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\author{Alain Busser}
\title{Vocabulaire}
\begin{document}
\begin{center}
\begin{Huge}\textsc{Vocabulaire des mathématiques}\end{Huge}
\end{center}
\section{Nombres}
\subsection{Entiers}

On dit qu'un nombre est \emph{entier} si son écriture décimale ne comprend aucun chiffre après la virgule (autrement dit, si on peut l'écrire sans virgule).

\subsection{Réels}

\subsubsection{Approximation décimale}

Comme exemple de réel, on considère le nombre noté $e \approx 2,718282$ (approximation à $10^{-6}$ près).

Un nombre \emph{décimal} est un réel dont l'écriture décimale ne comporte qu'un nombre fini de chiffres. Par exemple 2,5 est décimal (il n'a qu'une décimale) alors que $\dfrac{1}{6}$ ne l'est pas (son écriture décimale comporte une infinité de chiffres 1,166666...).

La \emph{troncature} (ou arrondi \emph{par défaut}) d'un réel à $10^{-n}$ près est le plus grand décimal ayant $n$ décimales et inférieur ou égal à ce réel. Par exemple l'arrondi par défaut à $10^{-2}$ près de $e$ est 2,71.

L'arrondi \emph{par excès} d'un réel à $10^{-n}$ près est le plus petit décimal ayant $n$ décimales et supérieur à ce réel. Par exemple l'arrondi par excès de $e$ à 0,01 près est 2,72.

L'\emph{arrondi} d'un réel à $10^{-n}$ près est le décimal ayant $n$ décimales, le plus proche de ce réel. Par exemple l'arrondi de $e$ à $10^{-2}$ près est 2,72.

Une convention internationale veut que l'arrondi de 2,15 à $10^{-1}$ près est 2,2 et non 2,1 (on arrondit par excès si on ne sait pas comment choisir).

\subsubsection{Relations d'ordre}

Le contraire de $x>a$ ($x$ vaut plus que $a$) est $x \leqslant a$ ($x$ vaut au plus $a$).

Le contraire de $x \geqslant a$ ($x$ vaut au moins $a$) est $x<a$ ($x$ vaut moins que $a$).

L'\emph{intervalle} $[a;b]$ est constitué des réels $x$ qui sont compris entre $a$ et $b$ ($a \leqslant x \leqslant b$). L'intervalle $[m-h;m+h]$ est dit \emph{centré} sur $m$.

\section{Algèbre}

\subsection{Variables}

Une \emph{variable} est dotée d'un nom (comme «$x$») et d'une valeur numérique. Pour dire que la variable (de nom) $x$ a pour valeur 2, on écrit $x=2$.

Si la variable (de nom) $x$ ne prend que des valeurs entières, on note $x \in \mathbb{N}$. Si elle ne prend que des valeurs numériques on note $x \in \mathbb{R}$.

On note que $\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[$ est un intervalle.

\subsection{Expressions}

Les nombres sont des expressions, mais les variables aussi sont des expressions. Mais pas que ...

\subsubsection{Opérations}

La \emph{somme} de deux expressions est une expression. La différence entre deux expressions est une expression. Dans ces deux cas, les deux expressions sont appelées \emph{termes} de la somme.

Le \emph{produit} de deux expressions est une expression. Les deux expressions sont alors appelées les \textbf{facteur}s du produit.

Le \emph{quotient} de deux expressions est une expression.

\subsubsection{Équations et inéquations}

On obtient une \emph{équation} en écrivant le symbole d'égalité entre deux expressions comportant une variable. Dans ce cas la variable s'appelle \emph{inconnue} de l'équation.

\emph{Résoudre} une équation, c'est trouver toutes les valeurs à donner à l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie.

Une \emph{inéquation} est l'écriture d'une inégalité entre expressions possédant au moins une variable.

\section{Fonctions}

\subsection{Définition}

Une \emph{fonction} d'une variable $x$ est une variable $y$ dont la valeur dépend d'une manière univoque, de celle de $x$. Si on nomme $f$ la fonction, la valeur de $y$ lorsque $x=3$ se note $f(3)$ ou $f \; 3$. On dit que $f(3)$ est l'\emph{image} de 3 par $f$.

Si $E$ est une expression et $f$ une fonction, alors $f(E)$ est aussi une expression.

\emph{Modéliser} une fonction, c'est trouver une expression donnant la valeur de $y$ pour toute valeur de $x$, au moins approximativement.

Si $y=f(x)$ équivaut à $x=g(y)$ alors les fonctions $f$ et $g$ sont dites \emph{réciproque}s l'une de l'autre.

\subsection{Exemples}

\subsubsection{Fonctions numériques}

Une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est dite \emph{numérique}.

Une fonction numérique $f$ est \emph{affine} s'il y a deux réels $a$ et $b$ (les \emph{coefficients} de la fonction) tels que pour toute valeur de $x$, $f(x)=a\times x + b$.

Une fonction $u$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ s'appelle une \textit{suite}, et on note $u_{n}$ le nombre $u(n)$; on l'appelle \emph{terme} de rang $n$ de la suite.

Lorsque le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ de deux termes successifs de la suite, ne dépend pas de la valeur de $n$, on dit que la suite est \emph{géométrique}.

\subsubsection{Statistiques}

Une fonction qui, à une liste de nombres, associe un nombre, s'appelle une \emph{statistique} sur la liste de nombres. Exemples: La moyenne, l'écart-type, etc.

\subsubsection{Probabilités}

Une probabilité est une fonction qui, à un événement, associe un nombre compris entre 0 et 1, mesurant les chances que l'événement a de se produire. On note $p$ ou $\mathbb{P}$ une probabilité.

\subsubsection{Calcul différentiel et intégral}

La dérivation est une fonction qui, à une fonction $f$ (dérivable), associe une autre fonction (sa dérivée). On note $f'$ la dérivée de $f$.

La « réciproque » de la dérivation s'appelle intégration (ou recherche de primitive) mais ce n'est pas une fonction.


\end{document}