{"id":2065,"date":"2026-05-04T12:08:00","date_gmt":"2026-05-04T08:08:00","guid":{"rendered":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=2065"},"modified":"2026-05-06T10:37:23","modified_gmt":"2026-05-06T06:37:23","slug":"bim-et-schim","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=2065","title":{"rendered":"Bim et Schim"},"content":{"rendered":"\n<p>Les deux jeux pr\u00e9sent\u00e9s ici font appel \u00e0 la motricit\u00e9 fine, et sont donc int\u00e9ressants \u00e0 pratiquer d\u00e8s le CP, voire la GS. Leurs noms vient de ceux de leurs auteurs (<strong>Bim<\/strong> est <em>Busser&rsquo;s nim<\/em> et <strong>Schim<\/strong> est <em>Schilli&rsquo;s nim<\/em>). Les deux jeux proviennent de tentatives d&rsquo;am\u00e9liorations de Rim, jeu cr\u00e9\u00e9 \u00e0 la va-vite par John Conway, et ici d\u00e9crit (page 131 de <em>On Numbers and Games<\/em>) :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"664\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/rim-1024x664.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2066\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/rim-1024x664.png 1024w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/rim-300x195.png 300w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/rim-768x498.png 768w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/rim.png 1384w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>En fait, le jeu d\u00e9crit par Conway, tel quel, est relativement sans int\u00e9r\u00eat, puisqu&rsquo;il y a une strat\u00e9gie gagnante simple pour celui qui joue en premier : il n&rsquo;a qu&rsquo;\u00e0 tracer une courbe ferm\u00e9e passant par tous les points et son adversaire est bloqu\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Dans Bim, on ajoute la r\u00e8gle suivante : au premier coup on trace une courbe passant par au moins un point, mais pas par tous les points.<\/li>\n\n\n\n<li>Dans Schim on ne dit rien sur le premier coup, mais la courbe trac\u00e9e doit obligatoirement passer par 1, 2 ou 3 points qui ne sont pas d\u00e9j\u00e0 sur une courbe. Schim est dont une g\u00e9n\u00e9ralisation de Rayles d\u00e9crit ci-dessus.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Bim<\/h2>\n\n\n\n<p>On appelle <em>libre<\/em> un point qui n&rsquo;est pas sur une courbe. Voici donc la r\u00e8gle de Bim ;<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Le jeu se joue sur une constellation. Le premier trace une courbe passant par au moins un point, et lassant libre au moins un point. Ensuite chaque joueur \u00e0 son tour, trace une courbe passant par au moins un point libre, et ne croisant ni touchant aucune courbe d\u00e9j\u00e0 trac\u00e9e. Le premier qui ne peut plus jouer a perdu.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Bim est le <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Jeu_octal\">jeu octal<\/a> 0.677777777&#8230;<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Schim<\/h2>\n\n\n\n<p>Voici la r\u00e8gle de Schim :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Le jeu se joue sur une constellation. Chaque joueur \u00e0 son tour trace une courbe passant par 1, 2 ou 3 points libres et ne croisant ni touchant aucune courbe d\u00e9j\u00e0 trac\u00e9e. Le premier qui ne peut plus jouer a perdu.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Schim est le jeu octal 0.777.<\/p>\n\n\n\n<p>On convient que d\u00e8s qu&rsquo;une courbe en croise une autre (ou elle-m\u00eame) ou passe par plus de 3 points libres ou par un point non libre, le joueur ayant fait l&rsquo;erreur a perdu.<\/p>\n\n\n\n<p>Voici quelques exemples de parties de Schim jou\u00e9es en (fin de) CP :<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Exemples d&rsquo;erreurs<\/h3>\n\n\n\n<p>Ces exemples sont utiles pour expliquer la r\u00e8gle du jeu : on demande aux \u00e9l\u00e8ves quelles sont les erreurs :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/erreurschim.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:470px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 erreurschim.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-a7db67cc-2b1d-400e-a356-32c990ee49e8\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/erreurschim.pdf\">erreurschim<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/erreurschim.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-a7db67cc-2b1d-400e-a356-32c990ee49e8\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>L&rsquo;une des courbes passe par plus de 3 points.<\/li>\n\n\n\n<li>Il reste un point libre.<\/li>\n\n\n\n<li>Une courbe passe par plus de 3 points, et deux courbes passent par un m\u00eame point.<\/li>\n\n\n\n<li>Le petit cercle orange \u00e0 gauche, passe par un point qui est sur une courbe, ou croise cette courbe.<\/li>\n\n\n\n<li>Une courbe reliant l&rsquo;unique point libre \u00e0 un point d\u00e9j\u00e0 sur une courbe, a \u00e9t\u00e9 trac\u00e9e par erreur, puis barr\u00e9e, ce qui a cach\u00e9 le fait que le point tout \u00e0 droite est libre et que le jeu n&rsquo;\u00e9tait donc pas fini.<\/li>\n\n\n\n<li>La courbe fractale se croise elle-m\u00eame.<\/li>\n\n\n\n<li>L&rsquo;hypot\u00e9nuse du triangle \u00e0 gauche, n&rsquo;arrive pas vraiment \u00e0 \u00e9viter un point non libre.<\/li>\n\n\n\n<li> Deux points sont sur deux courbes (en gris).<\/li>\n\n\n\n<li>La courbe jaune passe par 5 points.<\/li>\n\n\n\n<li>Deux courbes marron sont tangentes.<\/li>\n\n\n\n<li>La courbe bleue passe par 4 points.<\/li>\n\n\n\n<li>La courbe fractale s&rsquo;auto-croise.<\/li>\n\n\n\n<li>Les verts n&rsquo;ont pas vu qu&rsquo;il reste un point libre et ont cru perdre alors qu&rsquo;ils gagnaient.<\/li>\n\n\n\n<li>Une courbe passe deux fois par le m\u00eame point.<\/li>\n\n\n\n<li>Deux courbes se croisent (et en plus l&rsquo;une est de trop, les verts n&rsquo;ayant jou\u00e9 qu&rsquo;une fois).<\/li>\n\n\n\n<li>Si on ne triche pas, le jeu se termine sur des sommets qui sont tous de degr\u00e9 2 ; ici il y a m\u00eame un sommet de degr\u00e9 4 !<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Le th\u00e9or\u00e8me de Jordan (toute courbe ferm\u00e9e sans point double s\u00e9pare le reste en un int\u00e9rieur et un ext\u00e9rieur) n&rsquo;est pas une vision naturelle en CP (au d\u00e9but, aucun \u00e9l\u00e8ve n&rsquo;a pens\u00e9 \u00e0 englober des courbes dans une courbe, par contre la notion de courbe fractale semble \u00eatre pr\u00e9sente, comme on le voit sur certains exemples ci-dessus.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Exemples de parties termin\u00e9es<\/h3>\n\n\n\n<p>Pour analyser des parties, il vaut mieux imposer la couleur bleue \u00e0 celui qui joue en premier et la couleur rouge \u00e0 celui qui joue en deuxi\u00e8me, afin de pouvoir expliquer qui a gagn\u00e9 au cas o\u00f9 il y a un nombre pair de courbes. Voici quelques parties remarquables observ\u00e9es en CP :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/schimCP.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:470px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 schimCP.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-6cc9d49c-9be1-4e43-bab0-3a41f80a0cb8\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/schimCP.pdf\">schimCP<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/schimCP.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-6cc9d49c-9be1-4e43-bab0-3a41f80a0cb8\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Comment faire jouer \u00e0 Schim<\/h2>\n\n\n\n<p>Les \u00e9l\u00e8ves peuvent tr\u00e8s bien jouer sur une ardoise, sur laquelle ils adorent d&rsquo;ailleurs dessiner les points avant de jouer. Mais il vaut mieux les faire jouer juste avant la sonnerie, car le jeu les excite. Comme cela avait d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 fait <a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=586\">avec Sprouts<\/a> (auquel Bim et Schim ressemblent un peu), on peut m\u00eame envisager un tournoi au tableau avec Velleda.<\/p>\n\n\n\n<p>On d\u00e9termine qui joue en premier, avec Pierre-Feuille-Ciseaux : le gagnant \u00e0 Pierre-Feuille-Ciseaux joue la couleur bleue et commence. Quand le jeu est termin\u00e9, il est int\u00e9ressant de l&rsquo;examiner avec les \u00e9l\u00e8ves et d\u00e9battre de qui a gagn\u00e9 et pourquoi. S&rsquo;il y a un nombre pair de courbes, c&rsquo;est Bleu qui a gagn\u00e9, sinon c&rsquo;est celui qui a trac\u00e9 une courbe de plus que l&rsquo;autre (sauf s&rsquo;il y a eu triche comme deux courbes qui se croisent ou une courbe qui passe par plus de 3 points).<\/p>\n\n\n\n<p>Il peut \u00eatre int\u00e9ressant aussi de donner des probl\u00e8mes de Schim du type <em>Rouge joue et gagne en un coup<\/em>. Et surtout, le jeu faisant travailler les nombres 1, 2 et 3 et la motricit\u00e9 fine, serait probablement int\u00e9ressant \u00e0 explorer en cycle 1, ou en d\u00e9but de CP : on voit plus haut sur les exemples, la ma\u00eetrise qu&rsquo;ont certaines \u00e9l\u00e8ves en trac\u00e9 de cercle circonscrit \u00e0 la main, ainsi qu&rsquo;un cercle de diam\u00e8tre donn\u00e9, il serait int\u00e9ressant de comparer ces performances avec celles d&rsquo;\u00e9l\u00e8ves plus jeunes, mais aussi avec celles d&rsquo;\u00e9l\u00e8ves plus \u00e2g\u00e9s : l&rsquo;id\u00e9e de s\u00e9parer les points par une courbe n&rsquo;est apparue spontan\u00e9ment \u00e0 aucun.e \u00e9l\u00e8ve de CP.<\/p>\n\n\n\n<p>On peut aussi jouer au tableau, comme cela <a href=\"https:\/\/images.math.cnrs.fr\/freeze\/Une-activite-des-la-maternelle-autour-des-graphes-le-jeu-de-Sprouts.html\">avait \u00e9t\u00e9 fait pour Sprouts<\/a> \u00e0 partir de la grande section.<\/p>\n\n\n\n<p>Des \u00e9l\u00e8ves, avides de jouer sur beaucoup de points, ont invent\u00e9 une variante de Schim o\u00f9 on a aussi le droit de passer par 4 points :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"713\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/DSC_0343.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2099\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/DSC_0343.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/DSC_0343-300x297.jpg 300w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/DSC_0343-150x150.jpg 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Mais ils n&rsquo;ont pas pens\u00e9 \u00e0 englober des points ou des courbes dans une courbe, d&rsquo;ailleurs ils voyaient des polygones remplis :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"538\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/DSC_0345.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2100\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/DSC_0345.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/DSC_0345-300x224.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Combien de points ?<\/h2>\n\n\n\n<p>Manifestement, le jeu test\u00e9 en CP avec 7 points au d\u00e9part, est peu int\u00e9ressant. Or il se trouve que le <a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=1865\">nombre de Grundy<\/a> de ce jeu est 3 qui n&rsquo;est pas \u00e9norme. Un crit\u00e8re de choix de nombre initial de points pour lequel la strat\u00e9gie gagnante n&rsquo;est pas \u00e9vidente est un nombre de Grundy \u00e9lev\u00e9. Par exemple, 6, 10, 11, 14, 16, 33 ou 34 points semblent int\u00e9ressants :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"640\" height=\"480\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/schim40.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2108\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/schim40.png 640w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/schim40-300x225.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 640px) 100vw, 640px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Ces nombres de Grundy ont \u00e9t\u00e9 calcul\u00e9s avec ces fonctions Python, utilisant la programmation dynamique :<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>def mex(tab):\n    for k in range(len(tab)+1):\n        if k not in tab:\n            return k\n\ndef decomp(n):\n    return &#091;(i,n-i) for i in range(n\/\/2+1)]\n\ndef grundy(n):\n    tab = list(range(5))\n    for k in range(5,n+1):\n        sommes = set()\n        for j in range(k-1,k-4,-1):\n            for t in decomp(j):\n                sommes.add(tab&#091;t&#091;0]]^tab&#091;t&#091;1]])\n        tab.append(mex(sommes))\n    return tab&#091;n]<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>On constate que pour un nombre raisonnable de points, le nombre de Grundy 9 ne semble pas exister. En fait il faut attendre jusqu&rsquo;\u00e0 418 points pour que le nombre de Grundy soit 9 :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"640\" height=\"480\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/schim420.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2110\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/schim420.png 640w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/schim420-300x225.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 640px) 100vw, 640px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>La r\u00e9partition des nombres de Grundy semble aussi complexe que celle pour <a href=\"https:\/\/oeis.org\/A002188\/graph\">ce jeu invent\u00e9 par un autre Patrick<\/a>, ce qui montre que Schim est un jeu objectivement int\u00e9ressant. En plus, il est praticable tr\u00e8s jeune, alors pourquoi se priver ?<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Les deux jeux pr\u00e9sent\u00e9s ici font appel \u00e0 la motricit\u00e9 fine, et sont donc int\u00e9ressants \u00e0 pratiquer d\u00e8s le CP, voire la GS. Leurs noms vient de ceux de leurs auteurs (Bim est Busser&rsquo;s nim et Schim est Schilli&rsquo;s nim). Les deux jeux proviennent de tentatives d&rsquo;am\u00e9liorations de Rim, jeu cr\u00e9\u00e9 \u00e0 la va-vite par [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":2103,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[4,12],"tags":[28,29,48,70],"coauthors":[54],"class_list":["post-2065","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-geometrie","category-jeux-mathematiques","tag-cycle-1","tag-cycle-2","tag-manipulation","tag-maternelle"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2065","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=2065"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2065\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2113,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2065\/revisions\/2113"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/2103"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=2065"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=2065"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=2065"},{"taxonomy":"author","embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcoauthors&post=2065"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}