ce stade que l’on peut introduire en cycle 4 la résolution avec des nombres relatifs, en posant que le but est de trouver « le nombre caché » et non plus un nombre physique de jetons.
• Le mode “pas à pas” en appuyant sur la flèche bleue en haut à droite permet une “correction” au fur et à mesure des étapes : 

• C’est ici que s’opère un véritable basculement didactique : d’un schéma statique, nous passons à un schéma dynamique, notamment avec l’outil intégré “Équabarre” qui apparaît à l’étape 3, où les élèves agissent sur les schémas pour résoudre les équations. Ils peuvent décomposer un nombre, regrouper, partager équitablement, ou enlever une quantité identique dans chaque membre. Ces actions intuitives sur les barres illustrent et justifient les règles algébriques formelles (commutativité de l’addition, réduction d’expression, propriété des égalités). Elles sont accessibles dans le menu de bas de page :

La séquence 2 du digipad propose une progression dans le menu SPLAT! classique.

Remarque : l’outil “équabarres” peut être utilisé directement, pour résoudre n’importe quel problème représenté par un schéma en barres. Il suffit de rentrer l’équation voulue dans le menu de départ.

Séquence 3 : Le schéma dynamique et la résolution algébrique avec « SPLAT! Équations » 

Ce troisième menu s’inscrit dans le prolongement naturel des précédents, tout en anticipant largement sur les attendus du cycle 4. Il s’appuie sur une représentation à deux plateaux (où les quantités sont figurées de part et d’autre, illustrant le principe d’équilibre d’une balance). Ce modèle permet ainsi d’aller jusqu’à la résolution d’équations de la forme ax+b=cx+d. 

L’exploitation de cette séquence sera détaillée dans notre prochain article consacré au cycle 4. 

4. Un parcours élève au format numérique suivant la progression proposée

Le caractère ludique de cette activité nous a poussés à développer un parcours numérique reprenant toutes les étapes pré-citées. Les élèves peuvent ainsi avancer seuls dans la progression, une fois que les principes généraux ont été présentés en classe. Ils peuvent également retrouver sur un écran ce qu’ils auront fait sur fiche :

À noter qu’en cliquant sur l’option “professeur” en haut à droite, on retrouve le détail de la progression et les fiches du digipad : 

5. Conclusion : Du schéma à l’abstraction algébrique : de la modélisation à la résolution de problèmes dans leur intégralité

L’utilisation régulière de SPLAT, par exemple sous forme de rituels ou de questions flashs, permet d’automatiser les étapes de résolution (et notamment l’articulation Représenter / Modéliser) et de diminuer la charge cognitive. Cependant, il est essentiel de garder à l’esprit que SPLAT n’est pas une fin en soi. En effet, cet outil repose sur la résolution de problèmes sans énoncés textuels, ce qui permet de focaliser temporairement l’attention de l’élève sur une partie du processus de résolution de problèmes. Il s’agit avant tout d’une étape charnière. Elle aide les élèves à mieux comprendre la partie purement technique de la résolution d’équations, et à se familiariser en profondeur avec la manipulation des schémas en barres. Une fois ce fonctionnement technique acquis, l’objectif est de pouvoir s’en détacher pour modéliser cette compétence au service de la résolution de problèmes dans leur intégralité, c’est-à-dire à partir d’ un énoncé de départ complet.

Pour amener cette pensée algébrique, le modèle de la balance constitue également une approche complémentaire tout à fait pertinente. La représentation sur deux plateaux offre aux élèves une perception intuitive de l’équilibre. En manipulant (réellement ou virtuellement, par exemple avec les applications développées sur mathix.org ou sur Polypad ), ils intègrent la propriété fondamentale des égalités : ce que l’on ajoute ou retire d’un côté doit être ajouté ou retiré de l’autre pour maintenir l’équilibre. La transition pédagogique s’opère ensuite en passant du modèle de la balance, dont le dessin peut s’avérer laborieux, au tracé du schéma en barres, beaucoup plus rapide et efficace.

Ainsi, sans formalisation forcée, l’écriture algébrique finit par s’imposer d’elle-même. Les élèves, ayant compris la signification profonde du signe « = » non plus comme une touche « d’exécution » mais comme un état d’équilibre, sont séduits par la rapidité de l’écriture littérale. Les schémas en barres, travaillés en amont, les habituent d’ailleurs à conserver l’inconnue à sa place initiale dans l’équation et à procéder par opérations réciproques, évitant ainsi le piège de vouloir isoler l’inconnue immédiatement à gauche. L’inconnue modélisée par une brique « ? » au cycle 3 se transforme alors tout naturellement en une lettre au cycle 4.

En réconciliant les apprenants avec la schématisation via ces manipulations visuelles, nous leur offrons un tremplin solide vers l’abstraction, indispensable pour la résolution de problèmes plus complexes au collège et au lycée. Pour poursuivre ce travail, réinvestir ces schémas et confronter les élèves à des énoncés complets structurés autour des grandes typologies d’opérations, vous pouvez vous appuyer sur ce livret dédié :  Fichier de Résolution de Problèmes au Cycle 3 – Maths974.

Claire LAGARDE, professeure de mathématiques au collège Michel DEBRÉ et chargé de mission d’aide à l’inspection,

Gwenaël BOURGAULT, professeur de mathématiques au collège Paul HERMANN

À venir

Une proposition de progression pour le cycle 4 et la seconde, avec des nombres relatifs.

Lien

Lien vers le domaine SPLAT! du site Maths&GO : https://mathsgo.re/splat

Références

[1] Olivier LEBRETON, Construire et manipuler des schémas en barres pour résoudre des problèmes de partage inégal en cycle 3 et favoriser le développement de la pensée algébrique

[2] Les guides Eduscol pour la résolution de problèmes – Cours Moyen et Collège

Remerciements

Les travaux de cet atelier sont le fruit de plusieurs années de réflexion et d’expérimentations menées au cœur des classes. Ce cheminement pédagogique, jalonné de belles réussites mais aussi d’ajustements nécessaires, nous a naturellement guidés vers les approches présentées ici.

Si la liste de toutes les personnes ayant nourri ce travail est longue, nous tenons à adresser nos remerciements les plus sincères à :

• Mme Geneviève JEAN-MARIE et M. Jean-François OGNARD, nos chefs d’établissement, pour leur confiance indéfectible et la liberté pédagogique qu’ils nous ont accordée pour mener à bien ces expérimentations sur le terrain ;
• Mme Valérie BERNARD, M. David MICHEL, et M. Patrick COURTIN, inspecteurs d’académie – inspecteurs pédagogiques régionaux (IA-IPR) de mathématiques. Une mention toute particulière à M. Patrick COURTIN, pilote du Plan Mathématiques, pour son soutien constant et sa fervente défense des schémas en barres ;
• M. Laurent PIETRI, Inspecteur de l’Éducation Nationale (IEN) de la circonscription, qui a grandement facilité et dynamisé la liaison inter-degrés et la collaboration avec les professeurs des écoles ;
• Mme Emmanuelle POTHIN, professeure de mathématiques et formatrice académique, alliée de la première heure dans notre réflexion didactique sur l’utilisation des schémas en barres ;
• M. Olivier LEBRETON, formateur titulaire en mathématiques à l’INSPÉ de La Réunion, chercheur associé au laboratoire ICARE, dont l’expertise nous a apporté un éclairage précieux sur le développement de la pensée algébrique ;
• L’ensemble des professeurs de l’Unité Apprenante Michel DEBRÉ, pour leur enthousiasme à tester et enrichir nos outils. Nous pensons tout particulièrement à Mme Sandrine TESSIER, coordonnatrice du réseau, qui a rendu possibles nos temps d’échanges et d’observations croisées ;
• Les membres de l’IREMI de La Réunion : leurs questionnements constructifs et leur regard exigeant — parfois dubitatif au départ face aux schémas en barres ! — nous ont poussés à affiner et à consolider notre réflexion ;
• Enfin, les professeurs de mathématiques des collèges accompagnés dans le cadre du Plan Mathématiques (Paul HERMANN, Harry GRUCHET, Henri MATISSE, Jeanne BARRET, Ravine des Cabris, Jean LAFOSSE, Leconte DELISLE), qui ont tous contribué à faire avancer la réflexion.