{"id":450,"date":"2015-06-11T16:19:34","date_gmt":"2015-06-11T12:19:34","guid":{"rendered":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=450"},"modified":"2025-06-27T18:37:55","modified_gmt":"2025-06-27T14:37:55","slug":"des-jeux-pour-decouvrir-la-divisibilite","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=450","title":{"rendered":"Des jeux pour d\u00e9couvrir la divisibilit\u00e9"},"content":{"rendered":"\n<p>La semaine des math\u00e9matiques de 2015 a permis de tester des jeux permettant de mieux conna\u00eetre les tables de multiplication.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Le tr\u00e9sor de Jabuse<\/h2>\n\n\n\n<p>Cette variante du jeu de Fort-Boyard appel\u00e9e <em>jeu des parties aliquotes<\/em> diff\u00e8re de son anc\u00eatre par le fait qu&rsquo;au lieu de soustraire 1, 2 ou 3 objets de la collection, on en soustrait autant qu&rsquo;on veut du moment que le nombre d&rsquo;objets que l&rsquo;on s&rsquo;appr\u00eate \u00e0 retirer de la collection, est un diviseur propre du nombre d&rsquo;objets actuellement pr\u00e9sents.<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p style=\"font-style:italic;font-weight:300\">La redoutable sorci\u00e8re Latourista, sorci\u00e8re des mers du Sud, a jet\u00e9 sur une des pi\u00e8ces du tr\u00e9sor du pirate Jabuse, un sort, qui provoque chez le possesseur de ladite pi\u00e8ce d&rsquo;atroces douleurs abdominales. D\u00e9sireux de gu\u00e9rir de cette dysenterie, le pirate Jabuse vous propose de partager son tr\u00e9sor. Votre but n&rsquo;est pas de gagner un maximum de pi\u00e8ces, mais de ne pas avoir la pi\u00e8ce maudite.<\/p>\n\n\n\n<p style=\"font-style:italic;font-weight:300\">Pour partager les pi\u00e8ces, on fait comme ceci : chacun son tour, dispose les pi\u00e8ces restantes en un motif rectangulaire, puis pr\u00e9l\u00e8ve une ligne ou une colonne de ce rectangle.<\/p>\n\n\n\n<p style=\"font-style:italic;font-weight:300\"> Celui qui prend la derni\u00e8re pi\u00e8ce perd le jeu, et est instantan\u00e9ment frapp\u00e9 par la mal\u00e9diction de la c\u00e9l\u00e8bre sorci\u00e8re Latourista. <\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Par exemple, s&rsquo;il ne reste que 12 pi\u00e8ces et que c&rsquo;est \u00e0 moi de jouer, je peux<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>placer ces pi\u00e8ces en une ligne et prendre cette ligne (d\u00e9conseill\u00e9 : prendre toutes les pi\u00e8ces c&rsquo;est aussi prendre la pi\u00e8ce maudite et perdre le jeu),<\/li>\n\n\n\n<li>placer les pi\u00e8ces en deux lignes de six et prendre une des lignes (il reste alors 6 pi\u00e8ces),<\/li>\n\n\n\n<li>placer les pi\u00e8ces en trois lignes de 4 et prendre une ligne (il reste alors 8 pi\u00e8ces),<\/li>\n\n\n\n<li>placer les pi\u00e8ces en quatre lignes de trois et prendre une ligne (il reste alors 9 pi\u00e8ces),<\/li>\n\n\n\n<li>placer les pi\u00e8ces en six lignes de deux et prendre une ligne (il reste alors 10 pi\u00e8ces),<\/li>\n\n\n\n<li>placer les pi\u00e8ces en douze lignes d&rsquo;une pi\u00e8ce chacune (c&rsquo;est-\u00e0-dire en une colonne) et prendre une ligne (c&rsquo;est-\u00e0-dire une pi\u00e8ce ; il reste alors 11 pi\u00e8ces),<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>autrement dit,<strong><em> le nombre de pi\u00e8ces que je peux retirer du tr\u00e9sor de Jabuse doit \u00eatre un diviseur de 12 autre que 12<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Chomp<\/h2>\n\n\n\n<p>Une autre variante des jeux de Nim portant (mais de fa\u00e7on un peu crypt\u00e9e) sur la divisibilit\u00e9 a \u00e9t\u00e9 d\u00e9crite par <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/David_Gale\">David Gale<\/a> sous le nom (trouv\u00e9 par <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Martin_Gardner\">Martin Gardner<\/a>) de <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Chomp_(jeu)\">Chomp<\/a> :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/Gale2015.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 Chomp par Gale.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-2d117f14-8504-4076-b1ff-277f75d8e26d\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/Gale2015.pdf\">Chomp par Gale<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/Gale2015.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-2d117f14-8504-4076-b1ff-277f75d8e26d\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<p>Le jeu de Chomp, qui est un jeu de Nim bidimensionnel, peut \u00eatre vu \u00e9galement comme un jeu (Schuh, 1952) sur la divisibilit\u00e9 :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p style=\"font-style:italic;font-weight:300\">On donne au premier joueur la valeur initiale d&rsquo;une variable (par exemple 72). Chaque joueur \u00e0 son tour divise la variable par un de ses diviseurs autre que 1. Le premier qui arrive \u00e0 rendre la variable \u00e9gale \u00e0 1, perd le jeu. <\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>En pla\u00e7ant le biscuit empoisonn\u00e9 en bas \u00e0 gauche, les biscuits portent les num\u00e9ros suivants :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table class=\"has-fixed-layout\"><tbody><tr><td>9<\/td><td>18<\/td><td>36<\/td><td>72<\/td><\/tr><tr><td>3<\/td><td>6<\/td><td>12<\/td><td>24<\/td><\/tr><tr><td>1<\/td><td>2<\/td><td>4<\/td><td>8<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Dans l&rsquo;article de Gale ci-dessus, il est sugg\u00e9r\u00e9 pour gagner, de manger le biscuit num\u00e9rot\u00e9 12 et tous ceux qui \u00e9taient plus haut et plus \u00e0 droite que celui-ci (24, 36 et 72 ci-dessus : ce sont les multiples de 12 qui a \u00e9t\u00e9 jou\u00e9). Il reste alors les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 et 18 \u00e0 jouer : chaque tour de jeu consiste \u00e0 retirer, parmi les diviseurs de 72, un nombre et ceux de ses multiples qui seraient encore l\u00e0. Celui qui retire 1 est perdant du jeu.<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Juniper Green<\/h2>\n\n\n\n<p>Vers la fin du XXe si\u00e8cle, Richard Porteous, professeur au coll\u00e8ge de Juniper Green, invente un jeu quelque peu similaire aux deux pr\u00e9c\u00e9dents :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p style=\"font-style:italic;font-weight:300\">On dispose d&rsquo;une collection d&rsquo;entiers non nuls (par exemple ceux inf\u00e9rieurs \u00e0 un seuil). Le premier joueur choisit un nombre pair, puis chaque joueur \u00e0 son tour, choisit un nombre qui n&rsquo;a pas d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 choisi et qui soit, ou bien un multiple, ou bien un diviseur, du nombre pr\u00e9c\u00e9demment choisi. Le premier joueur qui ne peut plus choisir de nombre v\u00e9rifiant ces contraintes, perd le jeu.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>D&rsquo;apr\u00e8s <a href=\"https:\/\/www.apmep.fr\/IMG\/pdf\/Juniper_Green.pdf\">un article<\/a> du bulletin vert de l&rsquo;APMEP, le jeu a \u00e9t\u00e9 test\u00e9 en classes de CM1 et coll\u00e8ge.<\/p>\n\n\n\n<p>Mise \u00e0 jour : apr\u00e8s la pr\u00e9sentation de ce jeu au s\u00e9minaire de l&rsquo;IREM,<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>le jeu a \u00e9t\u00e9 pr\u00e9sent au <a href=\"https:\/\/www.apmep.fr\/IMG\/pdf\/BTS_Sio_obli_Polynesie_mai_2016_2.pdf\">BTS SIO<\/a> en 2016,<\/li>\n\n\n\n<li>puis pr\u00e9sent\u00e9 par Boris Laval et Olivier Sicard en s\u00e9minaire IREM<\/li>\n\n\n\n<li>puis programm\u00e9 par Boris sur smartphone (avec un solveur impl\u00e9mentant des IA de jeu)<\/li>\n\n\n\n<li>puis <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/pdf\/2202.09864\">quasiment r\u00e9solu<\/a> par Julien Lemoine (sp\u00e9cialiste des jeux de Nim, or le jeu de Juniper Green est un jeu de Nim)<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">divhasard<\/h2>\n\n\n\n<p>Ce jeu a b\u00e9n\u00e9fici\u00e9 d&rsquo;un franc succ\u00e8s en CM1 et en 5e. Il se joue avec un d\u00e9 (de pr\u00e9f\u00e9rence icosa\u00e9drique) que les joueurs lancent \u00e0 tour de r\u00f4le. Par\u00e8s le lancer du d\u00e9, est indiqu\u00e9 un entier de 1 \u00e0 20 (par exemple 12). Alors<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>on dresse la liste des diviseurs (exemple 1, 2, 3, 4, 6, 12)<\/li>\n\n\n\n<li>compte les diviseurs (par exemple 12 a  6 diviseurs)<\/li>\n\n\n\n<li>marque autant de points que le nombre de diviseurs (par exemple si on obtient 12, on augmente son score de 6 points).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Apr\u00e8s trois tours (une demi-heure pour la moiti\u00e9 d&rsquo;une classe de 5e), la personne ayant le plus grand total a gagn\u00e9 le tournoi de divhasard.<\/p>\n\n\n\n<p>Voici la description du jeu en pdf :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/divisibilite.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 divisibilite.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-ddc4a75e-07ee-40f9-9741-c2587d4ea390\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/divisibilite.pdf\">divisibilite<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/divisibilite.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-ddc4a75e-07ee-40f9-9741-c2587d4ea390\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La semaine des math\u00e9matiques de 2015 a permis de tester des jeux permettant de mieux conna\u00eetre les tables de multiplication. 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