\documentclass[12pt,a4paper,portrait,notitlepage]{report}
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\author{Alain Busser\\IREMI 974}
\usepackage{tikz}
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\tikzset{
v/.style={initial text={\tikz{\node[draw,fill,color=green] {};}},
circle,draw,ultra thick,minimum width=1.4cm},
a/.style={rectangle,draw,ultra thick,minimum width=1.4cm,minimum height=1.4cm},
rouge/.style={->,>=stealth',ultra thick,color=red},
bleu/.style={->,>=stealth',ultra thick,color=blue},
arc/.style={->,>=stealth',ultra thick}
}

\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}

\begin{center}
\textbf{Exemple de multiplication selon Conway}
\end{center}

\Large

On considère deux jeux

\begin{center}
$x = $
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (a) at (-0.5,1) {};
\node[v] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\draw[bleu] (a) to (b);
\draw[rouge] (a) to (c);
\end{tikzpicture}
\end{center}

(il s'agit du jeu que Conway notait $\frac{\uparrow}{2}$)

et

\begin{center}
$y = $
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (o) at (0,4) {};
\node[v] (b) at (1,4) {};
\node[v,accepting] (b0) at (0,3) {};
\node[v] (b1) at (1,3) {};
\node[v] (b2) at (2,3) {};
\draw[rouge] (b1) to (b0);
\draw[rouge] (b2) to (b1);
\draw[bleu] (b) to (b0);
\draw[rouge] (b) to (b2);
\draw[bleu] (o) to (b0);
\draw[rouge] (o) to (b);
\end{tikzpicture}
\end{center}

(il s'agit du jeu que Conway notait $+_{2}$)

Une formule de Conway permet de calculer

$$\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (a) at (-0.5,1) {};
\node[v] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\draw[bleu] (a) to (b);
\draw[rouge] (a) to (c);
\end{tikzpicture}
 \times \begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (o) at (0,4) {};
\node[v] (b) at (1,4) {};
\node[v,accepting] (b0) at (0,3) {};
\node[v] (b1) at (1,3) {};
\node[v] (b2) at (2,3) {};
\draw[rouge] (b1) to (b0);
\draw[rouge] (b2) to (b1);
\draw[bleu] (b) to (b0);
\draw[rouge] (b) to (b2);
\draw[bleu] (o) to (b0);
\draw[rouge] (o) to (b);
\end{tikzpicture}
$$

Pour ce faire, Conway définit 4 nouveaux jeux qui sont les options des b\textbf{L}eus et des \textbf{R}ouges dans les deux facteurs. Le premier facteur définit~:


\begin{center}
$x^{L} = $
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
et $x^{R} = $
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v,initial] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\end{tikzpicture}
\end{center}

alors que le second facteur définit

\begin{center}
$y^{L} = $
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v] (b) at (1,4) {};
\node[v,initial,accepting] (b0) at (0,3) {};
\node[v] (b1) at (1,3) {};
\node[v] (b2) at (2,3) {};
\draw[rouge] (b1) to (b0);
\draw[rouge] (b2) to (b1);
\draw[bleu] (b) to (b0);
\draw[rouge] (b) to (b2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

et

\begin{center}
$y^{R} = $
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (b) at (1,4) {};
\node[v,accepting] (b0) at (0,3) {};
\node[v] (b1) at (1,3) {};
\node[v] (b2) at (2,3) {};
\draw[rouge] (b1) to (b0);
\draw[rouge] (b2) to (b1);
\draw[bleu] (b) to (b0);
\draw[rouge] (b) to (b2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

La définition de la multiplication par Conway est récursive puisqu'elle fait intervenir des produits des 6 jeux ci-dessus, mais comme les jeux $x^{L}$, $x^{R}$, $y^{L}$ et $y^{R}$ sont plus petits que $x$ et $y$, la récursivité «~marche~». La définition étant complexe, on va simplifier les 4 nouveaux jeux~:


\begin{center}
$x^{L} = $
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\end{tikzpicture}
=
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\end{tikzpicture}
\end{center}

(c'est le jeu noté $\uparrow \uparrow *$ par Conway)

\begin{center}
$x^{R} = $
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v,initial] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\end{tikzpicture}
=
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v,initial] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\end{tikzpicture}
\end{center}

(c'est le jeu noté $\downarrow *$ par Conway)

\begin{center}
$y^{L} = $
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v] (b) at (1,4) {};
\node[v,initial,accepting] (b0) at (0,3) {};
\node[v] (b1) at (1,3) {};
\node[v] (b2) at (2,3) {};
\draw[rouge] (b1) to (b0);
\draw[rouge] (b2) to (b1);
\draw[bleu] (b) to (b0);
\draw[rouge] (b) to (b2);
\end{tikzpicture}
=
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial,accepting] (b0) at (0,3) {};
\end{tikzpicture}
\end{center}

(c'est le jeu zéro)

$y^{R}$ n'est pas simplifiable.

\section{Options des bleus}

\subsection{Première option}

\subsubsection{Premier terme}

\begin{center}
$x^{L}\times y =$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\end{tikzpicture}
$\times$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (o) at (0,4) {};
\node[v] (b) at (1,4) {};
\node[v,accepting] (b0) at (0,3) {};
\node[v] (b1) at (1,3) {};
\node[v] (b2) at (2,3) {};
\draw[rouge] (b1) to (b0);
\draw[rouge] (b2) to (b1);
\draw[bleu] (b) to (b0);
\draw[rouge] (b) to (b2);
\draw[bleu] (o) to (b0);
\draw[rouge] (o) to (b);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsubsection{Second terme}

\begin{center}
$x\times y^{L} =$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (a) at (-0.5,1) {};
\node[v] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\draw[bleu] (a) to (b);
\draw[rouge] (a) to (c);
\end{tikzpicture}
$\times$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial,accepting] (b0) at (0,3) {};
\end{tikzpicture}

=
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial,accepting] (b0) at (0,3) {};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsubsection{Troisième terme}

\begin{center}
$x^{L}\times y^{L} =$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\end{tikzpicture}
$\times$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial,accepting] (b0) at (0,3) {};
\end{tikzpicture}

=
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial,accepting] (b0) at (0,3) {};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ce terme ne doit pas être additionné aux deux autres, mais soustrait. Mais comme il est son propre opposé, son calcul est terminé.

\subsection{Seconde option}

\subsubsection{Premier terme}

\begin{center}
$x^{R}\times y =$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v,initial] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\end{tikzpicture}
$\times$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (o) at (0,4) {};
\node[v] (b) at (1,4) {};
\node[v,accepting] (b0) at (0,3) {};
\node[v] (b1) at (1,3) {};
\node[v] (b2) at (2,3) {};
\draw[rouge] (b1) to (b0);
\draw[rouge] (b2) to (b1);
\draw[bleu] (b) to (b0);
\draw[rouge] (b) to (b2);
\draw[bleu] (o) to (b0);
\draw[rouge] (o) to (b);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsubsection{Second terme}

\begin{center}
$x \times y^{R} =$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (a) at (-0.5,1) {};
\node[v] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\draw[bleu] (a) to (b);
\draw[rouge] (a) to (c);
\end{tikzpicture}
$\times$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (b) at (1,4) {};
\node[v,accepting] (b0) at (0,3) {};
\node[v] (b1) at (1,3) {};
\node[v] (b2) at (2,3) {};
\draw[rouge] (b1) to (b0);
\draw[rouge] (b2) to (b1);
\draw[bleu] (b) to (b0);
\draw[rouge] (b) to (b2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsubsection{Troisième terme}

\begin{center}
$x^{R}\times y^{R} =$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v,initial] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\end{tikzpicture}
$\times$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (b) at (1,4) {};
\node[v,accepting] (b0) at (0,3) {};
\node[v] (b1) at (1,3) {};
\node[v] (b2) at (2,3) {};
\draw[rouge] (b1) to (b0);
\draw[rouge] (b2) to (b1);
\draw[bleu] (b) to (b0);
\draw[rouge] (b) to (b2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ce terme ne doit pas être additionné aux deux autres, mais soustrait.

\section{Options des rouges}

\subsection{Première option}

\subsubsection{Premier terme}

\begin{center}
$x^{L}\times y =$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\end{tikzpicture}
$\times$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (o) at (0,4) {};
\node[v] (b) at (1,4) {};
\node[v,accepting] (b0) at (0,3) {};
\node[v] (b1) at (1,3) {};
\node[v] (b2) at (2,3) {};
\draw[rouge] (b1) to (b0);
\draw[rouge] (b2) to (b1);
\draw[bleu] (b) to (b0);
\draw[rouge] (b) to (b2);
\draw[bleu] (o) to (b0);
\draw[rouge] (o) to (b);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsubsection{Second terme}

\begin{center}
$x \times y^{R} =$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (a) at (-0.5,1) {};
\node[v] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\draw[bleu] (a) to (b);
\draw[rouge] (a) to (c);
\end{tikzpicture}
$\times$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (b) at (1,4) {};
\node[v,accepting] (b0) at (0,3) {};
\node[v] (b1) at (1,3) {};
\node[v] (b2) at (2,3) {};
\draw[rouge] (b1) to (b0);
\draw[rouge] (b2) to (b1);
\draw[bleu] (b) to (b0);
\draw[rouge] (b) to (b2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsubsection{Troisième terme}

\begin{center}
$x^{L}\times y^{R} =$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\end{tikzpicture}
$\times$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (b) at (1,4) {};
\node[v,accepting] (b0) at (0,3) {};
\node[v] (b1) at (1,3) {};
\node[v] (b2) at (2,3) {};
\draw[rouge] (b1) to (b0);
\draw[rouge] (b2) to (b1);
\draw[bleu] (b) to (b0);
\draw[rouge] (b) to (b2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ce terme ne doit pas être additionné aux deux autres, mais soustrait.

\subsection{Seconde option}

\subsubsection{Premier terme}

\begin{center}
$x^{R}\times y =$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v,initial] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\end{tikzpicture}
$\times$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (o) at (0,4) {};
\node[v] (b) at (1,4) {};
\node[v,accepting] (b0) at (0,3) {};
\node[v] (b1) at (1,3) {};
\node[v] (b2) at (2,3) {};
\draw[rouge] (b1) to (b0);
\draw[rouge] (b2) to (b1);
\draw[bleu] (b) to (b0);
\draw[rouge] (b) to (b2);
\draw[bleu] (o) to (b0);
\draw[rouge] (o) to (b);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsubsection{Second terme}

\begin{center}
$x\times y^{L} =$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (a) at (-0.5,1) {};
\node[v] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\draw[bleu] (a) to (b);
\draw[rouge] (a) to (c);
\end{tikzpicture}
$\times$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial,accepting] (b0) at (0,3) {};
\end{tikzpicture}

=
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial,accepting] (b0) at (0,3) {};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsubsection{Troisième terme}

\begin{center}
$x^{R}\times y^{L} =$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v,initial] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\end{tikzpicture}
$\times$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial,accepting] (b0) at (0,3) {};
\end{tikzpicture}

=
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial,accepting] (b0) at (0,3) {};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\section{Exemples}

\subsection{moitié de l'étoile}

La fraction $x=\frac{1}{2}$ a pour propriété intéressante que $x^{L}=0$ et $x^{R}=1$~: il est facile de multiplier par 0 ou par 1. Pour multiplier un jeu $y$ par $\frac{1}{2}$ on a donc les options suivantes~:

\subsubsection{Pour les bleus}

Les bleus ont ces deux options~:

\begin{itemize}
\item $x^{L}\times y + x \times y^{L} - x^{L} \times y^{L} = 0 + \frac{1}{2} \times y^{L} - 0 = \frac{1}{2} \times y^{L}$
\item $x^{R} \times y + x \times y^{R} - x^{R} \times y^{R} = y + \frac{1}{2} \times y^{R} - y^{R}$
\end{itemize} 

\subsubsection{Pour les rouges}

Les rouges ont ces deux options~:

\begin{itemize}
\item $x^{L}\times y + x \times y^{R} - x^{L} \times y^{R} = 0 + \frac{1}{2} \times y^{R} -0 = \frac{1}{2} \times y^{R}$
\item $x^{R} \times y + x \times y^{L} - x^{R} \times y^{L} = y + \frac{1}{2} \times y^{L} - y^{L}$
\end{itemize}

Par exemple pour multiplier $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ on remplace $y^{L}$ par 0 et $y^{R}$ par 1 ci-dessus, ce qui donne les options $\frac{1}{2} \times 0 = 0$ et $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times 1 - 1 = 0$ pour les bleus, et $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times 0 - 0 = \frac{1}{2}$ pour les rouges. Le produit de $\frac{1}{2}$ par lui-même est le nombre le plus simple compris entre $0$ et $\frac{1}{2}$, soit $\frac{1}{4}$.

Qu'obtient-on maintenant si on veut multiplier $\frac{1}{2}$ par l'étoile~? Avec $y=*$, on a $y^{L}=y^{R}=0$ donc

\begin{itemize}
\item les bleus ont pour options $\frac{1}{2} \times 0 = 0$ et $* + \frac{1}{2} \times 0 - 0 = *$
\item les rouges ont pour options $\frac{1}{2} \times 0 = 0$ et $* + \frac{1}{2} \times 0 - 0 = *$
\end{itemize}

Le produit est donc le jeu de Nim à deux jetons, chaque joueur ayant pour options d'enlever un seul des deux jetons, ou d'enlever les deux jetons d'un coup. On a donc

$$\frac{1}{2} \times * = *2$$

Cet exemple révèle que la multiplication n'est pas distributive par rapport à l'addition~: si elle l'était, on aurait $\frac{1}{2} * + \frac{1}{2} * = \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \right) * = 1 \times * = *$. Or $\frac{1}{2} * + \frac{1}{2} * = *2 + *2 = 0$.

On constate au passage l'existence de diviseurs de zéro.

Le premier jeu de cet article est noté $\frac{\uparrow}{2}$ par Conway~:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (a) at (-0.5,1) {};
\node[v] (b) at (0.5,1) {};
\node[v,accepting] (o) at (0,0) {};
\node[v] (d) at (1,0) {};
\node[v] (e) at (0,-1) {};
\node[v] (c) at (-1,0) {};
\draw[bleu,bend left=15] (c) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (c) to (o);
\draw[bleu] (d) to (o);
\draw[rouge] (d) to (e);
\draw[bleu,bend left=15] (e) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (e) to (o);
\draw[rouge] (c) to (e);
\draw[rouge] (b) to (d);
\draw[bleu] (b) to (o);
\draw[bleu] (a) to (b);
\draw[rouge] (a) to (c);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Il est intéressant de comparer ce jeu avec le produit de $x = \frac{1}{2}$ par $y = \uparrow$ pour lequel on a $y^{L} = 0$ et $y^{R} = *$. Dans le produit,

\begin{itemize}
\item les bleus ont pour options $\frac{1}{2} \times 0 = 0$ et $\uparrow + \frac{1}{2} \times * - * = \uparrow + *2 + * = \uparrow + *3$ noté $\uparrow *3$,
\item les rouges ont pour options $\frac{1}{2} \times * = *2$ et $\uparrow + \frac{1}{2} \times 0 - 0 = \uparrow$
\end{itemize}

Comme chaque joueur choisit l'option qui est la meilleure de son point de vue, le produit est donc le jeu dans lequel l'option des bleus est  $\uparrow *3$ et celle des rouges est $*2$. Ce n'est pas le graphe $\frac{\uparrow}{2}$.

\subsection{multiplication par l'étoile}

Si $x=*$, $x^{L}=x^{R}=0$. Donc dans le produit $* \times y$, on a les options suivantes~:

\subsubsection{Pour les bleus}

Les bleus ont ces deux options~:


\begin{itemize}
\item $x^{L}\times y + x \times y^{L} - x^{L} \times y^{L} =0 + * \times y^{L} - 0 = * \times y^{L}$
\item $x^{R} \times y + x \times y^{R} - x^{R} \times y^{R} =0 + * \times y^{R} - 0 = * \times y^{R}$
\end{itemize}



\subsubsection{Pour les rouges}

Les rouges ont ces deux options~:

\begin{itemize}
\item $x^{L}\times y + x \times y^{R} - x^{L} \times y^{R} =0 + * \times y^{R} - 0 = * \times y^{R}$
\item $x^{R} \times y + x \times y^{L} - x^{R} \times y^{L} = 0 + * \times y^{L} - 0 = * \times y^{L}$
\end{itemize}

On constate que les bleus et les rouges ont les mêmes options~: le produit d'un jeu par l'étoile tend à être plus équitable que ce jeu.

Les options des bleus comme celles des rouges sont $* \times y^{L}$ et $* \times y^{R}$. Par exemple si $y=*$, on a $y^{L}=y^{R}=0$ donc les options des bleus sont $*\times 0 = 0$ et $*\times 0 = 0$, les rouges ayant même(s) option(s). On reconnaît là l'étoile ce qui signifie que

$$* \times * = *$$

Un produit intéressant à examiner est $* \times \uparrow$. Alors puisque $y=\uparrow$, on a $y^{L}=0$ et $y^{R}=*$. En effectuant les remplacements dans les formules vues plus haut pour le produit par l'étoile, on voit, pour les bleus comme pour les rouges

\begin{itemize}
\item l'option $* \times 0 = 0$
\item l'option $* \times * = *$
\end{itemize}

On reconnaît là le jeu $*2$. Ainsi

$$* \times \uparrow = *2$$

On remarque qu'en multipliant l'étoile par $\uparrow$ qui est un infiniment petit positif, on obtient le même produit qu'en multipliant l'étoile par $\frac{1}{2}$. 

On en déduit un autre phénomène surprenant concernant la multiplication des infinitésimaux~: 

\begin{itemize}
\item $* \times \left( * \times \uparrow \right) = * \times *2 = *3$ (jeu de Nim à trois jetons)
\item $\left( * \times * \right) \times \uparrow = * \times \uparrow = *2$ (jeu de Nim à deux jetons)
\end{itemize}

La multiplication n'est donc pas associative~!

\subsection{Puissances de $\uparrow$}

Pour multiplier un jeu par $x=\uparrow$, on tient compte du fait que $x^{L}=0$ et $x^{R}=*$. Alors, dans le produit, on a les options suivantes~:

\subsubsection{Pour les bleus}

Les bleus ont ces deux options~:

\begin{itemize}
\item $x^{L}\times y + x \times y^{L} - x^{L} \times y^{L} = 0 + \uparrow \times y^{L} - 0 = \uparrow \times y^{L}$
\item $x^{R} \times y + x \times y^{R} - x^{R} \times y^{R} = * \times y + \uparrow \times y^{R} - * \times y^{R}$
\end{itemize}

\subsubsection{Pour les rouges}

Les rouges ont ces deux options~:

\begin{itemize}
\item $x^{L}\times y + x \times y^{R} - x^{L} \times y^{R} = 0 + \uparrow \times y^{R} -0 = \uparrow \times y^{R}$
\item $x^{R} \times y + x \times y^{L} - x^{R} \times y^{L} = * \times y + \uparrow \times y^{L} - * \times y^{L} = * \times y + \uparrow \times y^{L} + * \times y^{L}$
\end{itemize}

(la dernière simplification vient de ce que l'étoile est son propre opposé)

Dans le cas où $y=\uparrow$, on remplace $y^{L}$ par 0 et $y^{R}$ par l'étoile, ce qui donne

\begin{itemize}
\item pour les bleus, l'option $\uparrow \times 0 = 0$ et l'option $* \times \uparrow + \uparrow \times * - * \times * = *2 + *2 + * = *$
\item pour les rouges, l'option $\uparrow \times * = *2$ et l'option $* \times \uparrow + \uparrow \times 0 + * \times 0 = *2$ également
\end{itemize}

Il s'agit d'un jeu déjà vu plus haut, noté $\uparrow *3$ (somme de $\uparrow$ et d'un jeu de Nim a trois jetons).

Ce jeu peut être simplifié~: comme les bleus essayent de gagner, l'option $*$ ne leur est d'aucun intérêt et c'est comme s'ils n'avaient que l'option qui est la meilleure pour eux, à savoir 0.

Le produit de $\uparrow$ par lui-même est donc le jeu

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v,initial] (o) at (0,1) {};
\node[v] (a) at (-1,0) {}; 
\node[v] (b) at (0,0) {}; 
\node[v,accepting] (c) at (1,0) {}; 
\draw[bleu, bend left] (o) to (c);
\draw[rouge, bend right] (o) to (a);
\draw[bleu, bend left=15] (a) to (b);
\draw[rouge, bend right=15] (a) to (b);
\draw[bleu, bend left=15] (b) to (c);
\draw[rouge, bend right=15] (b) to (c);
\draw[bleu, bend left=45] (a) to (c);
\draw[rouge, bend right=45] (a) to (c);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ce n'est pas le même jeu que celui que Conway notait $\uparrow^2$ et qui est~:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v] (a) at (-1,1) {};
\node[v] (b) at (1,1) {};
\node[v,accepting] (c) at (0,0) {};
\node[v,initial] (d) at (-2,0) {};
\draw[rouge] (a) to (b);
\draw[bleu,bend left=15] (a) to (c);
\draw[rouge,bend right=15] (a) to (c);
\draw[bleu,bend left=15] (b) to (c);
\draw[rouge,bend right=15] (b) to (c);
\draw[bleu] (d) to (c);
\draw[rouge] (d) to (a);
\end{tikzpicture}
\end{center}


Ainsi $\uparrow \times \uparrow \neq \uparrow^2$. On va de surprise en surprise dans l'infiniment petit. 

Il est difficile de faire de l'analyse non standard parce que $\uparrow *3$ est du même ordre de grandeur que $\uparrow$ (les deux infinitésimaux positifs ont la même masse atomique 1). Alors que $\uparrow^2$ est infiniment petit par rapport à $\uparrow$.

\section{Résumé}

La multiplication de Conway coïncide avec la multiplication ordinaire lorsque les facteurs sont des nombres.

Elle donne à l'ensemble des nimbers une structure de corps de caractéristique 2 (par exemple $* \times * = *$, $* \times *2 = *3$, $* \times *3=*2$, $*2 \times *3=*$...).

Mais par contre, dans l'infiniment petit

\begin{itemize}
\item elle n'est pas associative,
\item elle n'est pas distributive par rapport à l'addition,
\item il y a des diviseurs de zéro, c'est-à-dire qu'il existe des jeux non nuls dont le produit est nul...
\end{itemize}

Le produit $\uparrow \times +_{1} = \uparrow$ interpelle aussi~:


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.4]
\node[v,accepting] (o) at (2,0) {};
\node[v,initial] (a) at (1,1) {}; 
\node[v] (b) at (0,0) {}; 
\draw[bleu] (a) to (o);
\draw[rouge] (a) to (b);
\draw[bleu,bend left=15] (b) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (b) to (o);
\end{tikzpicture}
$\times$
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node[v] (a) at (0.5,6) {};
\node[v,accepting] (a0) at (0,5) {};
\node[v] (a1) at (1,5) {};
\draw[rouge] (a1) to (a0);
\draw[bleu] (a) to (a0);
\draw[rouge] (a) to (a1);
\node[v,initial] (n) at (-0.5,6) {};
\draw[bleu] (n) to (a0);
\draw[rouge] (n) to (a);
\end{tikzpicture}
=
\begin{tikzpicture}[scale=1.4]
\node[v,accepting] (o) at (2,0) {};
\node[v,initial] (a) at (1,1) {}; 
\node[v] (b) at (0,0) {}; 
\draw[bleu] (a) to (o);
\draw[rouge] (a) to (b);
\draw[bleu,bend left=15] (b) to (o);
\draw[rouge,bend right=15] (b) to (o);
\end{tikzpicture}
\end{center}


\vfill
\hfill IREMI 974

\hfill avril 2023



\end{document}


