{"id":498,"date":"2008-06-12T11:50:00","date_gmt":"2008-06-12T07:50:00","guid":{"rendered":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=498"},"modified":"2025-06-27T18:17:05","modified_gmt":"2025-06-27T14:17:05","slug":"logiques-doxastique-et-du-mensonge","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=498","title":{"rendered":"Logiques des croyances et du mensonge"},"content":{"rendered":"\n<p>Raymond Smullyan, sp\u00e9cialiste de G\u00f6del, a suivi ce dernier dans sa qu\u00eate de la <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Logique_doxastique\">logique doxastique<\/a>. Or, selon Wittgenstein, ce qui distingue la logique doxastique (celle des croyances) de la logique \u00e9pist\u00e9mique (celle du savoir), c&rsquo;est qu&rsquo;il est possible de croire en une proposition fausse. Ainsi, comment distinguer<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>un menteur sain qui sait que 2+2 n&rsquo;est pas \u00e9gal \u00e0 5 mais pr\u00e9tend que 2+2 est \u00e9gal \u00e0 5,<\/li>\n\n\n\n<li>un fou honn\u00eate qui dit que 2+2 est \u00e9gal \u00e0 5 parce qu&rsquo;il en est convaincu ?<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Ainsi, si on d\u00e9finit un menteur comme quelqu&rsquo;un qui ne dit pas la v\u00e9rit\u00e9, et sachant qu&rsquo;on ne peut pas dire la v\u00e9rit\u00e9 si on ne conna\u00eet pas la v\u00e9rit\u00e9, nous sommes tous des menteurs puisqu&rsquo;aucun de nous ne conna\u00eet la v\u00e9rit\u00e9. Saint-Paul fait d&rsquo;ailleurs allusion \u00e0 ce ph\u00e9nom\u00e8ne dans son \u00e9p\u00eetre \u00e0 Tite (qu&rsquo;il envoie en Cr\u00e8te) :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>11 Il faut fermer la bouche \u00e0 ces gens qui, pour faire des profits malhonn\u00eates, bouleversent des maisons enti\u00e8res, en enseignant ce qu\u2019il ne faut pas.<\/p>\n\n\n\n<p>12 Car l\u2019un d\u2019entre eux, un de leurs proph\u00e8tes, l\u2019a bien dit&nbsp;: Cr\u00e9tois toujours menteurs, mauvaises b\u00eates, gloutons fain\u00e9ants&nbsp;!<\/p>\n\n\n\n<p>13 Ce t\u00e9moignage est vrai. Pour cette raison, r\u00e9fute-les vigoureusement, afin qu\u2019ils retrouvent la sant\u00e9 de la foi,<\/p>\n\n\n\n<p>14 au lieu de s\u2019attacher \u00e0 des r\u00e9cits l\u00e9gendaires du juda\u00efsme et \u00e0 des pr\u00e9ceptes de gens qui se d\u00e9tournent de la v\u00e9rit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<p>15 Tout est pur pour les purs&nbsp;; mais pour ceux qui sont souill\u00e9s et qui refusent de croire, rien n\u2019est pur&nbsp;: leur intelligence, aussi bien que leur conscience, est souill\u00e9e.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Smullyan (ou plut\u00f4t, ses traducteurs en fran\u00e7ais) rebaptise <em>Puropira<\/em> l&rsquo;\u00eele de Cr\u00e8te, <em>purs<\/em> ceux qui ne mentent jamais (ce qui suppose qu&rsquo;ils sont omniscients) et <em>pires<\/em> ceux qui ne disent jamais la v\u00e9rit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">En Python<\/h2>\n\n\n\n<p>Pour r\u00e9soudre des probl\u00e8mes de Smullyan, on peut utiliser le script Python que voici :<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>purs = { X: False for X in 'ABC'}\nV = (False,True)\ntab = {False: ' est un pire', True: ' est un pur'} \ndit = lambda X,p: purs&#091;X]==p\ndef dit_solution(obj):\n        texte = \"\"\n        for  X in obj:\n                texte += X + ' est ' + tab&#091;obj&#091;X]] + '\\n'\n        return texte<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>Par exemple, voici son premier probl\u00e8me :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Albert, Bernard et Charles sont dans un jardin. Un passant demande \u00e0 Albert : \u00ab \u00eates-vous un Pur ou un Pire ? \u00bb. Albert r\u00e9pond mais le passant n\u2019entend pas bien la r\u00e9ponse ; alors il demande \u00e0 Bernard \u00ab qu\u2019est-ce qu\u2019il a dit ? \u00bb. Bernard r\u00e9pond : \u00ab il a dit qu\u2019il est un Pire \u00bb. Mais Charles dit alors \u00ab ne croyez pas ce que dit Bernard, il ment \u00bb.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>On traduit cela ainsi :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>B dit que A dit que A est un pire<\/li>\n\n\n\n<li>C dit que B est un pire<\/li>\n\n\n\n<li>C dit que A ne dit pas que A est un pire<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Ce qui, en Python, se mod\u00e9lise ainsi :<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>for a in V:\n    purs&#091;'A'] = a\n    for b in V:\n        purs&#091;'B'] = b\n        for c in V:\n            purs&#091;'C'] = c\n            if dit('B',dit('A',not purs&#091;'A'])) and dit('C',not purs&#091;'B']) and dit('C',dit('A',purs&#091;'A'])):\n                print(dit_solution(purs))<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>Avec ces fonctions, on trouve deux solutions :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>A est est un pire<br>B est est un pire<br>C est est un pur<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>A est est un pur<br>B est est un pire<br>C est est un pur<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>ce qui permet de conclure que Bernard est un pire (Bernard ment) et que Charles est un pur (Charles dit vrai) mais ne permet pas de conclure sur la nature d&rsquo;Albert. Comme le remarque Smullyan, on dispose de deux affirmations (1 bit d&rsquo;information chacune) ce qui apporte une information sur la situation d\u00e9crite, \u00e9gale \u00e0 2 bits (trancher entre 4 possibilit\u00e9s). Or pour conna\u00eetre la nature des trois personnages, il faudrait 3 bits d&rsquo;informations, il \u00e9tait donc pr\u00e9visible que l&rsquo;on ne puisse pr\u00e9dire que la nature de deux des personnages.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Logique doxastique<\/h2>\n\n\n\n<p>L&rsquo;\u00e9quivalent du th\u00e9or\u00e8me de G\u00f6del en logique doxastique est ce sketch : deux \u00e9tudiants sont en avance et entrent dans un amphi vide sur le tableau duquel ils voient cette inscription :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Seul un imb\u00e9cile peut croire en la pr\u00e9sente phrase.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Le premier demande au second s&rsquo;il croit ce qui est \u00e9crit au tableau. Le second lui r\u00e9pond : <em>Non, seul un imb\u00e9cile peut y croire !<\/em><\/p>\n\n\n\n<p>Une autre version se passe sur l&rsquo;\u00eele de Puropira, o\u00f9 on rencontre un habitant disant : <em>Tu ne croiras jamais ce que je suis en train de te dire<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>S&rsquo;il est un pire, il ment ce qui veut dire que je crois ce qu&rsquo;il dit. Mais je crois alors en quelque chose de faux.<\/li>\n\n\n\n<li>S&rsquo;il est un pur, il dit la v\u00e9rit\u00e9, mais je ne crois pas en quelque chose de vrai.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Je ne peux donc \u00eatre \u00e0 la fois omniscient et coh\u00e9rent, c&rsquo;est en substance ce que raconte le th\u00e9or\u00e8me de G\u00f6del.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Autres logiques modales<\/h2>\n\n\n\n<p>Le livret ci-dessous est une collection de petits articles sur les alg\u00e8bres de Boole, ainsi que les logiques \u00e9pist\u00e9mique et doxastique mais aussi, d\u00e9ontique :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/edd_edd-compressed.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 edd_edd-compressed.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-2a6794dc-f7c7-47fc-9aba-566219271f89\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/edd_edd-compressed.pdf\">edd_edd-compressed<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/edd_edd-compressed.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-2a6794dc-f7c7-47fc-9aba-566219271f89\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Le jeu de la logique<\/h2>\n\n\n\n<p>On peut calculer toutes sortes de choses avec des jetons, et m\u00eame faire de la logique avec ! <a href=\"https:\/\/alainbusser.github.io\/LogicGame\/\">Ce jeu<\/a>, commercialis\u00e9 au d\u00e9but du XX<sup>e<\/sup> si\u00e8cle, est de <a href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Lewis_Carroll\">Lewis Carroll<\/a>. <\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Raymond Smullyan, sp\u00e9cialiste de G\u00f6del, a suivi ce dernier dans sa qu\u00eate de la logique doxastique. 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