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  \pgfmathparse{(#1^x)*exp(-#1)/(x!)}%
}
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\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{\textbullet}
\setlength\parindent{0mm}


\begin{center} 
\tikzstyle{cadre}=[very thick, rectangle, rounded corners, draw=black, top color=yellow!10, bottom color=yellow!20!gray]
\begin{tikzpicture}
\node [cadre]{%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	\begin{center}
	\Large {Brevet de Technicien\\ Supérieur\\
	\textbf{Groupement D1}}
	\end{center}
	\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\textsc{\textbf{Mathématiques} \\ \rule{4cm}{0.5pt} \vspace{10mm} \\ Session 2022}\\
\vspace{10mm}
Durée: 2 heures\\
\vspace{20mm}
\textsc{
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
Spécialités & Coeff \\ 
\hline
Analyses de biologie médicale  & 1 \\ \hline 
Bio analyses et contrôles   & 2 \\ \hline 
Biotechnologies   & 1 \\ \hline 
europlastics et composites & 1,5 \\ \hline 
Bioqualité & 2 \\ \hline 
\end{tabular} 
}
\end{center}
\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\tikzstyle{mybox} = [draw=black, fill=yellow!10, very thick,
    rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt]
\tikzstyle{fancytitle} =[fill=black!90, text=white, very thick, rounded corners, draw=black, rectangle]
%
\begin{tikzpicture}
\node [mybox] (box) {%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. \\
	L'usage de la calculatrice sans mémoire «~type collège~» est autorisé.
    \end{minipage}
    };
\node[fancytitle] at (box.north) {Moyens de calcul autorisés};
\end{tikzpicture}
%
\vfill

Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1/7 à 7/7.

L'annexe est à rendre avec la copie.

\end{center}

\newpage
\begin{LARGE}
\textbf{Exercice 1 (10 points)}
\end{LARGE}

On s'intéresse dans cet exercice à l'évolution, dans un pays de 60 millions d'habitants, du nombre de personnes équipées d'un certain implant médical. On exploitera deux modèles distincts.

\begin{center}
\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $\quad$\\




\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}%
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Année
&2013&2014&2015&2016&2017&2018&2019&2020&2021\\
\hline
Rang de l'année $k_i$
&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
\begin{tabular}{c}
Nombre de\\
personnes $N_i$ (en\\
milliers) équipées de\\
l'implant
\end{tabular}
&56,25&58,1&60,5&63$\quad$&65,8&68,7&72$\quad$&75,5&79,3\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


On décide de modéliser cette évolution par une fonction exponentielle et pour cela on effectue le changement de variable $y=\ln\left( N-30 \right)$.



\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau donné \textbf{en annexe à rendre avec la copie}. On arrondira les valeurs au millième.
\item 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement du nuage de points $M_i\left( k_i, y_i \right)$ par la \mmc{}. On écrira cette équation sous la forme $y=ak+b$ où $a$ et $b$ sont des coefficients que l'on arrondira au centième.
\item En utilisant cette équation de droite, déduire que le nombre de personnes (en milliers) équipées de l'implant médical dans ce pays, en fonction du rang $k$, peut être modélisé par la fonction $N$ d'expression~:

$$N(k) = 30+26,05\,\e^{0,08\,k}$$

\end{enumerate}

\item On formule l'hypothèse que le modèle proposé reste valide plusieurs années encore.
\begin{enumerate}
\item Quel devrait être le nombre de personnes, au millier près, équipées de l'implant médical dans ce pays en 2026~? 
\item Si on suppose que le nombre d'habitants du pays reste stable sur le long terme, le modèle étudié reste-t-il valide sur le long terme~? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage

\item $\quad$\\

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on considère la fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0,+\infty[$ qui vérifie $g(0)=8$ et qui est solution de l'\ode{} $(E)$ sur l'intervalle $[0,+\infty[$~:

$$(E)~:~y'+0,05 y = 0,05$$

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur l'intervalle $[0,+\infty[$ l'\ode{} $(E_0)$~: $y'+0,05 y = 0$.
\item Déterminer une solution constante de l'\ode{} $(E)$.
\item Résoudre sur l'intervalle $[0,+\infty[$ l'\ode{} $(E)$.
\item On rappelle que $g(0)=8$.

En déduire une expression de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0,+\infty[$.
\end{enumerate}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par~:

$$f(t) = \dfrac{450}{1+7\,\e^{-0,05\,t}}$$

On admet que cette fonction permet de modéliser l'évolution du nombre de personnes équipées de l'implant médical dans ce pays.

Plus précisément, $f(t)$ représente le nombre de personnes, exprimé en milliers, équipées de l'implant médical dans ce pays en fonction du temps $t$ mesuré en années depuis 2013.

Par exemple, $f(1)$ représente le nombre de personnes de ce pays équipées de l'implant médical en 2014.


\item Déterminer, selon ce modèle, combien de personnes, au millier près, seront équipées de l'implant médical en 2026.
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu l'expression suivante~:
$$f'(t) = \dfrac{315\,\e^{-0,05\,t}}{2\left( 1+7\,\e^{-0,05\,t}
\right)^2}$$
En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0,+\infty[$ et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminer à partir de quelle année le nombre de personnes de ce pays équipées de cet implant médical dépassera \np{120000}, c'est-à-dire 120 milliers. On expliquera la méthode employée.
\end{enumerate}
\end{enumerate}








\newpage
\begin{LARGE}
\textbf{Exercice 2 (10 points)}
\end{LARGE}

\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

Dans une usine, une machine à embouteiller est alimentée par un réservoir d'eau et par une file d'entrée qui permet l'approvisionnement en bouteilles vides.

\begin{enumerate}

\item \textbf{~-~Défaut d'approvisionnement}

On considère qu'il y a un défaut d'approvisionnement lorsqu'au moins un des deux cas suivants est réalisé~:

\begin{itemize}
\item la file d'entrée des bouteilles est vide~;
\item le réservoir est vide.
\end{itemize}

On choisit au hasard un jour d'activité de l'entreprise dans l'année. On note~:

\begin{itemize}
\item $A$ l'\evt{}~: «~la file d'entrée des bouteilles est vide au moins une fois dans la journée~»~;
\item $B$ l'\evt{}~: «~le réservoir est vide au moins une fois dans la journée~».
\end{itemize}

On admet que les \evt{}s $A$ et $B$ sont indépendants.

Une étude statistique permet de dire que les \pr{}s des \evt{}s $A$ et $B$ sont respectivement données par $P\left( A \right) = 0,03$ et $P\left( B \right) = 0,02$.

Chaque phrase du tableau de gauche est associée à une unique information correspondante dans le tableau de droite. Pour chacune des quatre réponses, écrire sur la copie le numéro de la phrase avec la lettre qui correspond à l'information associée. Aucune justification n'est demandée.

\bigskip

\begin{tabular}{lcc}

%\renewcommand{\arraystretch}{0.9}%
\setlength\extrarowheight{16pt}
\begin{minipage}{0.75\textwidth}
\linespread{0.2}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
\textbf{1}&
\begin{minipage}
{0.7\textwidth}
$\quad$
La \pr{} de l'\evt{}~:~«~La file d'entrée ne se vide pas dans la journée.~»
\end{minipage}\\
\hline
\textbf{2}&
\begin{minipage}
{0.7\textwidth}
L'\evt{}~:~«~La file d'entrée est vide au moins une fois dans la journée mais pas le réservoir.~»
\end{minipage}\\%[8pt]
\hline
\textbf{3}&
\begin{minipage}
{0.7\textwidth}
La \pr{} de l'\evt{}~:~«~La file d'entrée et le réservoir ont été tous les deux vides au moins une fois au cours de la journée.~»
\end{minipage}\\%[8pt]
\hline
\textbf{4}&
\begin{minipage}
{0.7\textwidth}
La \pr{} de l'\evt{}~:~«~La machine a connu un défaut d'approvisionnement dans la journée.~»
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{0.02\textwidth}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{0.1\textwidth}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}%
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\textbf{A}&$\bar{A}\cap B$\\
\hline
\textbf{B}&0,05\\
\hline
\textbf{C}&$A\cap \bar{B}$\\
\hline
\textbf{D}&0,0494\\
\hline
\textbf{E}&0,97\\
\hline
\textbf{F}&0,0006\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}

\end{tabular}

\newpage

\item \textbf{~-~Pannes de la machine à embouteiller sur une durée de 200~jours}


\begin{enumerate}

\item Lorsque la machine tombe en panne, elle est immobilisée pour le reste de la journée et réparée pour le lendemain. La \pr{} qu'elle tombe en panne un jour quelconque est égale à 0,025.

On note $X$ la \va{} qui, à toute période de 200 jours consécutifs choisie au hasard, associe le nombre de jours où la machine est tombée en panne. On considère que les jours où les pannes surviennent sont indépendants les uns des autres.

Donner, sans justifier, la loi de \pr{} suivie par la \va{} $X$. Préciser ses paramètres.

\item On admet que la loi de la \va{} $X$ peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Soit $Y$ une \va{} qui suit cette loi de Poisson.

\begin{enumerate}

\item Justifier que $\lambda = 5$.

\item Donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de la \pr{} $P\left(Y\leqslant 10\right)$.

\item On a représenté ci-dessous les valeurs de $P\left(Y=k\right)$ en fonction des premières valeurs de $k$~:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[axis lines=middle,
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
grid=minor,
xlabel={$k$},
ylabel={$P(Y=k)$},
minor xtick={0,...,16},
minor ytick={0,0.02,...,0.18},
every axis plot post/.append style={
  samples at = {0,...,16},
%  axis x line*=bottom,
%  axis y line*=left,
  enlargelimits=upper},
  /pgf/number format/.cd,
                fixed,
                use comma,
            /tikz/.cd,  
  xscale=2.05,yscale=1]
  \addplot +[ycomb,mark=text, text mark=, line width=4pt,black] {poiss(5)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Cette représentation graphique suggère que la \pr{} $P\left(Y=15\right)$ est égale à 0.

On admet que pour tout entier $k \geqslant 1$, on a~:

$$P\left(Y=15\right) = \dfrac{5^{k}\e^{-5}}{1\times 2\times ... \times k}$$

La conjecture «~$P\left(Y=15\right)$ est égale à 0~» est-elle vraie ou fausse~? Justifier.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\item \textbf{~-~Qualité de l'embouteillement}

Un laboratoire analyse la qualité de l'embouteillement en sortie de machine.

La machine est correctement réglée quand une bouteille remplie contient un volume d'eau dont l'arrondi au centilitre est 75~cL.

On souhaite tester l'hypothèse «~La machine est correctement réglée~» à l'aide d'un test bilatéral au seuil de confiance de 95~\%.

On note

\begin{itemize}
\item $m$ la quantité moyenne d'eau en centilitres dans une bouteille remplie par la machine~;
\item $s$ l'\sd{} correspondant.
\end{itemize}

On réalise une mesure du volume d'eau arrondi au centilitre pour un \ech{} de 100 bouteilles remplies par la machine. Les résultats obtenus figurent dans le tableau ci-dessous~:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{tabular}{l}
Quantité d'eau\\
contenue (cL)
\end{tabular}
&73&74&75&76&77\\
\hline
\begin{tabular}{l}
Nombre de\\
bouteilles
\end{tabular}
&17&20&43&13&7\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la moyenne $\overline{x}$ et l'\sd{} $\sigma$ de cet \ech{}. On donnera la valeur arrondie de l'\sd{} à $10^{-2}$. 


\item On souhaite réaliser le test bilatéral suivant au seuil de confiance de 95~\%~:

\begin{center}
$H_0$~:~«~$m=75$~» et $H_1$~:~«~$m \neq 75$~».
\end{center}

On note $\overline{Z}$ la \va{} qui à tout \ech{} de 100 bouteilles remplies par la machine, associe la moyenne du volume d'eau contenue dans les bouteilles, mesuré en centilitres. On suppose que la \va{} $\overline{Z}$ suit la \N{} d'\moy{} $m$ et d'\sd{} $s$.

Dans la suite, on remplace l'\sd{} $s$ des volumes d'eau contenue après remplissage par la machine, par son estimation 0,11.

Sous l'hypothèse $H_0$, $\overline{Z}$ suit donc la \N{} d'\moy{} 75 et d'\sd{} 0,11.

\begin{enumerate}
\item Déterminer un nombre réel $h$ vérifiant $P\left(75-h\leqslant \overline{Z}\leqslant 75+h\right)\approx 0,95$ à $10^{-2}$ près.
\item Énoncer la règle de décision du test.
\item D'après les résultats de l'\ech{} donné, peut-on accepter l'hypothèse $H_0$~:~«~$m~=~75$~»~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\newpage
\begin{LARGE}
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}
\end{LARGE}

\textbf{Exercice 1, partie A, question 1}

Tableau à compléter~:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}%
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Rang de l'année $k_i$
&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
\begin{tabular}{c}
Nombre de\\
personnes $N_i$ (en\\
milliers) équipées de\\
l'implant
\end{tabular}
&56,25&58,1&60,5&63$\quad$&65,8&68,7&72$\quad$&75,5&79,3\\
\hline
\begin{tabular}{c}
$\quad$\\
$y_{i} = \ln \left( N_{i} - 30 \right)$\\
$\quad$
\end{tabular}
&&&&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}




\end{document}
