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  \pgfmathparse{(#1^x)*exp(-#1)/(x!)}%
}
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\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{\textbullet}
\setlength\parindent{0mm}


\begin{center} 
\tikzstyle{cadre}=[very thick, rectangle, rounded corners, draw=black, top color=yellow!10, bottom color=yellow!20!gray]
\begin{tikzpicture}
\node [cadre]{%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	\begin{center}
	\Large {Brevet de Technicien\\ Supérieur\\
	\textbf{Groupement D1}}
	\end{center}
	\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\textsc{\textbf{Mathématiques} \\ \rule{4cm}{0.5pt} \vspace{10mm} \\ Session 2023}\\
\vspace{10mm}
Durée: 2 heures\\
\vspace{20mm}
\textsc{
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
Spécialités & Coeff \\ 
\hline
Analyses de biologie médicale  & 1 \\ \hline 
Bio analyses et contrôles   & 2 \\ \hline 
Biotechnologies   & 1 \\ \hline 
europlastics et composites & 1,5 \\ \hline 
Bioqualité & 2 \\ \hline 
\end{tabular} 
}
\end{center}
\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\tikzstyle{mybox} = [draw=black, fill=yellow!10, very thick,
    rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt]
\tikzstyle{fancytitle} =[fill=black!90, text=white, very thick, rounded corners, draw=black, rectangle]
%
\begin{tikzpicture}
\node [mybox] (box) {%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. \\
	L'usage de la calculatrice sans mémoire «~type collège~» est autorisé.
    \end{minipage}
    };
\node[fancytitle] at (box.north) {Moyens de calcul autorisés};
\end{tikzpicture}
%
\vfill

Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6.

\end{center}

\newpage
\begin{Large}
\textbf{EXERCICE 1 (10 points)}
\end{Large}

\emph{Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées indépendamment.}

Afin de vérifier la bonne isolation thermique d'un spa, on porte la température de l'eau du spa à 38~°C puis on coupe l'alimentation électrique du spa qui sert à chauffer l'eau. On s'intéresse à l'évolution de cette température en fonction du temps écoulé à partir de cette coupure.

La température de l'eau du spa est modélisée par une fonction $f$ qui, à tout temps $t$ (en heures) écoulé depuis la coupure de l'alimentation électrique, associe la température $f(t)$, en degrés Celsius (°C), de l'eau du spa au temps $t$. On admet que $f(0)=38$.

Lors de cette vérification, la température ambiante extérieure au spa reste constante et égale à 25~°C. On remarque que la température de l'eau du spa est de 37~°C au bout de 1,5~h.

\begin{enumerate}
\item $\quad$\\

On admet que la fonction $f$ est la solution sur l'\iv{} $\left[ 0;+\infty\right[$ de l'\ode{} $(E)$ d'inconnue $y$ de la variable réelle $t$~: $y'+0,05y = 1,25$ et qui vérifie la condition $f(0)=38$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'\ode{} $y'+ 0,05y = 0$ sur l'\iv{} $\left[ 0;+\infty\right[$.

\item Déterminer sur l'\iv{} $\left[ 0;+\infty\right[$ une fonction constante solution particulière de l'\ode{} $(E)$.

\item En déduire les solutions de l'\ode{} $(E)$~: $y'+0,05y = 1,25$.

\item Montrer que, pour tout réel $t$ de l'\iv{} $\left[ 0;+\infty\right[$, $f(t) = 13 \e^{-0,05 t}+25$. 
\end{enumerate}

\item $\quad$\\

On admet que, pour tout réel $t$ de l'\iv{} $\left[ 0;+\infty\right[$, $f(t) = 13 \e^{-0,05 t}+25$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur arrondie à $10^{-1}$ de $f(24)$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $t$ de l'\iv{} $\left[ 0;+\infty\right[$, déterminer une expression de $f'(t)$.

\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'\iv{} $\left[ 0;+\infty\right[$. Ce sens de variation paraît-il cohérent avec le contexte de l'exercice~? Argumenter.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

\item Interpréter la valeur de cette limite dans le contexte de l'exercice.

\end{enumerate}


\newpage
\item Une alarme sonore est émise quand la température de l'eau du spa devient strictement inférieure à une température programmée par l'utilisateur.

\begin{enumerate}
\item L'utilisateur programme la température de l'eau du spa à 36~°C. Déterminer, par le calcul, combien de temps après la coupure de l'alimentation électrique cette alarme sonore retentira. 

On donnera la valeur exacte de cette durée, puis la valeur arrondie à la minute.

\item Quelle est la valeur numérique affichée par l'algorithme ci-dessous~?

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[draw] at (0,0) {\begin{minipage}{0.4\textwidth}
$H$ $\leftarrow$ 0\\
$T$ $\leftarrow$ 38\\
Tant que $T \geqslant \np{34}$\\
$\color{white} ---\color{black}$ $H$ $\leftarrow$ $H+1$\\
$\color{white} ---\color{black}$ $T$ $\leftarrow$ $13 \e^{-0,05 H} + 25$\\
Fin du tant que\\
Afficher $H$
\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\item Expliquer ce que cet algorithme permet de déterminer dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{Large}
\textbf{EXERCICE 2 (10 points)}
\end{Large}

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

Une minoterie (établissement qui fabrique des farines de céréales) reçoit chaque jour des camions de blé. Ce blé est destiné à être transformé en farine. La farine fabriquée est ensuite vendue à des boulangers industriels ou à des artisans boulangers.


\begin{enumerate}
\item $\qquad$ \\

Dans la minoterie, on procède à deux contrôles qualité à l'arrivée d'une livraison de blé~: l'un sur l'extensibilité d'une pâte obtenue à partir de la farine fabriquée avec un \ech{} du blé livré, l'autre sur le taux d'humidité du blé livré.

\begin{enumerate}

\item Un technicien broie une quantité de blé représentatif d'une livraison. Il obtient une farine, avec laquelle il fabrique cinq \ech{}s de quantité identique de pâte. Il mesure l'indice d'extensibilité, en mm, de chacun de ces \ech{}s. Voici les résultats obtenus~:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
& Indice d'extensibilité en mm\\
\hline
Échantillon n°1 & 104\\
\hline
Échantillon n°2 & 81\\
\hline
Échantillon n°3 & 83\\
\hline
Échantillon n°4 & 57\\
\hline
Échantillon n°5 & 55\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Donner la moyenne $\bar{x}$ de cette série et son \sd{} arrondi au centième.

\item Dans cette question, on considère que l'\sd{} de la série est $\sigma = 18$~mm.

Le processus qualité impose de procéder à un test sur cinq nouveaux \ech{}s de pâte si l'une des cinq valeurs de la série précédente est en dehors de l'\iv{} $\left[\bar{x}-2\sigma,\bar{x}+2\sigma \right]$.

Vérifier que le technicien n'a pas besoin de procéder à un test sur cinq nouveaux \ech{}s de pâte.
\end{enumerate}

\item Deux camions, en provenance d'une même exploitation agricole, sont arrivés. Le technicien utilise un humidimètre qui indique le taux d'humidité, mesuré en pourcentage, du blé livré dans chaque camion~:

\begin{itemize}
\item le premier contient \np{29540}~kg de blé présentant un taux d'humidité global de 12,4~\%~;

\item le second contient \np{14540}~kg de blé présentant un taux d'humidité global de 14,1~\%.
\end{itemize}

Le cahier des charges exige un taux d'humidité inférieur à 13~\% dans un même silo. Lors du déchargement des deux camions dans un même silo, les blés seront mélangés.

Montrer que le technicien peut autoriser le déchargement des deux camions dans un même silo vide.
 
\end{enumerate}
\newpage
\item $\qquad$ \\

La farine fabriquée par la minoterie est conditionnée dans des sacs destinés à être vendus aux boulangers. On note $X$ la \va{} qui, à chaque sac de farine, associe son poids en kg. On admet que la \va{} $X$ suit la \N{} de moyenne 25,2~kg et d'\sd{} 0,1. 


On prélève un sac au hasard dans la production.


\begin{enumerate}
\item Un sac ne peut être vendu que s'il a une masse inférieure à 25~kg. Quelle est la \pr{}, à $10^{-3}$ près, pour que ce sac ait une masse inférieure à 25~kg~?

\item 
\begin{enumerate}

\item Donner un réel $h$ tel que~: $P\left( 25,2-h \leq X \leq 25,2+h \right) \simeq 0,95$ à $10^{-2}$ près.
\item On a tracé ci-dessous la représentation graphique d'une fonction de densité. Expliquer pourquoi cette représentation ne peut pas être celle de la fonction de densité de la \va{} $X$.

\begin{center}
\pgfplotsset{yticklabel style={/pgf/number format/fixed,/pgf/number format/precision=3},scaled y ticks=false}
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[hide y axis,axis x line*=bottom,grid=none,width=15cm,height=6.5cm,xmin=22.7,
xmax=28,ymin=0,ymax=1,
xtick={22.8,23,...,27.8},
grid style={line width=0.9pt, black!40!white, opacity=0.5},tick pos=left,ytick style={draw=none},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=80]
\addplot[domain=22.7:28]{e^(-(x-25.2)^2/2/.5^2)/.5/2.506628};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item $\qquad$ \\

Un commercial de la minoterie présente à ses clients une nouvelle farine appelée \emph{La Romaine}. On dispose des données suivantes~:

\begin{itemize}
\item 70~\% des clients de la minoterie sont des artisans boulangers, les autres sont des boulangers industriels~;

\item parmi les artisans boulangers, 38~\% acceptent de tester la farine \emph{La Romaine}~;

\item parmi les boulangers industriels, 25~\% acceptent de tester la farine \emph{La Romaine}.
\end{itemize}

On choisit un client de la minoterie au hasard.

On note $A$ l'\evt{} «~le client est un artisan boulanger~» et $T$ l'\evt{} «~le client accepte de tester la farine \emph{La Romaine}~». 

\begin{enumerate}

\item Représenter la situation décrite par un arbre pondéré.
\newpage
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer la \pr{} de l'\evt{} «~le client est un artisan boulanger et il accepte de tester la farine \emph{La Romaine}~».

\item Montrer que la \pr{} de l'\evt{} «~le client accepte de tester la farine \emph{La Romaine}~» est de $0,341$.
\end{enumerate}
\item Un client ayant testé la farine \emph{La Romaine} reprend contact avec le commercial de la minoterie. 

Quelle est la \pr{}, arrondie à $10^{-3}$, que ce soit un artisan boulanger~?
\item On choisit au hasard 200 clients de la minoterie. Les clients de la minoterie sont suffisamment nombreux pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note $Y$ la \va{} qui, à un \ech{} de 200 clients, associe le nombre de clients qui ont testé la farine \emph{La Romaine}.

On admet que la \va{} $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, avec $n = 200$ et $p = 0,341$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la \pr{}, arrondie à $10^{-3}$, qu'au plus 60 des 200 clients choisis aient testé la farine \emph{La Romaine}~?

\item Calculer l'\moy{} de la \va{} $Y$ et interpréter dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
