S’il fallait commencer par une définition de l’interpolation polynomiale, nous pourrions dire que celle-ci consiste à trouver un polynôme ayant la propriété de passer par un nombre fini de points connus à l’avance. Ces points sont en
général appelés « points d’interpolation ».
Ce problème a été résolu depuis plus de 200 ans, principalement par Joseph-Louis Lagrange, puis par Charles Hermite qui rajoute comme contrainte le respect de la pente au point .
Si leurs solutions ont le mérite d’être globales, c’est à dire de trouver un polynôme unique passant par les points, celles-ci souffrent plusieurs défauts majeurs :
- « phénomène de Runge » : Lorsque le nombre de points augmente ou qu’ils sont mal répartis (ex. équidistants), le polynôme peut osciller fortement. Cela donne une mauvaise approximation entre les points, surtout aux bords
de l’intervalle. - Ajouter un nouveau point impose de recalculer tout le polynôme depuis zéro.
- Les calculs sont assez couteux quand augmente, puisque le degré du polynôme augmente avec le nombre de
points à interpoler.
Dans les années 1950, les méthodes dites « splines » permettent de corriger la plupart de ces défauts en remplaçant le polynôme global par une suite de petits polynômes définis localement entre deux nœuds, raccordés de manière continue.
En 1962, l’ingénieur Pierre Bézier, chez Renault, introduit une méthode de construction de courbes basée sur des combinaisons barycentriques de points de contrôle. Ces courbes de Bézier, devenues incontournables en modélisation
et design, offrent un contrôle intuitif et une stabilité remarquable sous les transformations géométriques.
Dans cet article, nous allons vous proposer une nouvelle approche de l’interpolation. Une interpolation que l’on pourrait qualifier de « cinématique »…
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