{"id":625,"date":"2023-02-13T17:01:00","date_gmt":"2023-02-13T13:01:00","guid":{"rendered":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=625"},"modified":"2026-02-28T20:45:56","modified_gmt":"2026-02-28T16:45:56","slug":"la-carte-des-cartes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=625","title":{"rendered":"La carte des cartes"},"content":{"rendered":"\n<p>Tout <a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=586\">jeu de Nim<\/a> peut \u00eatre mod\u00e9lis\u00e9 par le d\u00e9placement d&rsquo;un pion sur un graphe orient\u00e9. Mais en fait, tout jeu combinatoire peut de fa\u00e7on analogue \u00eatre mod\u00e9lis\u00e9 par le d\u00e9placement d&rsquo;un pion sur un <a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=619\">automate<\/a> binaire, l&rsquo;un des joueurs ne pouvant d\u00e9placer le pion que le long d&rsquo;une fl\u00e8che bleue, l&rsquo;autre ne pouvant d\u00e9placer le pion que le long d&rsquo;une fl\u00e8che rouge. Cette construction, imagin\u00e9e par John Conway dans les ann\u00e9es 1970, comprend entre autres des nombres. Conway permet d&rsquo;additionner et multiplier tous les jeux, pas seulement les nombres. Pour la semaine des maths 2023 (th\u00e8me : <em>les math\u00e9matiques \u00e0 la carte<\/em>) chaque jeu de Conway a \u00e9t\u00e9 repr\u00e9sent\u00e9 sur une carte, et en consid\u00e9rant ces cartes comme des pays sur une carte on mod\u00e9lise l&rsquo;addition et notamment celle des nombres.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Un exemple : alquerkonane<\/h3>\n\n\n\n<p>Le jeu <a href=\"https:\/\/alainbusser.github.io\/Jeux_maths_OI\/alquerkonane.html\">alquerkonane<\/a> a du succ\u00e8s dans toutes les classes, par exemple en CE 2 :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Regles-Alquerkonane_compressed.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:950px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 R\u00e8gles Alquerkonane_compressed.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-eca9be87-55f6-4210-a954-04efcb6d2062\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Regles-Alquerkonane_compressed.pdf\">R\u00e8gles Alquerkonane_compressed<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Regles-Alquerkonane_compressed.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-eca9be87-55f6-4210-a954-04efcb6d2062\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<p>Pour chaque position d&rsquo;alquerkonane, on joint par une fl\u00e8che bleue toute position accessible aux noirs, et par une fl\u00e8che rouge toute position accessible aux blancs. On obtient alors un graphe \u00e0 deux couleurs (un automate binaire, la position initiale \u00e9tant marqu\u00e9e d&rsquo;une fl\u00e8che et les positions finales, d&rsquo;un double cercle), o\u00f9 le gagnant est celui qui m\u00e8ne le pion \u00e0 une position finale :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/alquerkonane_merged_compressed.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:690px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 alquerkonane_merged_compressed.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-82029eae-aefa-4cca-890b-57a92e9c4b60\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/alquerkonane_merged_compressed.pdf\">alquerkonane_merged_compressed<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/alquerkonane_merged_compressed.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-82029eae-aefa-4cca-890b-57a92e9c4b60\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<p>On voit ci-dessus qu&rsquo;il n&rsquo;y a pas que des entiers dans alquerkonane, il n&rsquo;y a m\u00eame pas que des nombres. Il y a aussi des infinit\u00e9simaux, comme ici (extrait de <a href=\"https:\/\/www.poleditions.com\/publications.php?collection=Biblioth%C3%A8que%20Tangente\">math\u00e9matiques et jeux de soci\u00e9t\u00e9 bib83<\/a> dans tangente) :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"237\" height=\"484\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/up-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-929\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/up-1.png 237w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/up-1-147x300.png 147w\" sizes=\"auto, (max-width: 237px) 100vw, 237px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Des infinit\u00e9simaux peuvent aussi appara\u00eetre dans d&rsquo;autres jeux comme <a href=\"http:\/\/revue.sesamath.net\/spip.php?article1563\">les \u00e9checs<\/a> ou <a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=536\">hex<\/a> :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/infinitesimals.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:460px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 infinitesimals.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-5512c659-a6ec-433f-b04b-0dfcd7d22c9f\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/infinitesimals.pdf\">infinitesimals<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/infinitesimals.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-5512c659-a6ec-433f-b04b-0dfcd7d22c9f\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Une carte pour un jeu<\/h2>\n\n\n\n<p>Pour inventer son propre jeu, il suffit donc de dessiner des fl\u00e8ches rouges et bleues entre des cercles (les sommets du graphe). Par exemple voici un jeu cr\u00e9\u00e9 par une \u00e9l\u00e8ve de Grande Section :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"578\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/moins1pm1-ab9ad.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-920\" style=\"aspect-ratio:1;width:366px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/moins1pm1-ab9ad.png 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/moins1pm1-ab9ad-300x241.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p>Pour jouer, il faut placer le pion sur le sommet central (le d\u00e9part). Voici un exemple o\u00f9 les bleus gagnent en marquant le (dernier) but :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"404\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/jeu1pion1.gif\" alt=\"\" class=\"wp-image-919\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Voici quelques exemples de jeux mod\u00e9lis\u00e9s de cette mani\u00e8re (th\u00e9orie de Conway) :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/surreals_merged.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:360px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 surreals_merged.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-ed4e7143-06b8-4097-8469-223672bcc7d5\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/surreals_merged.pdf\">surreals_merged<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/surreals_merged.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-ed4e7143-06b8-4097-8469-223672bcc7d5\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<p>On peut cr\u00e9er et tester son jeu <a href=\"https:\/\/alainbusser.github.io\/Nirina974\/onag.html\">en ligne<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">L&rsquo;addition des jeux par cartes juxtapos\u00e9es<\/h2>\n\n\n\n<p>Pour la semaine des maths, les cartes suivantes ont \u00e9t\u00e9 cr\u00e9\u00e9es :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/cartes0-v1-1.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 cartes0-v1.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-74fab59b-91e7-4f01-87af-8793b3629144\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/cartes0-v1-1.pdf\">cartes0-v1<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/cartes0-v1-1.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-74fab59b-91e7-4f01-87af-8793b3629144\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<p>Puis un add-on pour les jeux infinit\u00e9simaux (plus int\u00e9ressant car la strat\u00e9gie gagnante est moins \u00e9vidente) :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/cartesip.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 cartesip.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-d3db0de0-d2e1-4286-89a6-7f598f47bccf\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/cartesip.pdf\">cartesip<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/cartesip.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-d3db0de0-d2e1-4286-89a6-7f598f47bccf\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<p>Et, pour les \u00e9l\u00e8ves daltoniens, une version  en noir et blanc :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/cartesnb2.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 cartesnb2.\"><\/object><a 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href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/cartesNBip.pdf\">cartesNBip<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/cartesNBip.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-f502d4af-b8ef-49c1-a2fe-48c74731e18e\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<p>Une fois les cartes pos\u00e9es sur la carte des cartes, pour jouer, il faut poser un pion au d\u00e9part de chaque carte. Le premier qui ne peut plus bouger a perdu. Par exemple, voici un jeu invent\u00e9 par un \u00e9l\u00e8ve de CM1, avec 3 cartes :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"405\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/jeu3pions3-c136c.gif\" alt=\"\" class=\"wp-image-939\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Ce sont les rouges qui gagnent, puisqu&rsquo;ils marquent le troisi\u00e8me but (alors m\u00eame que les bleus avaient marqu\u00e9 les deux premiers buts).<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Retour aux jeux de Nim<\/h2>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"568\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/grundy0.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1667\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/grundy0.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/grundy0-300x237.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Dans le cas des jeux impartiaux, il n&rsquo;y a, par d\u00e9finition, plus besoin de couleurs.  <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Aviezri_Fraenkel\">Aviezri Fraenkel<\/a> a mod\u00e9lis\u00e9 tous les jeux impartiaux (de <a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=586\">type Nim<\/a>) par des graphes de ce genre: <\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/cartesg1.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 cartesg1.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-1f855130-a2b7-44f2-96ef-49528b489643\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/cartesg1.pdf\">cartesg1<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/cartesg1.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-1f855130-a2b7-44f2-96ef-49528b489643\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<p>Le th\u00e9or\u00e8me de Sprague-Grundy dit que tout jeu impartial est \u00e9quivalent \u00e0 l&rsquo;une des cartes ci-dessus (du moins pour les petits nombres de Grundy ; sinon il faut d&rsquo;autres cartes). La nouveaut\u00e9 de 2025, c&rsquo;est que comme plus haut, on peut construire un jeu impartial en pla\u00e7ant c\u00f4te \u00e0 c\u00f4te plusieurs de ces cartes, chacune munie d&rsquo;un pion, dont la position de d\u00e9part est \u00e9tiquet\u00e9e start, et dont la position d&rsquo;arriv\u00e9e est le double-cercle (il n&rsquo;y en a qu&rsquo;un par carte). Celui qui effectue le dernier mouvement, gagne le jeu.  Par exemple, ci-dessous, il y a un coup gagnant :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"598\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/grundy1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1668\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/grundy1.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/grundy1-300x249.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Lequel ? Pour le savoir, une astuce utile : le nombre de Grundy de la somme de ces trois cartes est la nim-somme des nombres de Grundy des trois termes (de haut en bas, 3, 2 et 0, donc le nombre de Grundy de ces trois cartes est 1&#8230;<\/p>\n\n\n\n<p>Cette carte (de nombre de Grundy 3 ; le d\u00e9part est en haut \u00e0 gauche) avait \u00e9t\u00e9 cr\u00e9\u00e9e \u00e0 l&rsquo;\u00e9poque par une \u00e9l\u00e8ve de CE1 :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/grafe4.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 grafe4.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-ad6d032f-5841-4e43-82f4-8329f0e5407a\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/grafe4.pdf\">grafe4<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/grafe4.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-ad6d032f-5841-4e43-82f4-8329f0e5407a\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Tout jeu de Nim peut \u00eatre mod\u00e9lis\u00e9 par le d\u00e9placement d&rsquo;un pion sur un graphe orient\u00e9. Mais en fait, tout jeu combinatoire peut de fa\u00e7on analogue \u00eatre mod\u00e9lis\u00e9 par le d\u00e9placement d&rsquo;un pion sur un automate binaire, l&rsquo;un des joueurs ne pouvant d\u00e9placer le pion que le long d&rsquo;une fl\u00e8che bleue, l&rsquo;autre ne pouvant d\u00e9placer [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":941,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[12],"tags":[73,34,28,81,70],"coauthors":[54],"class_list":["post-625","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-jeux-mathematiques","tag-automate","tag-construction-du-nombre","tag-cycle-1","tag-jeux","tag-maternelle"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/625","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=625"}],"version-history":[{"count":17,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/625\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1797,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/625\/revisions\/1797"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/941"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=625"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=625"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=625"},{"taxonomy":"author","embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcoauthors&post=625"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}