Points et vecteurs aléatoires

samedi 5 décembre 2009
par  Alain BUSSER


Milieu

Si deux points $A$ et $B$ sont gaussiens et indépendants, de même écart-type $\sigma$, leur milieu est gaussien d’écart-type $\frac{\sigma\sqrt{2}}{2}$.

Si deux points $A$ et $B$ sont uniformes, leur milieu ne l’est pas.

Sur une figure CaRMetal comprenant A et B, et leur milieu $M$, le script suivant illustre ceci par un nuage de points :

for(i=0;i<1000;i++){
	x=-2+Math.random();
	y=-1+Math.random();
	Move("A",x,y);
	x=2+Math.random();
	y=1+Math.random();
	Move("B",x,y);
	p=Point(X("M"),Y("M"));
	SetPointType(p,"point");
}

Ici $A$ est uniforme sur $\left[-2 ;-1\right]\times\left[-1 ;0\right]$ et $B$ est uniforme sur $\left[2 ;3\right]\times\left[1 ;2\right]$ et le milieu $M$ évolue bien dans le carré unité $\left[0 ;1\right]^2$ mais pas uniformément comme le montre la figure produite :

La densité de $M$ sur le carré unité est donnée par $\varphi(x,y)=max\left(\frac{1}{2}-\left|x-\frac{1}{2}\right|,0\right)\times max\left(\frac{1}{2}-\left|y-\frac{1}{2}\right|,0\right)$ dont les lignes de niveau ressemblent à des carrés arrondis :

La représentation graphique de la densité du milieu en 3D est formée de 4 morceaux de paraboloïde hyperbolique, et ressemble un peu à un tipi, avec 4 crêtes que l’on voit assez bien sur le nuage de points. Voici la représentation graphique telle qu’elle est créée par Euler Math Toolbox :


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