{"id":586,"date":"2015-11-13T08:13:00","date_gmt":"2015-11-13T04:13:00","guid":{"rendered":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=586"},"modified":"2025-10-20T07:40:56","modified_gmt":"2025-10-20T03:40:56","slug":"jeux-de-nim","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=586","title":{"rendered":"Jeux de Nim"},"content":{"rendered":"\n<p>Le jeu de Nim (au singulier) est un jeu invent\u00e9 (ou du moins <a href=\"https:\/\/www.jstor.org\/stable\/1967631?seq=1\">d\u00e9crit<\/a>) par Charles Bouton au d\u00e9but du XX<sup>e<\/sup> si\u00e8cle, qui se joue avec des jetons dispos\u00e9s en tas :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"800\" height=\"279\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nim1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-589\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nim1.jpg 800w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nim1-300x105.jpg 300w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nim1-768x268.jpg 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 800px) 100vw, 800px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Dans ce jeu, popularis\u00e9 par le film <em>l&rsquo;ann\u00e9e derni\u00e8re \u00e0 Marienbad<\/em>, on retire autant de jetons que l&rsquo;on veut d&rsquo;un tas de jetons, mais d&rsquo;un seul tas. D&rsquo;autres jeux, similaires (par exemple celui jou\u00e9 \u00e0 Fort-Boyard) sont \u00e9galement appel\u00e9s jeux de Nim (au pluriel). Dans cet article, on explore divers jeux de ce type, o\u00f9 l&rsquo;analogie avec le jeu de Nim est parfois bien cach\u00e9e !<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Jeux de Nim sur \u00e9chiquier<\/h2>\n\n\n\n<p>On peut jouer \u00e0 beaucoup de jeux de Nim (ou autres) sur un \u00e9chiquier :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nimchess.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 nimchess.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-9b7dcd65-3d7a-4cc8-b91b-91b00f787eda\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nimchess.pdf\">nimchess<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nimchess.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-9b7dcd65-3d7a-4cc8-b91b-91b00f787eda\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Avec des jetons<\/h2>\n\n\n\n<p>Outre le jeu de Nim (qui se joue traditionnellement avec des jetons), il y a le jeu <a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?page_id=450\" data-type=\"page\" data-id=\"170\">Chomp<\/a>, mais aussi celui <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Jeu_de_Grundy\">de Grundy<\/a>. Dans ce jeu, on part d&rsquo;un tas de jetons, et chaque tour de jeu consiste \u00e0 choisir un tas de hauteur au moins 3 (au d\u00e9but du jeu, on n&rsquo;a pas trop le choix) et le couper en deux parties de hauteurs diff\u00e9rentes. Par exemple, \u00e0 partir d&rsquo;un tas de 10 jetons, si le premier joueur a enlev\u00e9 un tas de 3 jetons pour avoir un tas de 7 et un tas de 3, et que le second joueur a commis l&rsquo;imprudence de diviser le tas de 7 en un tas de 5 et un tas de 2, on obtient la situation montr\u00e9e ci-dessus, o\u00f9 le premier joueur a pour coup gagnant de s\u00e9parer le tas de 5 en un tas de 3 et un tas de 2.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Avec un pion<\/h2>\n\n\n\n<p><a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Aviezri_Fraenkel\">Aviezri Fraenkel<\/a> a trouv\u00e9 comment mod\u00e9liser un jeu de Nim avec un graphe : le graphe repr\u00e9sente les \u00e9tapes possibles du jeu, et un un pion est pos\u00e9 sur l&rsquo;\u00e9tat courant du jeu. Pour jouer, on d\u00e9place chacun son tour le pion le long d&rsquo;une fl\u00e8che et le dernier \u00e0 pouvoir bouger le pion a gagn\u00e9 le jeu. Voici quelques exemples test\u00e9s en \u00e9cole maternelle (GS) :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nimgraphe1.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 nimgraphe1.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-165b8ff1-7881-47ba-98b6-344d40ecd7ab\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nimgraphe1.pdf\">nimgraphe1<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nimgraphe1.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-165b8ff1-7881-47ba-98b6-344d40ecd7ab\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nim7tas.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 nim7tas.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-96df70ec-ce72-4d7c-bb2a-3c95d1d8bd09\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nim7tas.pdf\">nim7tas<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nim7tas.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-96df70ec-ce72-4d7c-bb2a-3c95d1d8bd09\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/soustraitcarre.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 soustraitcarre.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-da647110-c7f5-4f22-b915-03bc98f7b131\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/soustraitcarre.pdf\">soustraitcarre<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/soustraitcarre.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-da647110-c7f5-4f22-b915-03bc98f7b131\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nimrectangle.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 nimrectangle.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-663b3307-09e1-4516-9ea4-dbbb44181540\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nimrectangle.pdf\">nimrectangle<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/nimrectangle.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-663b3307-09e1-4516-9ea4-dbbb44181540\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<p>Et voici des jeux invent\u00e9s par Aviezri Fraenkel, qui se jouent avec plusieurs pions :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/fraenkel1.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 fraenkel1.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-241621f5-750e-4b41-a24a-bc20a96a15d2\" 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class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-166f6caa-7bbd-4461-aa9d-d98ac0b8909b\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/fraenkel3.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 fraenkel3.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-5e16a7ac-a2cb-4094-8b4c-57e57bf6184a\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/fraenkel3.pdf\">fraenkel3<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/fraenkel3.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-5e16a7ac-a2cb-4094-8b4c-57e57bf6184a\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/fraenkel4.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 fraenkel4.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-11a48b41-adf8-4410-8abb-c69602980d33\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/fraenkel4.pdf\">fraenkel4<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/fraenkel4.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-11a48b41-adf8-4410-8abb-c69602980d33\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/fraenkel5.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 fraenkel5.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-541d4045-8289-43a0-98ed-58b1e75abb2d\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/fraenkel5.pdf\">fraenkel5<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/fraenkel5.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-541d4045-8289-43a0-98ed-58b1e75abb2d\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Avec des dominos<\/h2>\n\n\n\n<p>Le jeu <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Jeu_de_Cram\">Cram<\/a> se joue sur une grille (un \u00e9chiquier par exemple) avec des dominos. Chaque domino couvre presque deux carr\u00e9s de l&rsquo;\u00e9chiquier. Chaque joueur \u00e0 son tour pose un domino sur deux cases vides de l&rsquo;\u00e9chiquier. Le premier qui ne peut plus poser de domino (parce que les cases vides sont isol\u00e9es) perd le jeu. <\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Au tableau<\/h2>\n\n\n\n<p>Le jeu <a href=\"https:\/\/images-des-maths.pages.math.cnrs.fr\/freeze\/Une-activite-des-la-maternelle-autour-des-graphes-le-jeu-de-Sprouts.html\">Sprouts<\/a> se joue avec du papier et des crayons, ou au tableau avec des craies. Il consiste \u00e0 dessiner incr\u00e9mentalement un graphe, avec les contraintes suivantes :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>le degr\u00e9 d&rsquo;un sommet (initialement nul) ne doit pas d\u00e9passer 3,<\/li>\n\n\n\n<li>deux ar\u00eates ne doivent jamais se croiser,<\/li>\n\n\n\n<li>chaque fois que l&rsquo;on trace une ar\u00eate, on rajoute un sommet (de degr\u00e9 2) au milieu de cette ar\u00eate.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Comme dans n&rsquo;importe quel jeu de Nim, le premier qui ne peut plus jouer a perdu.<\/p>\n\n\n\n<p>Le jeu b\u00e9n\u00e9ficie d&rsquo;un \u00e9norme succ\u00e8s d\u00e8s le CP, d&rsquo;autant que la caravane de l&rsquo;IREM le faisait jouer au tableau, ce qui attire l&rsquo;attention des non joueurs. Par exemple, en 2020 \u00e0 l&rsquo;\u00e9cole Aristide Briand du Tampon, un nuage de points est trac\u00e9 en bleu par l&rsquo;animateur IREM, puis les joueurs construisent le graphe avec une couleur par joueur.<\/p>\n\n\n\n<p>Ici, le joueur Vert a jou\u00e9 trois coups, et le joueur Rouge joue son troisi\u00e8me coup (c&rsquo;est donc Vert qui a commenc\u00e9 le jeu). Rouge dessine le nouveau sommet au milieu de l&rsquo;ar\u00eate qu&rsquo;il vient de dessiner :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"481\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/DSC_0313.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-650\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/DSC_0313.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/DSC_0313-300x200.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Le graphe poss\u00e8de maintenant 9 sommets dont 3 sont de degr\u00e9 2 (le vert tout \u00e0 gauche, le rouge nouvellement trac\u00e9, et le bleu en bas). Vert dispose dont de deux coups gagnants :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>joindre le sommet rouge nouvellement trac\u00e9 au sommet bleu en bas (le nouveau sommet vert ne pourra pas \u00eatre reli\u00e9 \u00e0 celui \u00e0 gauche sans traverser une ar\u00eate),<\/li>\n\n\n\n<li>joindre le sommet vert \u00e0 gauche, au sommet bleu en bas (le sommet vert que cela cr\u00e9era ne pourra \u00eatre joint au dernier sommet rouge sans traverser une ar\u00eate). <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Mais en fait, il perd en jouant un coup interdit :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"467\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/DSC_0314.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-652\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/DSC_0314.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/DSC_0314-300x195.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>En effet, le sommet bleu en haut \u00e0 droite est maintenant de degr\u00e9 4. De fait, dans le premier degr\u00e9, les erreurs sont presque syst\u00e9matiquement des erreurs de d\u00e9nombrement des degr\u00e9s, traverser une ar\u00eate ne se faisant gu\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n<p>Ici c&rsquo;est \u00e0 Rouge de jouer, sur un graphe ayant d\u00e9j\u00e0 10 sommets :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"536\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/DSC_0349.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-653\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/DSC_0349.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/DSC_0349-300x223.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Mais seuls deux sommets ont degr\u00e9 2 (le bleu le plus senestre, et le vert le plus dextre), donc le seul coup jouable pour Rouge consiste \u00e0 relier ces deux sommets par une ar\u00eate. Or cela est impossible sans croiser une ar\u00eate existante, ce que la r\u00e8gle du jeu interdit.<\/p>\n\n\n\n<p>Un autre jeu de Nim peut \u00eatre jou\u00e9 au tableau, mais en effa\u00e7ant plut\u00f4t qu&rsquo;en construisant. <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Hackenbush\">Green Hackenbush<\/a>, lui aussi cr\u00e9\u00e9 par John Conway, se joue sur un graphe connexe, dont un chemin est fix\u00e9, il s&rsquo;appelle <em>ligne de terre<\/em>. Chaque joueur \u00e0 son tour, efface un sommet qui n&rsquo;est pas sur la ligne de terre, ainsi que toutes les ar\u00eates qui \u00e9manaient de ce chemin, et toute partie du graphe qui n&rsquo;est plus reli\u00e9e \u00e0 la terre. Lorsqu&rsquo;il ne reste plus que la ligne de terre, le joueur qui vient de jouer a gagn\u00e9 le jeu.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">En tournant des jetons<\/h2>\n\n\n\n<p><a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Hendrik_Lenstra\">Hendrik Lenstra<\/a> a montr\u00e9 dans les ann\u00e9es 1970 que tout jeu de Nim peut \u00eatre mod\u00e9lis\u00e9 par des jeux o\u00f9 on retourne des pi\u00e8ces, selon un motif, certaines d&rsquo;entre elles devant obligatoirement passer de pile \u00e0 face. Deux de ces jeux sont praticables d\u00e8s le CP :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><a href=\"https:\/\/alainbusser.github.io\/Jeux_maths_OI\/twins.html\">twins<\/a>, o\u00f9 les pi\u00e8ces sont align\u00e9es,<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/alainbusser.github.io\/Jeux_maths_OI\/turningcorners.html\">turning corners<\/a>, o\u00f9 les pi\u00e8ces sont dispos\u00e9es en rectangle.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Avec des graines<\/h2>\n\n\n\n<p>Il existe deux jeux de semailles o\u00f9 les deux joueurs ont exactement les m\u00eames possibilit\u00e9s de jeu :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Une variante de multitchouka (cr\u00e9\u00e9 par V\u00e9ronique Gautheron en 1977) appel\u00e9e <a href=\"https:\/\/alainbusser.github.io\/Jeux_maths_OI\/multitchoukatro.html\">multitchoukatro<\/a>,<\/li>\n\n\n\n<li>Le jeu <a href=\"https:\/\/alainbusser.github.io\/Jeux_maths_OI\/sowing.html\">impartial sowing<\/a>, cr\u00e9\u00e9 par John Conway <a href=\"https:\/\/jeffe.cs.illinois.edu\/pubs\/pdf\/sowing.pdf\">en 1996<\/a>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Avec des nombres<\/h2>\n\n\n\n<p>Les jeux de soustraction (comme Fort-Boyard ou soustrais un carr\u00e9 vu ci-avant) peuvent aussi \u00eatre jou\u00e9s en calcul mental : on dispose d&rsquo;une variable enti\u00e8re et on la fait varier \u00e0 tour de r\u00f4le jusqu&rsquo;\u00e0 ce que ce ne soit plus possible. D&rsquo;autres mani\u00e8res de faire varier une variable sont envisageables comme dans le jeu <em>beanstalk<\/em> d&rsquo;Isbell qui est un jeu en mode <em>qui perd gagne<\/em> :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Chaque joueur \u00e0 son tour fait varier une variable enti\u00e8re de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Si la variable est paire il la divise par 2 (coup forc\u00e9).<\/li>\n\n\n\n<li>Si la variable est impaire il la triple, puis choisit entre ajouter 1 ou soustraire 1 (ce qui la rend paire).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Le premier qui rend la variable \u00e9gale \u00e0 1, a perdu le jeu.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Il existe une am\u00e9lioration de ce jeu par Conway, il l&rsquo;a nomm\u00e9e <em>beans don&rsquo;t<\/em> talk. Ce jeu se joue comme beanstalk, \u00e0 ceci pr\u00e8s qu&rsquo;apr\u00e8s avoir ajout\u00e9 ou soustrait 1, le joueur divise par 2 autant de fois que possible, ce qui rend le nombre impair. Par exemple si la variable vaut 5, on obtient 15 apr\u00e8s l&rsquo;avoir tripl\u00e9e, mais en ajoutant 1 on tombe sur 16 puis 8 puis 7 puis 2 puis 1 et on perd. On a alors int\u00e9r\u00eat \u00e0 plut\u00f4t soustraire 1, ce qui m\u00e8ne \u00e0 14 puis 7.<\/p>\n\n\n\n<p>Les jeux <a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=450\">Chomp et Juniper Green<\/a> sont aussi des jeux de type Nim.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Pr\u00e9sentation du 24 septembre 2025<\/h2>\n\n\n\n<p>Lors de la r\u00e9union de rentr\u00e9e de l&rsquo;IREMI, un atelier consacr\u00e9 \u00e0 ces jeux a \u00e9t\u00e9 propos\u00e9. Voici les fiches de ces jeux (\u00e0 imprimer en recto-verso, seuls les recto \u00e9tant pertinents au d\u00e9but de l&rsquo;atelier):<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/fichesgrundy-2.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:740px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 fichesgrundy.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-c47d042f-a346-420a-a8f7-d9245c154dd1\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/fichesgrundy-2.pdf\">fichesgrundy<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2015\/11\/fichesgrundy-2.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-c47d042f-a346-420a-a8f7-d9245c154dd1\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Le jeu de Nim (au singulier) est un jeu invent\u00e9 (ou du moins d\u00e9crit) par Charles Bouton au d\u00e9but du XXe si\u00e8cle, qui se joue avec des jetons dispos\u00e9s en tas : Dans ce jeu, popularis\u00e9 par le film l&rsquo;ann\u00e9e derni\u00e8re \u00e0 Marienbad, on retire autant de jetons que l&rsquo;on veut d&rsquo;un tas de jetons, [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":652,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[12,10],"tags":[73,72,74],"coauthors":[54],"class_list":["post-586","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-jeux-mathematiques","category-machines-information-codage","tag-automate","tag-binaire","tag-echecs"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/586","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=586"}],"version-history":[{"count":15,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/586\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1357,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/586\/revisions\/1357"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/652"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=586"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=586"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=586"},{"taxonomy":"author","embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcoauthors&post=586"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}