{"id":1097,"date":"2025-06-29T21:09:10","date_gmt":"2025-06-29T17:09:10","guid":{"rendered":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=1097"},"modified":"2025-06-30T12:05:37","modified_gmt":"2025-06-30T08:05:37","slug":"la-resolution-de-problemes-selon-polya","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?p=1097","title":{"rendered":"La r\u00e9solution de probl\u00e8mes selon Polya"},"content":{"rendered":"\n<p>Le math\u00e9maticien <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/George_P%C3%B3lya\">George Polya<\/a> s&rsquo;est illustr\u00e9 dans plusieurs domaines des math\u00e9matiques, mais l&rsquo;un d&rsquo;entre eux est les probabilit\u00e9s, ce qui a amen\u00e9 Polya \u00e0 des recherches sur le <em>raisonnement plausible<\/em>. Polya a mod\u00e9lis\u00e9 (par les probabilit\u00e9s) le <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Induction_(logique)\">raisonnement inductif<\/a>. Celui-ci est de peu d&rsquo;utilit\u00e9 dans les d\u00e9monstrations math\u00e9matiques, comme l&rsquo;illustre l&rsquo;exemple de Fermat :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>2<sup>1<\/sup> + 1 est premier<\/li>\n\n\n\n<li>2<sup>2<\/sup> + 1 est premier<\/li>\n\n\n\n<li>2<sup>4<\/sup> + 1 est premier<\/li>\n\n\n\n<li>2<sup>8<\/sup> + 1 est premier<\/li>\n\n\n\n<li>2<sup>16<\/sup> + 1 est premier<\/li>\n\n\n\n<li>donc 2<sup>32<\/sup> + 1 est premier.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Ce raisonnement n&rsquo;a pas valeur de preuve, d&rsquo;autant que 2<sup>32<\/sup> + 1 est divisible par 641. Il est par contre utile lorsqu&rsquo;il s&rsquo;agit de <em>chercher<\/em>. L&rsquo;art de chercher est appel\u00e9 par Polya <em>heuristique<\/em> (le fameux <em>eureka<\/em> d&rsquo;Archim\u00e8de : avant de trouver, on cherche). Le livre <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Comment_poser_et_r%C3%A9soudre_un_probl%C3%A8me\"><em>How to solve it<\/em> <\/a>de Polya est la cons\u00e9quence d&rsquo;un enseignement bas\u00e9 sur l&rsquo;heuristique et la r\u00e9solution de probl\u00e8mes. Il promeut l&rsquo;utilisation de la r\u00e9solution de probl\u00e8mes (pour initier \u00e0 la recherche) dans l&rsquo;enseignement des maths, et d\u00e9bute par :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Les futurs enseignants passent par l&rsquo;\u00e9cole pour apprendre \u00e0 d\u00e9tester les maths.<\/p>\n\n\n\n<p>Puis ils reviennent \u00e0 l&rsquo;\u00e9cole, pour apprendre \u00e0 une nouvelle g\u00e9n\u00e9ration, \u00e0 d\u00e9tester les maths.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Pour y rem\u00e9dier, Polya propose un enseignement des math\u00e9matiques bas\u00e9 sur la r\u00e9solution de probl\u00e8mes. Cette id\u00e9e a d&rsquo;ailleurs \u00e9t\u00e9 reprise par des <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/M%C3%A9thode_de_Singapour\">didacticiens de l&rsquo;\u00eele des tigres<\/a>. Cependant, Polya n&rsquo;\u00e9voque gu\u00e8re les outils uniques comme la <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/M%C3%A9thode_de_la_fausse_position\">fausse position<\/a> ou la sch\u00e9matisation en barres. Au contraire il s&rsquo;int\u00e9resse plus \u00e0 une forme de m\u00e9ta-heuristique o\u00f9 le choix de l&rsquo;outil fait partie du processus de r\u00e9solution. Polya distingue deux sortes de probl\u00e8mes :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>les probl\u00e8mes o\u00f9 il faut prouver<\/li>\n\n\n\n<li>les probl\u00e8mes o\u00f9 il faut trouver<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Les probl\u00e8mes o\u00f9 il faut prouver sont assimilables \u00e0 la recherche d&rsquo;un chemin dans un graphe, connaissant son d\u00e9part (les donn\u00e9es) et son arriv\u00e9e. Ces probl\u00e8mes de logique, faisant appel \u00e0 des techniques telles le <a href=\"https:\/\/alainbusser.frama.io\/NSI-IREMI-974\/gentzen.html\">cha\u00eenage arri\u00e8re<\/a>, sont peu pratiqu\u00e9s en \u00e9cole \u00e9l\u00e9mentaire. Par exemple en CE 2 \u00e0 la rentr\u00e9e 2025 on propose comme crit\u00e8re de r\u00e9ussite qu&rsquo;un \u00e9l\u00e8ve sache dire que \u00ab Ce n\u2019est pas un carr\u00e9 car l\u2019un de ses angles n\u2019est pas un angle droit. Or un carr\u00e9 a ses quatre angles qui sont des angles droits. \u00bb (ce qui suppose qu&rsquo;en CE 2 on sache effectuer un raisonnement par l&rsquo;absurde mais aussi que les carr\u00e9s sont des rectangles). On se concentrera donc ci-apr\u00e8s sur les probl\u00e8mes o\u00f9 il faut trouver, dans lesquels il ne faut pas seulement trouver un chemin dans un graphe, mais aussi  \u00e9tablir s&rsquo;il en existe au moins un !<\/p>\n\n\n\n<p>Remarque : phon\u00e9tiquement, le mot <em>heuristique<\/em> \u00e9voque des mots comme <em>errer<\/em>, <em>erreur<\/em>&#8230; or en latin, <em>errare<\/em> signifie se promener (ou chercher !). Et <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/R%C3%A9tropropagation_du_gradient\">l&rsquo;algorithme de r\u00e9tropropagation du gradient<\/a> nous apprend que la vitesse d&rsquo;apprentissage est proportionnelle au nombre d&rsquo;erreurs d&rsquo;apprentissage. De fait, un facteur bloquant pour la recherche de solution \u00e0 un probl\u00e8me, est la gestion trop n\u00e9gative du statut de l&rsquo;erreur.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<p>Voici un exemple de mise en \u0153uvre de la m\u00e9thode de Polya, sur un probl\u00e8me soumis <a href=\"https:\/\/tube-cycle-2.apps.education.fr\/w\/pDA5vwpYdfDC7PLskzAu13\">en CM 2<\/a> :<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>&lt;iframe title=\"Probl\u00e8me\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/tube-cycle-2.apps.education.fr\/videos\/embed\/pDA5vwpYdfDC7PLskzAu13\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"\" sandbox=\"allow-same-origin allow-scripts allow-popups allow-forms\"&gt;&lt;\/iframe&gt;<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>Ce probl\u00e8me, de type certificat d&rsquo;\u00e9tudes, est suppos\u00e9 r\u00e9solu par la fausse position. Le plan de Polya s&rsquo;articule en 4 parties :<\/p>\n\n\n\n<p>1) <strong>Comprendre le probl\u00e8me<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Quelle est l&rsquo;inconnue ? Il y en a deux : le nombre de passagers en 1<sup>e<\/sup> classe, et le nombre de passagers en 2<sup>e<\/sup> classe.<\/li>\n\n\n\n<li>Quelles sont les donn\u00e9es ? Il y en a trois (en euros) : le prix d&rsquo;un billet de 1<sup>e<\/sup> classe, le prix d&rsquo;un billet de 2<sup>e<\/sup> classe, et la recette totale.<\/li>\n\n\n\n<li>Quelle est la condition ? Il y a en tout 145 passagers donc 145 billets toutes classes confondues) vendus.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>2) <strong>Faire un plan<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Connais-tu un probl\u00e8me similaire ? Une AI comme Mistral (voir ci-dessous) ou un coll\u00e9gien de bon niveau reconna\u00eet un probl\u00e8me du premier degr\u00e9.<\/li>\n\n\n\n<li>Regarde l&rsquo;inconnue !  Il y en a deux, mais surtout, ce sont des entiers inf\u00e9rieurs \u00e0 145 : il n&rsquo;y a que 144 essais \u00e0 faire pour trouver la solution.<\/li>\n\n\n\n<li>Voici un probl\u00e8me que tu as d\u00e9j\u00e0 r\u00e9solu avant, et qui ressemble \u00e0 celui-ci. Par exemple celui-ci, vu en CM 1 :<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Un fermier a vendu 26 moutons, les uns <code>\u00e0 112 \u20ac, les autres<\/code> \u00e0 140 \u20ac. Il a re\u00e7u en tout 3 192 \u20ac. Combien avait-il de moutons de chaque sorte ?<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Peux-tu reformuler le probl\u00e8me ? Par exemple en le racontant en vid\u00e9o comme ci-dessus&#8230;<\/li>\n\n\n\n<li>Retourne aux d\u00e9finitions (\u00e0 condition  de les conna\u00eetre : Polya n&rsquo;a jamais pr\u00e9conis\u00e9 l&rsquo;usage exclusif de la manipulation, de la classe invers\u00e9e ou de la p\u00e9dagogie explicite : des connaissances sont n\u00e9cessaires pour r\u00e9soudre des probl\u00e8mes).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>3)<strong> Appliquer le plan<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>V\u00e9rifie chaque \u00e9tape. Peux-tu prouver que chaque \u00e9tape est correcte ? <\/p>\n\n\n\n<p>On peut essayer (collectivement de pr\u00e9f\u00e9rence) toutes les possibilit\u00e9s : on choisit un nombre de passagers de premi\u00e8re classe, on en d\u00e9duit le nombre de passagers de seconde classe et on v\u00e9rifie si, pour ces donn\u00e9es, la recette totale est bien 39800 \u20ac (il a fallu grouper les \u00e9l\u00e8ves en \u00eelots et rappeler la d\u00e9finition du mot <em>recette<\/em>).  Le r\u00e9sultat, simul\u00e9 en Python, est celui-ci :<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>for p1 in range(145):\n    for p2 in range(145):\n        if p1+p2==145 and 320*p1+260*p2==39800:\n            print(p1,\"passagers de premi\u00e8re classe\")\n            print(p2,\"passagers de seconde classe\")<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p>4) <strong>G\u00e9n\u00e9raliser<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Lorsqu&rsquo;on a (enfin) fini de r\u00e9soudre un probl\u00e8me, on arrive \u00e0 un point qui semble final, mais que Polya consid\u00e8re plut\u00f4t comme initial :<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Peux-tu v\u00e9rifier le r\u00e9sultat ? En effectuant (avec <a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/?page_id=617\" data-type=\"page\" data-id=\"249\">l&rsquo;abaque de Gerbert<\/a> par exemple) les multiplications 320\u00d735 et 260\u00d7110 puis l&rsquo;addition 11200+28600 on trouve bien 39800.<\/li>\n\n\n\n<li>Peux-tu prouver le r\u00e9sultat ?  <\/li>\n\n\n\n<li>Peux-tu retrouver le r\u00e9sultat diff\u00e9remment ? quand on sait qu&rsquo;il y a 35 passagers de premi\u00e8re classe, on a plus de facilit\u00e9 \u00e0 r\u00e9inventer la m\u00e9thode de fausse position : r\u00e9soudre un probl\u00e8me, c&rsquo;est \u00eatre en position d&rsquo;en r\u00e9soudre plus facilement d&rsquo;autres :<\/li>\n\n\n\n<li>Peux-tu utiliser la solution, ou la m\u00e9thode, pour r\u00e9soudre d&rsquo;autres probl\u00e8mes ? On en revient au d\u00e9but, o\u00f9 il \u00e9tait conseill\u00e9 de chercher un autre probl\u00e8me, similaire \u00e0 celui-ci, et d\u00e9j\u00e0 r\u00e9solu.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Noter que, sur ce probl\u00e8me, des \u00e9l\u00e8ves de CM 2 ont fait (collectivement) mieux qu&rsquo;une IA g\u00e9n\u00e9rative (Mistral) dont la m\u00e9thode de r\u00e9solution est bonne , mais ayant fait une erreur de calcul :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/mistral1.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 mistral1.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-f12ddafe-7385-404f-b024-43897ad1b5e8\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/mistral1.pdf\">mistral1<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/mistral1.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-f12ddafe-7385-404f-b024-43897ad1b5e8\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<p>Le probl\u00e8me des moutons a \u00e9t\u00e9 pos\u00e9 en CM 1 (l\u00e0 aussi avec l&rsquo;abaque de Gerbert). En voici le compte-rendu :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/moutons.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 moutons.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-5facaf95-d613-4ca1-bed3-7853aaddaaab\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/moutons.pdf\">moutons<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/moutons.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-5facaf95-d613-4ca1-bed3-7853aaddaaab\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<p>Voici une proposition pour r\u00e9soudre ce probl\u00e8me avec la fausse position (qui n&rsquo;est pas le choix, rappelons-le, de Polya) :<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Supposons dans un premier temps qu&rsquo;il n&rsquo;y ait que des moutons \u00e0 112\u20ac. Il y a donc 26 moutons (le total) \u00e0 112\u20ac, et la recette totale serait alors 26\u00d7112\u20ac = 2912 . C&rsquo;est moins que 3192\u20ac (on s&rsquo;en doutait un peu). Il manque 3192\u20ac &#8211; 2912\u20ac = 280\u20ac..<\/p>\n\n\n\n<p>On propose alors de remplacer un mouton \u00e0 112\u20ac par un mouton \u00e0 140\u20ac jusqu&rsquo;\u00e0 ce que la recette soit de 3192\u20ac. Chaque \u00e9change a pour effet d&rsquo;augmenter la recette de 140\u20ac-112\u20ac = 28\u20ac.<\/p>\n\n\n\n<p>La question est donc de savoir combien de fois on peut caser 28\u20ac dans 280\u20ac (il s&rsquo;agit d&rsquo;une division quotition). On trouve 280\u20ac\/28\u20ac = 10 : il y a 10 moutons \u00e0 140\u20ac, donc 26 moutons &#8211; 10 moutons = 16 moutons \u00e0 112\u20ac.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>La fausse position est parfois qualifi\u00e9e d&rsquo;alg\u00e8bre du pauvre (on n&rsquo;a pas besoin de x et y pour r\u00e9soudre le probl\u00e8me). Comme on l&rsquo;a vu ci-avant, les IA pr\u00e9f\u00e8rent l&rsquo;alg\u00e8bre (du riche), mais tendent \u00e0 se tromper dans les calculs, comme on peut le voir avec <a href=\"http:\/\/revue.sesamath.net\/spip.php?article1698\">le probl\u00e8me 52 d&rsquo;Alcuin<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Les unit\u00e9s<\/h2>\n\n\n\n<p>Polya donne des dizaines d&rsquo;exemples dans son livre, voici un exemple d&rsquo;exemple : l&rsquo;analyse dimensionnelle :<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/unites.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Contenu embarqu\u00e9 unit\u00e9s.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-f3250fc0-39ee-4031-97ce-599afc9b55d1\" href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/unites.pdf\">unit\u00e9s<\/a><a href=\"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/unites.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-f3250fc0-39ee-4031-97ce-599afc9b55d1\">T\u00e9l\u00e9charger<\/a><\/div>\n\n\n\n<p>Raisonner sur les unit\u00e9s aide \u00e0 d\u00e9tecter des erreurs de calcul, mais aussi \u00e0 deviner la forme du r\u00e9sultat (et \u00e0 se souvenir des formules de g\u00e9om\u00e9trie), \u00e0 mieux apprendre les fractions, les d\u00e9cimaux et le calcul formel&#8230;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Le math\u00e9maticien George Polya s&rsquo;est illustr\u00e9 dans plusieurs domaines des math\u00e9matiques, mais l&rsquo;un d&rsquo;entre eux est les probabilit\u00e9s, ce qui a amen\u00e9 Polya \u00e0 des recherches sur le raisonnement plausible. Polya a mod\u00e9lis\u00e9 (par les probabilit\u00e9s) le raisonnement inductif. Celui-ci est de peu d&rsquo;utilit\u00e9 dans les d\u00e9monstrations math\u00e9matiques, comme l&rsquo;illustre l&rsquo;exemple de Fermat : Ce [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":1121,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,8],"tags":[89,29,30,31,90,62,32,52],"coauthors":[54],"class_list":["post-1097","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-continuum-des-apprentissages","category-probabilites","tag-bts","tag-cycle-2","tag-cycle-3","tag-cycle-4","tag-heuristique","tag-logique","tag-lycee","tag-resolution-de-problemes"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1097","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=1097"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1097\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1124,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1097\/revisions\/1124"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/1121"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=1097"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=1097"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=1097"},{"taxonomy":"author","embeddable":true,"href":"https:\/\/iremi.univ-reunion.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcoauthors&post=1097"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}