{"id":1963,"date":"2026-04-17T17:17:51","date_gmt":"2026-04-17T13:17:51","guid":{"rendered":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=1963"},"modified":"2026-04-17T17:17:51","modified_gmt":"2026-04-17T13:17:51","slug":"le-modele-de-bernoulli-une-maniere-non-standard-pour-enseigner-les-fractions-en-cycle-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=1963","title":{"rendered":"Le mod\u00e8le de Bernoulli, une mani\u00e8re non standard pour enseigner les fractions en cycle 2"},"content":{"rendered":"\n<p>Dans les programmes de 2025, on aborde les fractions d\u00e8s le cycle 2, selon la progression suivante :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>En CE, on aborde des fractions de grandeurs (en g\u00e9n\u00e9ral continues : par exemple pour obtenir les trois quarts d&rsquo;une pizza, on coupe la pizza en quatre parts \u00e9gales, puis on en prend trois ; la plupart des enfants savent qu&rsquo;il est impossible de couper une pizza en quatre parts rigoureusement \u00e9gales&#8230;),<\/li>\n\n\n\n<li>en CM, on passe progressivement des fractions de grandeurs, \u00e0 des fractions de mesures,<\/li>\n\n\n\n<li>en 6<sup>e<\/sup>, on apprend qu&rsquo;en fait les fractions sont des nombres (quotients d&rsquo;entiers). <\/li>\n\n\n\n<li>Dans le <a href=\"https:\/\/www.education.gouv.fr\/sites\/default\/files\/document\/Annexe%202%20%E2%80%93%20Programme%20de%20math%C3%A9matiques%20pour%20le%20cycle%204-480716.pdf\">nouveau programme<\/a> (2026) de cycle 4, on lit :<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>une fraction est le quotient de deux entiers (num\u00e9rateur et d\u00e9nominateur)<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Le programme, qui s&rsquo;inspire de (<a href=\"https:\/\/books.google.com\/books\/about\/Unpacking_Fractions.html?id=mCSInQAACAAJ\">Neagoy 2017<\/a>), n&rsquo;aborde cependant pas les ratios, clairement \u00e9voqu\u00e9s dans l&rsquo;ouvrage de r\u00e9f\u00e9rence. L&rsquo;activit\u00e9 pr\u00e9sent\u00e9e ici, par contre, permet aux \u00e9l\u00e8ves de r\u00e9inventer le concept de ratio. En n&rsquo;\u00e9voquant que des grandeurs discr\u00e8tes (et donc des mesures enti\u00e8res), elle est <strong>clairement hors programme<\/strong>. Cependant elle permet de parler de fractions d\u00e8s le CE 1 avec simplicit\u00e9 et efficacit\u00e9, et elle reste bas\u00e9e sur de la manipulation d&rsquo;objets. Elle est bas\u00e9e sur le <a href=\"http:\/\/revue.sesamath.net\/spip.php?article1672\">mod\u00e8le de Bernoulli<\/a> qui n&rsquo;est n&rsquo;est pas du tout \u00e9voqu\u00e9 dans les programmes, mais qui permet d&rsquo;aborder aussi la notion de probabilit\u00e9 : chez Bernoulli, la probabilit\u00e9 (lorsqu&rsquo;on extrait une graine de l&rsquo;urne) que la graine soit noire, est \u00e9gale \u00e0 la proportion de graines noires dans l&rsquo;urne, comme on le voit avec cette <a href=\"https:\/\/alainbusser.github.io\/primaire\/html\/probasFractions_css.html\">activit\u00e9 en ligne<\/a> qui existe depuis plus de 10 ans et a d\u00e9j\u00e0 servi comme question flash en CM.<\/p>\n\n\n\n<p>L&rsquo;activit\u00e9 propos\u00e9e ici dure environ une heure et est compos\u00e9e de deux parties : au d\u00e9but on distribue des pions de deux couleurs (que les \u00e9l\u00e8ves connaissent pour avoir jou\u00e9 \u00e0 <a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=1125\">alquerkonane<\/a> la semaine pr\u00e9c\u00e9dente) et on demande \u00e0 chaque \u00e9l\u00e8ve la proportion de pions noirs sur le total de pions ; et dans la seconde partie on demande aux \u00e9l\u00e8ves de troquer des pions de mani\u00e8re que la proportion de pions noirs soit une fraction donn\u00e9e (ici, 1\/2).<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Premi\u00e8re partie : trouver la fraction<\/h2>\n\n\n\n<p>Sur l&rsquo;ardoise, les \u00e9l\u00e8ves \u00e9crivent la phrase \u00e0 trous suivante :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Il y a &#8230;&#8230; pions noirs sur &#8230;&#8230; pions. <\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Puis on leur distribue un nombre al\u00e9atoire de pions de chaque couleur, et ils doivent compl\u00e9ter la phrase. Par exemple voici la fraction 7\/17 :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"501\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093121.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2014\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093121.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093121-300x209.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>et la fraction  4\/11 :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"506\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093101.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2015\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093101.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093101-300x211.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Au d\u00e9but, beaucoup d&rsquo;\u00e9l\u00e8ves ont tendance \u00e0 ne compter que les pions blancs au lieu de tous les pions, ce qui aboutit \u00e0 un ratio (ci-dessus 4:7) au lieu d&rsquo;une fraction.<\/p>\n\n\n\n<p>Ceci dit, une fois comprise la diff\u00e9rence entre ratios et fractions, les \u00e9l\u00e8ves continuent \u00e0 compter les pions blancs, parce qu&rsquo;il est plus simple (d\u00e8s le CE 1) d&rsquo;additionner les nombres de pions noirs et pions blancs, plut\u00f4t que compter tous les pions.<\/p>\n\n\n\n<p>Souvent, les \u00e9l\u00e8ves placent les pions de mani\u00e8re \u00e0 pouvoir les comparer :<\/p>\n\n\n\n<p>(fraction 7\/12)<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"136\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093040.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2018\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093040.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093040-300x57.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>(fraction 4\/11)<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"221\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093109.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2019\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093109.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093109-300x92.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>(fraction 5\/14)<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"266\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093032.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2020\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093032.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093032-300x111.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>(fraction 4\/11)<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"658\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093155.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2021\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093155.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093155-300x274.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>(fraction 8\/13)<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"598\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105653.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2023\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105653.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105653-300x249.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>(fraction 4\/11)<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"663\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105726.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2024\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105726.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105726-300x276.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Simplification de fractions en CE 1<\/h2>\n\n\n\n<p>Pour trouver les nombres de pions noirs et de pions blancs, des \u00e9l\u00e8ves de CE 1 ont tendance \u00e0 simplifier l&rsquo;urne en sous-urnes identiques entre elles. Ce qui r\u00e9v\u00e8le des \u00e9critures diff\u00e9rentes d&rsquo;une m\u00eame fraction :<\/p>\n\n\n\n<p>4\/12 = 1\/3<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"595\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093046.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2026\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093046.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093046-300x248.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>4\/10 = 2\/5<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"718\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093135.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2027\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093135.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093135-300x300.jpg 300w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093135-150x150.jpg 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>3\/9 = 1\/3<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"463\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093149.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2028\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093149.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093149-300x193.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>6\/12 = 1\/2<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"753\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093437.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2029\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093437.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093437-287x300.jpg 287w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>qui am\u00e8ne \u00e0 citer un th\u00e9or\u00e8me totalement hors programme :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p><strong>Lorsqu&rsquo;une urne peut \u00eatre d\u00e9compos\u00e9e en sous-urnes toutes identiques <\/strong>entre elles, la proportion de pions noirs dans l&rsquo;urne est la m\u00eame que la proportion de pions noirs dans chacune des sous-urnes.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Cependant, il faut bien faire attention au d\u00e9but de l&rsquo;\u00e9nonc\u00e9, de peur que plus tard des \u00e9l\u00e8ves en d\u00e9duisent \u00e0 tort des choses comme 2\/3+4\/5 = (2+4)\/(3+5).<\/p>\n\n\n\n<p>Cette mani\u00e8re de montrer la simplification de fractions, outre le fait qu&rsquo;elle a \u00e9t\u00e9 invent\u00e9e par des \u00e9l\u00e8ves de CE 1, pr\u00e9sente sur la mani\u00e8re classique l&rsquo;avantage de ne pas n\u00e9cessiter d&rsquo;hypoth\u00e8se sur la stricte \u00e9galit\u00e9 entre mesures continues et de ne parler que de nombres entiers, conform\u00e9ment au programme de cycle 4 de 2026.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Version cours moyen<\/h3>\n\n\n\n<p>En CM, on apprend plut\u00f4t \u00e0 compliquer les fractions, qu&rsquo;\u00e0 les simplifier. Par exemple pour montrer visuellement que 4\/12 = 1\/3, on commence par repr\u00e9senter 1\/3 (en supposant que les trois rectangles sont rigoureusement superposables) :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"583\" height=\"512\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/untiers1-2.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2039\" style=\"width:458px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/untiers1-2.png 583w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/untiers1-2-300x263.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 583px) 100vw, 583px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>et ensuite, on d\u00e9coupe chaque rectangle en 4 parties (rigoureusement, bien s\u00fbr, puisque tout un chacun sait que c&rsquo;est possible) \u00e9gales :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"583\" height=\"522\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/untiers2-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2040\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/untiers2-1.png 583w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/untiers2-1-300x269.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 583px) 100vw, 583px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>et, comme on compte 3 carr\u00e9s cyan sur 12 carr\u00e9s, la fraction 1\/3 est \u00e9gale \u00e0 la fraction 4\/12.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Version CE 1<\/h3>\n\n\n\n<p>L\u00e0, on part de 12 graines dont 4 sont noires (on n&rsquo;a donc effectivement que des entiers) et on arrange les graines pour faire appara\u00eetre des motifs identiques, ayant chacun un pion noir sur trois :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"595\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093046.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2026\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093046.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_093046-300x248.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Encore une fois, ce mod\u00e8le <\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>est bas\u00e9 sur des nombres entiers et pas des rectangles,<\/li>\n\n\n\n<li>part de la fraction compliqu\u00e9e 4\/12 et va vers une simplification, <\/li>\n\n\n\n<li>est bas\u00e9e sur une vraie manipulation d&rsquo;objets et non un simple dessin de rectangles.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Ce qui peut expliquer son succ\u00e8s aupr\u00e8s d&rsquo;\u00e9l\u00e8ves de CE 1, qui en sont d&rsquo;ailleurs les auteurs. Reste \u00e0 produire des exercices du style <em>simplifier les fractions par un jeu s\u00e9rieux<\/em>&#8230;<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Construire la fraction 1\/2<\/h2>\n\n\n\n<p>La premi\u00e8re version de l&rsquo;exercice, <a href=\"https:\/\/alainbusser.github.io\/primaire\/html\/probasFractions_css.html\">en ligne<\/a>, consistait \u00e0 cr\u00e9er soi-m\u00eame une proportion impos\u00e9e par l&rsquo;\u00e9nonc\u00e9. Pour la version pions, l&rsquo;\u00e9nonc\u00e9 suivant a \u00e9t\u00e9 \u00e9crit au tableau :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>La moiti\u00e9 des pions sont noirs.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>puis il a \u00e9t\u00e9 demand\u00e9 aux \u00e9l\u00e8ves de faire en sorte que ce soit vrai, par troc avec l&rsquo;animateur :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>soit on demande des pions en plus,<\/li>\n\n\n\n<li>soit on se d\u00e9barrasse de certains pions, <\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>et, dans chacun des cas, on pr\u00e9cise le nombre et la couleur des pions.<\/p>\n\n\n\n<p>Dans de rares cas, il y avait d\u00e9j\u00e0 la bonne proportion de pions, mais m\u00eame l\u00e0, les \u00e9l\u00e8ves ont essay\u00e9 de changer la repr\u00e9sentation de la fraction 1\/2. En fait le but est d&rsquo;avoir autant de pions de chaque couleur.<\/p>\n\n\n\n<p>En fait, il s&rsquo;agit d&rsquo;un exercice de soustraction. Par exemple si j&rsquo;ai 7 pions noirs sur 17 pions, c&rsquo;est que j&rsquo;ai 10 (obtenu par soustraction) pions blancs, donc un trop plein de pions blancs. Alors je peux<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>me d\u00e9barrasser des pions blancs superflus (10 pions &#8211; 7 pions = 3 pions, ou je les vois par alignement),<\/li>\n\n\n\n<li>ou demander des pions noirs : il en faut 10-7=3.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>La seconde m\u00e9thode, bien que plus compliqu\u00e9e, a \u00e9t\u00e9 souvent pr\u00e9f\u00e9r\u00e9e des \u00e9l\u00e8ves, aboutissant \u00e0 des fractions de grand d\u00e9nominateur et pas forc\u00e9ment \u00e9gales \u00e0 1\/2. Par exemple \u00e0 partir de 7\/17 on est arriv\u00e9 \u00e0 12\/22 :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"527\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094537.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2044\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094537.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094537-300x220.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Une \u00e9l\u00e8ve de CE 1, semblant viser d&rsquo;instinct la fraction 2\/3, a r\u00e9guli\u00e8rement constat\u00e9 qu&rsquo;il y avait trop de pions noirs, et  a essay\u00e9 de compenser cela en ajoutant d&rsquo;autres pions noirs, ce qui n&rsquo;a fait qu&rsquo;aggraver la situation :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"739\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094733.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2045\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094733.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094733-292x300.jpg 292w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Une seule \u00e9l\u00e8ve (CE 2) a pens\u00e9 \u00e0 se d\u00e9barrasser de presque tous ses pions en n&rsquo;en laissant qu&rsquo;un de chaque couleur : la moiti\u00e9 c&rsquo;est un sur deux donc un pion noir et un pion blanc. D&rsquo;autres fractions, plus complexes, ont \u00e9t\u00e9 trouv\u00e9es :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"652\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094425.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2047\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094425.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094425-300x272.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>8\/16 :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"340\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094628.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2048\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094628.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094628-300x142.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>6\/12 :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"783\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094645.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2049\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094645.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_094645-276x300.jpg 276w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>5\/10 :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"257\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105817.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2050\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105817.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105817-300x107.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"170\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105821.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2051\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105821.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105821-300x71.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"445\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105844.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2052\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105844.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105844-300x185.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Avec, souvent, une recherche esth\u00e9tique impressionnante :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"632\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_110120.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2053\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_110120.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_110120-300x263.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Presque 1\/2<\/h3>\n\n\n\n<p>En CE 2, il y a eu parfois des difficult\u00e9s \u00e0 arriver pile sur 1\/2. Voici quelques erreurs constat\u00e9es :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"501\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105804.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2055\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105804.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105804-300x209.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"507\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105831.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2056\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105831.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105831-300x211.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"538\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105838.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-2057\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105838.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/04\/20260407_105838-300x224.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Dans ces deux derniers cas, il est possible que les \u00e9l\u00e8ves en soient rest\u00e9s \u00e0 la partie pr\u00e9c\u00e9dente, ou qu&rsquo;ils aient vis\u00e9s d&rsquo;autres fractions que 1\/2 (1\/3 ci-dessus). Cependant, il y a eu de r\u00e9elles difficult\u00e9s de planification des t\u00e2ches (la soustraction n&rsquo;est pas toujours ma\u00eetris\u00e9e) et la fraction ci-dessus peut aussi provenir de la recherche d&rsquo;un ratio 1:2 plut\u00f4t que celle d&rsquo;une fraction 1\/2.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Conclusion<\/h2>\n\n\n\n<p>Cette activit\u00e9 est hors programme, mais elle est ax\u00e9e sur la repr\u00e9sentation d&rsquo;une fraction comme <strong>quotient<\/strong> de deux nombres <strong>entiers<\/strong>, permet de d\u00e9couvrir instinctivement les notions de ratio et de probabilit\u00e9s, est bas\u00e9e sur un cycle entre manipulation et observation, et peut \u00eatre trait\u00e9e dans le cadre de la r\u00e9solution de probl\u00e8mes. Il serait donc dommage de ne pas la tester, ne serait-ce qu&rsquo;en APC.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Dans les programmes de 2025, on aborde les fractions d\u00e8s le cycle 2, selon la progression suivante : une fraction est le quotient de deux entiers (num\u00e9rateur et d\u00e9nominateur) Le programme, qui s&rsquo;inspire de (Neagoy 2017), n&rsquo;aborde cependant pas les ratios, clairement \u00e9voqu\u00e9s dans l&rsquo;ouvrage de r\u00e9f\u00e9rence. 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