{"id":1273,"date":"2024-04-28T18:53:00","date_gmt":"2024-04-28T14:53:00","guid":{"rendered":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=1273"},"modified":"2025-07-28T20:30:26","modified_gmt":"2025-07-28T16:30:26","slug":"le-petit-poucet-passe-aux-peages","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=1273","title":{"rendered":"Le petit Poucet passe aux p\u00e9ages"},"content":{"rendered":"\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Une camionneuse est charg\u00e9e de faire des courses dans certaines villes, ou d&rsquo;aller d&rsquo;une ville \u00e0 une autre, mais elle doit payer un certain nombre de jetons \u00e0 chaque p\u00e9age. Y arrivera-t-elle ? Comment payer le moins possible ?<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Ce <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Probl%C3%A8me_du_voyageur_de_commerce\">probl\u00e8me difficile<\/a> a \u00e9t\u00e9 soumis durant l&rsquo;ann\u00e9e scolaire 2023-2024 en IME et en Grande Section. En effet il permet de d\u00e9couvrir par la manipulation, le lien entre les nombres et leur \u00e9criture par chiffre, ainsi que les probl\u00e8mes additifs, plus l&rsquo;orientation dans l&rsquo;espace. Le mat\u00e9riel de jeu est constitu\u00e9<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>d&rsquo;un graphe pond\u00e9r\u00e9 (chaque p\u00e9age est repr\u00e9sent\u00e9 par un chiffre indiquant combien de jetons il faut poser sur le p\u00e9age),<\/li>\n\n\n\n<li>d&rsquo;un petit camion sur lequel poser les jetons,<\/li>\n\n\n\n<li>de jetons (\u00e0 placer dans la benne du camion) en quantit\u00e9 suffisante pour permettre \u00e0 la camionneuse de r\u00e9ussir sa mission (d&rsquo;ailleurs il lui est pr\u00e9alablement demand\u00e9 d&rsquo;estimer la quantit\u00e9 totale de jetons dont elle aura besoin),<\/li>\n\n\n\n<li>de papier et crayon pour noter l&rsquo;ordre dans lequel ont \u00e9t\u00e9 visit\u00e9es les diff\u00e9rentes villes.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"440\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/logo1.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1284\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/logo1.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/logo1-300x183.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Des questions comme <em>de combien de jetons as-tu besoin pour faire le trajet ?<\/em> ou <em>te reste-t-il suffisamment de jetons pour traverser ce p\u00e9age ?<\/em> demandent une anticipation qui n&rsquo;est pas toujours pr\u00e9sente en Grande Section :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/commis_GS2.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 commis_GS2.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-b91a31ec-b87a-4c69-b986-86733407acef\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/commis_GS2.pdf\">commis_GS2<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/commis_GS2.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-b91a31ec-b87a-4c69-b986-86733407acef\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<p>On a utilis\u00e9 ces graphes, cr\u00e9\u00e9s pour l&rsquo;occasion :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/commis2.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:350px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 commis2.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-972626c8-d1f3-4061-8bf1-92b056c238d5\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/commis2.pdf\">commis2<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/commis2.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-972626c8-d1f3-4061-8bf1-92b056c238d5\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<p>mais il serait bon sans doute de leur pr\u00e9f\u00e9rer ceux-l\u00e0, o\u00f9 il n&rsquo;y a pas de chiffre (on pose un jeton \u00e0 chaque p\u00e9age) :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/commis1.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:420px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 commis1.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-086eae2c-030d-44a1-9b98-379020ae2055\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/commis1.pdf\">commis1<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/commis1.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-086eae2c-030d-44a1-9b98-379020ae2055\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<p>Ci-dessous, la camionneuse (partie de B) avait demand\u00e9 5 jetons (par essais et erreurs), puis pay\u00e9 3 jetons au premier p\u00e9age et 2 jetons au second p\u00e9age. Il ne lui reste plus de jeton donc cela illustre le fait que 3 jetons + 2 jetons = 5 jetons :<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"720\" height=\"634\" src=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/cinqegal3plus2.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1285\" srcset=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/cinqegal3plus2.jpg 720w, https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/04\/cinqegal3plus2-300x264.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>On peut en faire une activit\u00e9 en grand, sur un circuit peint au sol (par exemple celui qui est utilis\u00e9 pour l&rsquo;initiation \u00e0 la s\u00e9curit\u00e9 routi\u00e8re) avec des p\u00e9ages (gu\u00e9rites en carton, tenues par des \u00e9l\u00e8ves) et des trottinettes en lieu et place des camions. Une partie des \u00e9l\u00e8ves auront pour r\u00f4le de verbaliser ceux qui auront shunt\u00e9 un p\u00e9age.<\/p>\n\n\n\n<p>Une activit\u00e9 plus simple (parce qu&rsquo;elle ne n\u00e9cessite pas de passer par toutes les villes) est de trouver le chemin le moins co\u00fbteux entre deux villes donn\u00e9es. Cela permet de voir comment la camionneuse cherche ce chemin : a priori elle mettra en \u0153uvre <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Algorithme_de_Dijkstra\">un algorithme au programme de SNT<\/a>. <\/p>\n\n\n\n<p>Et si on cesse de distinguer les villes et les p\u00e9ages, on retrouve <a href=\"http:\/\/revue.sesamath.net\/spip.php?article1698\">un c\u00e9l\u00e8bre probl\u00e8me d&rsquo;Alcuin<\/a>, param\u00e9trable \u00e0 l&rsquo;envi. Par exemple cette version d\u00e9j\u00e0 int\u00e9ressante :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>On part de A avec 6 jetons, il y a une route allant de A \u00e0 B (p\u00e9age 1 jeton) et une route allant de B \u00e0 C (p\u00e9age 1 jeton). On ne peut pas mettre plus de 3 jetons dans le camion. Combien de jetons maximum peut-on amener en C ?<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>La solution <em>a priori<\/em> est celle-ci :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>En A, on charge 3 des 6 jetons (on ne peut pas faire mieux),<\/li>\n\n\n\n<li>on va en B (il ne reste alors que 2 jetons, \u00e0 cause du p\u00e9age),<\/li>\n\n\n\n<li>puis en C (il ne reste alors qu&rsquo;un jeton),<\/li>\n\n\n\n<li>on d\u00e9pose ce jeton en C<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>On a r\u00e9ussi \u00e0 amener un jeton sur les 6 en C, et il reste 3 jetons en A.<\/p>\n\n\n\n<p>On peut faire mieux (3 jetons en C) et pour savoir comment, rien de mieux que manipuler !<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Une camionneuse est charg\u00e9e de faire des courses dans certaines villes, ou d&rsquo;aller d&rsquo;une ville \u00e0 une autre, mais elle doit payer un certain nombre de jetons \u00e0 chaque p\u00e9age. Y arrivera-t-elle ? Comment payer le moins possible ? Ce probl\u00e8me difficile a \u00e9t\u00e9 soumis durant l&rsquo;ann\u00e9e scolaire 2023-2024 en IME et en Grande Section. 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