Réécriture Octobre 09. L’éditeur de CarScripts de CaRMetal est un éditeur javascript, mais surtout un éditeur qui intègre les outils de géométrie dynamique du logiciel. Nous voyons ici quelques premières utilisations, rédigées à l’attention des enseignants pour l’apprentissage de ces nouvelles fonctionnalités.

Après l’intervention de Géry Huvent, qui a prouvé le théorème des cercles inscrits égaux par la trigonométrie hyperbolique et qui nous a fourni des indications précieuses sur un résultat classique des mathématiques japonaises, nous avons pu mettre au point une nouvelle démonstration élémentaire du théorème, beaucoup plus simple que nos preuves initiales. Parvenus enfin à la solution « élémentaire et élégante » évoquée par les rédacteurs de Tangente, il nous a semblé que le cheminement complexe parcouru tout au long de notre quête méritait d’être analysé du point de vue didactique.

Cet article revient sur un théorème assez insolite de la géométrie du triangle, le théorème des cercles inscrits égaux. On en propose deux démonstrations élémentaires, l’une par récurrence, l’autre par le calcul explicite des rayons des cercles. Cette dernière approche permet une construction aisée de figures dynamiques pour toute valeur de n.

In this contribution we address the complementary topics of auto-reference of objects in dynamic geometry and of magnetized objects (as implemented in CarMetal). Auto-reference will be described as a process creating memory of the manipulation of the user within the figure (Part I). Among the various uses of auto-reference, we will discuss several applications (Part II). Magnetized objects have didactic applications such as the extension of the notion of point on objects either from a topological point of view, or from a point of view of increased mathematical reality. These notions will be illustrated with examples at secondary school level and also at university level where magnetization provides a striking approach of finite geometries (Part III). Part III.5 is an example of algebraic magnetism in PG(3,2) : we see that the determinism is naturaly broken by this type of magnetization. Finally, in Part IV, we will mix the two technologies, i.e. autoreference and algebraic magnetization, to open up a new realm for dynamic geometry.

Cet article est encore un « pas à pas » - utilisable en formation des enseignants - sur la rencontre très efficace entre l’outil trace et la récursivité dans CaRMetal. Le support est un thème très classique, le tout reste très simple à mettre en œuvre.

Après avoir fait un tour d’horizon de différentes interprétations des objets comme les droites pour donner des modèles à des géométries spécifiques, dans cette dernière partie, nous abordons la question de l’incidence, dans une perspective axiomatique qui s’inscrit dans le prolongement du programme d’Erlangen de Félix Klein (1872). On s’installe donc dans une démarche dite de « seconde axiomatisation » qui va chercher ses invariants absolus dans une lecture algébrique des propriétés premières de la géométrie.

Cet article se situe dans le registre « prise en main de CaRMetal » sur la fonction random. Après un exercice de présentation, sur le mode du divertissement, on y trouvera un pas à pas sur les fluctuations des échantillonnages, dans une approche nécessairement plus algorithmique qu’avec l’utilisation d’un tableur, et donc déjà intéressante en soi.

Par sa manipulation directe, la géométrie dynamique pose de nouvelles questions même sur les anciens problèmes. C’est le cas du porisme de Steiner quand on veut pouvoir manipuler le cercle intérieur par son centre : l’inversion utilisée est bien entendu elle aussi dynamique.

CaRMetal utilise trois types de cercles : les deux classiques que l’on trouve dans tous les logiciels et un autre, le cercle « de rayon fixe ». C’est cet outil - bien plus riche qu’on pourrait l’imaginer a priori - que l’on se propose de présenter ici, dans une activité élémentaire, utilisable en formation continue, voire éventuellement en lycée.

Cette partie est consacrée à l’exemple de la pseudosphère de Beltrami en relation avec le modèle plan dit de « Klein Beltrami ». Si ce modèle, construit sur la géométrie intrinsèque de la surface, a la particularité de n’être que local et un peu complexe, il offre pourtant des représentations saisissantes de certains objets.