De la verbalisation en Mathématiques

de
Mme V. Delavois, professeur de Lettres, chargé de mission en Lettres
Mme L. Piron, CPC et CPD Mathématiques
M. V. Dambreville, professeur de Mathématiques, MAD à l’Université de la Réunion

Problématique

Comment amener les élèves à développer les compétences orales en mathématiques par la justification et l’argumentation afin de permettre un passage à l’écrit ?

Le contexte

Les nouvelles approches en didactique soulignent l’importance de développer les compétences langagières des apprenants, car ces compétences, essentielles à la réussite scolaire, sont au cœur du processus de construction des savoirs. 

Le constat fait dans les classes est que les élèves éprouvent des difficultés à réinvestir leurs connaissances dans un autre contexte.

Or, le processus d’apprentissage visé doit être transférable dans d’autres contextes¹. 

Ce réinvestissement passe nécessairement par la compréhension des stratégies, nécessaires à l’apprentissage visé : la verbalisation est un des leviers permettant cette compréhension. La communication verbale est en effet un médiateur pour que l’enseignant et l’élève accèdent à la représentation mentale du processus utilisé par l’élève à ce moment de l’apprentissage.  Cette représentation passe par une image mentale “qui reste essentiellement subjective, et qui n’est accessible que par l’individu qui est en train de la produire”². Faire verbaliser  permet à l’enseignant et à l’élève de comprendre la démarche d’apprentissage en cours. 

S’appuyant sur des situations concrètes, les séances que nous développons dans cet article cherchent à mettre une focale sur les compétences orales en mathématiques qu’appellent la justification et l’argumentation afin de permettre un passage à l’écrit organisé. Nous appellerons “écrit structuré” tout écrit par  lequel l’élève explique  une démarche, justifie une réponse, argumente  un propos. 

Nous avons fait le choix de proposer des situations proches du réel des élèves, ludiques afin de construire les démarches de résolution de problème en passant par la verbalisation de ces stratégies. La progressivité des séances vise à passer de la manipulation à l’abstraction en s’appuyant à chaque étape sur la verbalisation puis de la justification à l’écrit de son résultat.

On entre alors dans un processus de secondarisation : « À l’école aujourd’hui, il ne suffit pas de « faire ce que le maître dit » pour réussir, il faut aussi comprendre ce qu’on fait et comment on le fait » (Bautier, Goigoux, 2004)

L’oral permet la construction de la pensée chez l’enfant. L’enseignant va donc inciter, voire exiger la verbalisation afin de voir quelle stratégie est utilisée par l’élève.

Un exemple en cycle 1 dans la construction du nombre : l’objectif est la mémorisation des faits numériques. Or on sait qu’il existe des stratégies intermédiaires à cette mémorisation. Le fait de faire parler l’élève et de l’inciter à dire “comment il a fait” permet à l’enseignant de situer l’élève dans son apprentissage.  Cela permet également à l’élève de conscientiser le l’enjeu du processus d’apprentissage. On passe alors  du “j’ai compté dans ma tête” à “je sais que 2 et 3 font 5” en passant par “j’ai compté à partir de 3”. 

Une fois que l’élève est capable d’exprimer sa pensée, il peut aller vers la production d’un message oral puis écrit.

L’expérimentation

Cette démarche débute dès le cycle 1 et doit se poursuivre tout au long de la scolarisation de l’élève. L’exigence et les critères de réussite évoluent avec l’âge et les compétences visées. 

L’expérimentation conduite cette année a porté sur la proportionnalité au cycle 3. 

Le postulat de départ veut  travailler en parallèle la résolution de situation de proportionnalité et le calcul mental sur les tables de multiplication en apportant une stratégie : la linéarité additive et multiplicative. 

Cet enseignement est explicite au sens de l’enseignement direct : il apporte la stratégie et accompagne l’élève dans l’automatisation des différentes procédures de calcul présentées. Pour autant, l’accent est mis sur la justification de l’utilisation de la procédure et non pas sur le résultat en lui-même.D’un autre côté, les situations de proportionnalité sont proposées comme des situations problèmes où l’élève doit chercher et réinvestir les procédures qu’il connaît.

Proposition

Travail en groupes

Les élèves sont répartis dans la salle de classe en groupes de quatre pour permettre 

« la confrontation des avis, l’émergence de litiges entre les élèves, pour que les représentations initiales de chacun soient éprouvées, conduisent à l’incertitude des idées exprimées, puis soient majorées par une transmission des savoirs par l’enseignant » (Connac, 2020).
Au sein du groupe, les élèves doivent justifier leurs résultats, présenter leurs stratégies et se mettre d’accord. On voit émerger une forme de coopération.

En résumé

1. La verbalisation orale, première étape avant le passage à l’écrit 
   • Comment utiliser les échanges oraux pour développer la capacité à formuler des idées de manière claire et structurée avant de passer à la rédaction ?
2. Quelles activités pour favoriser la production écrite en mathématiques ?
   • Quelles activités pour amener les élèves à exprimer leurs raisonnements  à l’oral puis à l’écrit ?
   • Quels travaux de groupe pour que les élèves puissent collaborer pour produire un texte mathématique ? 
   • Comment accompagner la rédaction de solutions et de démonstrations ?
3. Quand introduire les activités de production écrite ?
   • Comment intégrer progressivement ces activités tout au long de la scolarité ?
   • Comment dédier des moments à la production écrite dans le cadre de chaque séance, en identifiant clairement les phases d’exploration, d’institutionnalisation et de synthèse.

La Séquence

Objectif de la séquence

Comprendre le principe de la proportionnalité par la manipulation, en contexte réel et abstrait et verbaliser la stratégie utilisée.

Les compétences

Chercher

• S’engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées, en élaborant un raisonnement adapté à une situation nouvelle.
• Tester, essayer plusieurs pistes de résolution.

Modéliser

• Utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne.
• Reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité.
  

Représenter

• Utiliser des outils pour représenter un problème : dessins, schémas, diagrammes, graphiques, écritures avec parenthésages, etc.
  

Raisonner

• Résoudre des problèmes nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche qui combine des étapes de raisonnement.
• Justifier ses affirmations et rechercher la validité des informations dont on dispose.

Calculer
      – Contrôler la vraisemblance de ses résultats.

Communiquer

• Utiliser progressivement un vocabulaire adéquat et/ou des notations adaptées pour décrire une situation, exposer une argumentation.
• Expliquer sa démarche ou son raisonnement, comprendre les explications d’un autre et argumenter dans l’échange.

Les attendus 

Reconnaître et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée : propriétés de linéarité (additive et multiplicative), passage à l’unité, coefficient de proportionnalité.

Les critères de réussite

• L’élève est capable de résoudre des problèmes de proportionnalité.
• L’élève comprend que revenir à l’unité permet de trouver toutes les solutions.
• L’élève comprend que le principe d’additivité permet de résoudre un problème sans revenir à l’unité.
• L’élève est capable de verbaliser sa stratégie.

La différenciation

Les différentes étoiles permettent, tout en gardant un objectif commun, d’adapter les données numériques au possibilité de l’élève.

L’enjeu est de ne pas faire échouer l’élève en raison de difficultés liées à la numération ou à la difficulté du calcul. 

L’élève progresse sur les différents niveaux à son rythme.

La progressivité

La séquence débute par des situations avec la connaissance de l’unité. 

Les élèves manipulent les différentes quantités et utilisent, en fonction de la valeur numérique, l’addition itérée ou la multiplication.

Ensuite, les situations proposées sont des situations pouvant être résolues directement sans passage à l’unité par proportionnalité additive. Les élèves élaborent des stratégies telles que le double/ la moitié, l’addition de deux situations permettant de trouver la 3ème (proportionnalité additive).

Enfin, les situations proposées nécessitent la recherche de l’unité. L’enjeu à ce stade est de leur faire construire le passage à l’unité afin de préparer la notion de proportionnalité. 

A ce stade de la réflexion, il pourrait être intéressant de proposer des situations proportionnelles et non proportionnelles afin que l’élève développe la stratégie du passage à l’unité pour reconnaître une situation de proportionnalité. 

Enfin, les situations se complexifient par une tâche complexe : la résolution du problème nécessite l’étape de passage à l’unité.

Vidéos

à venir

Documents à télécharger

la présentation bilan à l’IREMI

les cartes proportionnalités à télécharger (et à plastifier)

des exemples de défis progressif (pour la séance 1)

un exemple de progression (organisation de la classe et support de présentation pour les élèves)

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1. Marino Ingrid. L’image mentale-médiateur de la communication verbale. In: Langage et société, supplément au n°17, 1981.
   Pratiques langagières et stratégies de communication. Terrains, méthodes d’enquête et d’ananlyse. pp. 91-94;
   doi : https://doi.org/10.3406/lsoc.1981.1374 et
   https://www.persee.fr/doc/lsoc_0181-4095_1981_sup_17_1_1374 ↩︎
2.  Denis Michel. Approches cognitives de l’image mentale. In: Intellectica. Revue de l’Association pour la Recherche Cognitive,
   n°8, 1989/2. pp. 85-107;
   doi : https://doi.org/10.3406/intel.1989.876
   https://www.persee.fr/doc/intel_0769-4113_1989_num_8_2_876 ↩︎