En définitive, ce qui est proposé, c’est la méthode de Briggs et non celle de Neper, elle calcule effectivement une valeur approchée du logaritme népérien [et non décimal].
En entrée, je suppose qu’on se donne un rationnel x strictement positif plutôt qu’un réel [qui demanderait une calcul supplémentaire par une suite d’approximations], pratiquement, un nombre décimal strictement positif.

Pour rendre la méthode viable, il y aurait lieu aussi de connaitre un majorant de n qui dépend surement de x. On trouvera surement que plus x est éloigné de 1 plus n est grand.
Si l’objectif ultime est d’obtenir une table de logarithmes décimaux, il convient de disposer de ln(10) aussi précis que possible et de diviser par ce coefficient le logarithme népérien.
Pratiquement on devrait ainsi pouvoir se contenter des logarithmes népériens puis décimaux de nombres décimaux x vérifiant 1 < x ≤ 10. Selon mes calculs personnels, n = 12 pour x = 10 en vue d’avoir un nombre < 1,001. 12 est un majorant de n pour 1 < x ≤ 10.

Si on utilise une division de x par des puissances de e, encore doit-on disposer d’une méthode précise pour calculer une valeur approchée de e. Si on dispose, à cet effet, de la série exponentielle, la mise en place d’une table d’exponentielles dans un intervalle borné entourant 0 et ensuite lecture de cette table à l’envers ne serait-elle pas plus efficace ( ? ? ?).

Pour compléter, il conviendrait aussi d’avoir un majorant de l’erreur commise, la question est effectivement posée dans le TP joint, mais on n’a pas la réponse.
Il y a cinq sources d’erreur pour les logarithmes décimaux : les approximations sur les racines carrées, l’approximation qui consiste à remplacer par ln(x**(1 /2**n)) par (x**(1 /2**n)) – 1, c’est la plus facile à maitriser [avec les formules qu’on connaît aujourd’hui !], amplification des erreurs commises en multipliant n fois par 2 et très probablement arrondis décimaux au cours de ces multiplications, l’imprécision sur ln(10) et l’erreur commise en divisant par ce nombre. Je soupçonne qu’on sera très loin des 5 décimales des vielles tables de Bouvart et Ratinet [qui existent peut-être encore dans les musées ou dans des bibliothèques poussiéreuses] .

Encore une question, John Neper ayant vécu entre 1550 et 1617, de quelles tables disposait Christophe Colomb pour traverser l’Atlantique en 1492 ? De même Magellan ?