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\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{\textbullet}
\setlength\parindent{0mm}


\begin{center} 
\tikzstyle{cadre}=[very thick, rectangle, rounded corners, draw=black, top color=yellow!10, bottom color=yellow!20!gray]
\begin{tikzpicture}
\node [cadre]{%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	\begin{center}
	\Large {Brevet de Technicien\\ Supérieur\\
	\textbf{Groupement D}}
	\end{center}
	\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\textsc{\textbf{Mathématiques} \\ \rule{4cm}{0.5pt} \vspace{10mm} \\ Session 2021}\\
\vspace{10mm}
Durée: 2 heures\\
\vspace{20mm}
\textsc{
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
Spécialités & Coeff \\ 
\hline
Analyses de biologie médicale  & 1 \\ \hline 
Bio analyses et contrôles   & 2 \\ \hline 
Biotechnologies   & 1 \\ \hline 
europlastics et composites & 1,5 \\ \hline 
Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries & 2 \\ \hline 
\end{tabular} 
}
\end{center}
\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\tikzstyle{mybox} = [draw=black, fill=yellow!10, very thick,
    rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt]
\tikzstyle{fancytitle} =[fill=black!90, text=white, very thick, rounded corners, draw=black, rectangle]
%
\begin{tikzpicture}
\node [mybox] (box) {%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. \\
	L'usage de la calculatrice sans mémoire «~type collège~» est autorisé.
    \end{minipage}
    };
\node[fancytitle] at (box.north) {Moyens de calcul autorisés};
\end{tikzpicture}
%
\vfill

Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7.

La page 7 est une annexe à rendre avec la copie.

\end{center}

\newpage
\begin{LARGE}
\textbf{\textsc{exercice 1}~:~10 points}
\end{LARGE}

\bigskip

Une usine agroalimentaire produit de la viande de bœuf hachée. On souhaite évaluer la durée de conservation de la viande de bœuf une fois hachée et conservée dans une chambre froide réglée à 0 °C.

\begin{center}
\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item $\quad$

Voici le relevé du nombre de germes putréfiants par centimètre carré (cm$^2$) tous les cinq jours à la surface d'un \ech{} de viande de bœuf hachée conservée dans la chambre froide~:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}%
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{tabular}{c}
Nombre de jours de\\
conservation $t_i$
\end{tabular}
&0&5&10&15&20\\
\hline
\begin{tabular}{c}
Nombre $N_i$ de germes\\
putréfiants par cm$^2$
\end{tabular}
& $\quad$ \np{1000} $\quad$ &$\quad$ \np{4000} $\quad$&$~\,~$\np{199000}$~\,~$&$~\,$\np{5960000}$~\,$&\np{48600000}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item On effectue un changement de variable logarithmique~: $z_i = \ln (N_i)$.

Compléter le tableau donné en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. On arrondira les valeurs au dixième.
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement du nuage de points $M_{i}(t_i\,;\,z_i)$ par la \mmc{} sous la forme $z=at+b$. Les réels $a$ et $b$ seront arrondis au centième.
\item On considère que la droite $D$ est une droite d'ajustement du nuage de points $M_{i}(t_i\,;\,z_i)$ et que ce modèle reste valable jusqu'au 30$^{\e}$ jour de conservation dans la chambre froide. Donner une estimation du nombre de germes putréfiants par cm$^2$ sur l'\ech{} de viande hachée si celui-ci était stocké et conservé pendant 25 jours dans la chambre froide. Arrondir au million.
\end{enumerate}



\item $\quad$

Soit $f$ la fonction définie sur l'\iv{} $[0\,;\,+\infty[$ par $f(t)=600\e^{0,6t}$.

On admet que la fonction $f$ modélise le nombre de germes par cm$^2$ sur la surface de la viande hachée conservée en chambre froide. Plus précisément, $f(t)$ est le nombre de germes par cm$^2$ sur la viande hachée après $t$ jours de conservation dans la chambre froide à 0 °C.

\newpage

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(t)$ pour tout réel $t$ appartenant à l'\iv{} $[0\,;\,+\infty[$.
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'\iv{} $[0\,;\,+\infty[$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item On définit le réel $m$ par $m=\frac{1}{10-5}\int_{5}^{10}f(t)\text{d} t$.
\begin{enumerate}
\item Sans la calculer, interpréter la valeur du réel $m$ dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'\iv{} $[0\,;\,+\infty[$.
\item En déduire que $m=200\e^{6}-200\e^{3}$.
\end{enumerate}
\item On admet que la viande hachée peut être commercialisée si, lorsqu'elle quitte l'usine, la concentration de germes putréfiants à sa surface est strictement inférieure à \np{3000} germes par cm$^2$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $f(t)<\np{3000}$ sur l'\iv{} $[0\,;\,+\infty[$.
\item En déduire si l'usine peut conserver la viande de b\oe{}uf hachée produite en chambre froide plus de deux jours avant de la commercialiser.
\end{enumerate}
\item La viande hachée pourra ensuite être vendue à des particuliers tant que le nombre de germes par cm$^2$ ne dépasse par \np{27000}. On appelle durée limite de consommation le nombre maximal de jours pendant lequel cette viande hachée peut être vendue à des particuliers.

\begin{enumerate}
\item En précisant la démarche employée, donner la valeur numérique affichée par l'algorithme ci-dessous~:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[draw] at (0,0) {\begin{minipage}{0.3\textwidth}
$J$ $\leftarrow$ 0\\
$N$ $\leftarrow$ 600\\
Tant Que $N \leq \np{27000}$\\
$\color{white} ---\color{black}$ $J$ $\leftarrow$ $J+1$\\
$\color{white} ---\color{black}$ $N$ $\leftarrow$ $600 * \e^{0,6*J}$\\
Fin Tant Que\\
Afficher $J$
\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage
\begin{LARGE}
\textbf{\textsc{exercice 2}~:~10 points}
\end{LARGE}

\bigskip 

\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.}

\bigskip

Pour améliorer l'hygiène de baignade dans un spa, il est possible de traiter l'eau aux ultra-violets (UV). La lampe UV (Figure 1), placée dans une chambre de désinfection, diffuse des rayons ultra-violets en continu. En passant devant cette lampe, dans le système de filtration, l'eau est désinfectée et débarrassée des micro-organismes.



\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\shade[ultra thick,left color=black!15!white,right color=black!2!white,draw,thick] (-5,-2) rectangle (4,2);
\draw[thick,fill=white] (5,0.5) -- (-4,0.5) arc (90:270:0.5 and 0.5) -- (5,-0.5) -- cycle;
\foreach \y in {-0.5,-0.4,...,0.5}{
\draw[thin,fill=black!10!white] (5,\y) rectangle (5.5,\y+0.1);
}
\foreach \y in {2,2.25,2.5}{
\draw (-4,\y) rectangle (-2.5,\y+0.25);
\draw (2,-\y) rectangle (3.5,-\y-0.25);
}
\draw[thick,fill=black!50!white] (-3.35,1.8) |- (-3,1.1) -| (-2.7,1) -- (-2.5,1.2) -- (-2.7,1.4) |- (-3,1.3)-| (-3.15,1.8) -- cycle;
\draw[thick,fill=black!50!white] (-2,1.1) -| (-1.2,1) -- (-1,1.2) -- (-1.2,1.4) |- (-2,1.3) -- cycle;
\draw[thick,fill=black!50!white] (-2,-1.1) -| (-1.2,-1) -- (-1,-1.2) -- (-1.2,-1.4) |- (-2,-1.3) -- cycle;
\draw[thick,fill=black!50!white] (0.5,-1.1) -| (2.8,-1.4) |- (2.9,-1.7) -- (2.7,-1.9) -- (2.5,-1.7) -| (2.6,-1.4) |- (0.5,-1.3) -- cycle;
\foreach \x in {-4.5,-4,...,3.5}{
\draw (\x,0.6) cos (\x+0.25,0.8) sin (\x+0.5,0.6);
\draw (\x,-0.6) cos (\x+0.25,-0.8) sin (\x+0.5,-0.6);
}
\draw (-4.5,0.6) cos (-4.7,0.7) cos (-4.6,0.4) sin (-4.8,0.2) cos (-4.6,0) sin (-4.8,-0.2) cos (-4.6,-0.4) sin (-4.7,-0.7) sin (-4.5,-0.6);
\node at (1,1.2) {\textsf{RAYONS UV}};
\node (cd) at (2.5,3.2) {\textsf{CHAMBRE DE DÉSINFECTION}};
\draw[->,>=stealth] (cd) to (0.8,2.1);
\node at (-3.5,3.2) {\textsf{ENTRÉE}};
\node at (2.8,-3.2) {\textsf{SORTIE}};
\node at (2.8,-3.7) {\textsf{(EAU DÉSINFECTÉE)}};

\draw[very thick,fill=black!5!white,fill opacity=0.6] (-7.5,-2.4) rectangle (-5,2.4);
\draw[very thick,fill=black!5!white,fill opacity=0.6] (4,-2.4) rectangle (6.5,2.4);
\end{tikzpicture}

Figure 1. Schéma d'une chambre de désinfection équipée d'une lampe UV
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $\quad$

\emph{Les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près.}


Une étude effectuée sur l'ensemble des spas installés par un fabricant indique que~:
\begin{itemize}
\item[$-$] 40 \% des spas sont équipés de lampe UV et, parmi eux, 2 \% présentent un problème de filtration~;
\item[$-$] Parmi les spas non-équipés de lampe UV, 15 \% présentent un problème de filtration.
\end{itemize}

On choisit un spa au hasard parmi ceux installés par le fabricant.

On note~:
\begin{itemize}
\item $L$ l'\evt{} \og{}~le spa est équipé d'une lampe UV~\fg{}~;
\item $F$ l'\evt{} \og{}~le spa présente un problème de filtration~\fg{};
\item $\overline{L}$ et $\overline{F}$ les \evt{}s contraires respectifs des \evt{}s $L$ et $F$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\item Recopier sur la copie l'arbre pondéré ci-contre et compléter les pointillés.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (lh) at (0,2) {$L$};
\node (lb) at (0,-2) {$\overline{L}$};
\node (f) at (2,3) {$F$};
\node (a) at (2,1) {$\ldots$};
\node (b) at (2,-1) {$\ldots$};
\node (g) at (2,-3) {$\overline{F}$};
\draw (lh) to node[sloped,above]{$\ldots$} (f) ;
\draw (lh) to node[sloped,below]{$\ldots$} (a) ;
\draw (lb) to node[sloped,above]{$\ldots$} (b) ;
\draw (lb) to node[sloped,below]{$\ldots$} (g) ;
\draw (-2,0) to node[sloped,above]{$\ldots$} (lh) ;
\draw (-2,0) to node[sloped,below]{$\ldots$} (lb) ;
\end{tikzpicture}

\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}
\newpage
\item Montrer que la \pr{} de l'\evt{} $F$ est égale à $0,098$.
\item Le spa choisi au hasard présente un problème de filtration. Calculer la \pr{} que ce spa ne possède pas de lampe UV.
\item Lors d'une opération de maintenance sur un parc de 78 spas installés par la fabricant, un technicien comptabilise 12 spas présentant un problème de filtration.

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$ des spas installés par ce fabricant qui présentent un problème de filtration.
\item Déterminer par un \iv{} de confiance au seuil de 95 \% cette proportion $p$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item $\quad$

On s'intéresse désormais à la durée de vie des lampes UV. Celle-ci, exprimée en heures, est une \va{} $X$ qui suit une \lex{} de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif. On rappelle que la fonction de densité $f$ d'une telle \va{} est donnée pour tout réel $t\geq 0$ par~:

$$f(t) = \lambda \e^{-\lambda t}.$$

La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction de densité $f$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\clip (-1.2,-0.5) rectangle (12.5,6.3);
\draw[ultra thin, lightgray, step=0.2] (-0.1,-0.1) grid (13,7);
\draw[very thin, gray] (0,-1) grid (13,7);
\draw[thick,->,>=latex] (-0.3,0) -- (12.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-0.1) -- (0,6.2);
\foreach \i [evaluate=\i as \x using int(\i*1000)] in {0,...,12}{
\draw  (0.3+\i,-0.35) node[fill=white,left] {\tiny{\x}};}
\foreach \i [evaluate=\i as \y using int(\i*5)] in {1,...,6}{
\draw  (-0.05,\i) node[fill=white,left] {\tiny{0,0000\y}};
}
\draw[domain=0:12.4] plot (\x,5.2*exp{-0.26*\x});
\end{tikzpicture}
\end{center}



\begin{enumerate}

\item À l'aide du graphique, justifier que~: $\lambda = 0,00026$.

\item On considère la proposition suivante~:~\og{}~en \moy{}, une lampe UV tombe en panne au bout de \np{1000} heures~\fg{}. Cette proposition est-elle vraie~? Justifier.

\item Montrer que la \pr{} qu'une lampe n'ait pas eu de panne au cours des 500 premières heures est égale à $\e^{-0,13}$.
\end{enumerate}


\newpage

\item $\quad$

Lors de l'utilisation des lampes UV, on constate que la \pr{} de la durée d'utilisation d'une lampe UV prise au hasard dépasse 1000 heures est $p=0,77$.

On prélève au hasard un lot de 50 lampes dans la production, jugée suffisamment importante pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On appelle $Y$ la \va{} qui, à un \ech{} de 50 lampes UV de la production, associe le nombre de lampes UV dont la durée d'utilisation dépasse 1000 heures.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la \va{} $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

\item Déterminer l'arrondi à $10^{-3}$ de la \pr{} $P(Y\geq 42)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

\item Calculer l'espérance de la \va{} $Y$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\newpage


\textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie~: Exercice 1~-~Partie A~-~Question 1}


\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}%
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{tabular}{c}
Nombre de jours de\\
conservation $t_i$
\end{tabular}
&0&5&10&15&20\\
\hline
\begin{tabular}{c}
Nombre $N_i$ de germes\\
putréfiants par cm$^2$
\end{tabular}
& $\quad$ \np{1000} $\quad$ &$\quad$ \np{4000} $\quad$&$~\,~$\np{199000}$~\,~$&$~\,$\np{5960000}$~\,$&\np{48600000}\\
\hline
\begin{tabular}{c}
\\
$z_i = \ln{N_i}$
\end{tabular}
&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\textbf{Annexe 2 à rendre avec la copie~: Exercice 1~-~Partie A~-~Question 3}


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\node at (0,5.5) {$z_i = \ln{N_i}$};
\node at (5.5,-0.5) {$t_i$ \textsf{nombre de jours de conservation}};
\clip (-0.4,-0.3) rectangle (6.9,5.2);
\draw[ultra thin, lightgray, step=0.2] (-1,-1) grid (6.8,6);
\draw[very thin, gray] (-1,-1) grid (6.8,6);
\draw[thick,->,>=latex] (-0.3,0) -- (6.8,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-0.1) -- (0,5.2);
\foreach \i [evaluate=\i as \x using int(\i*5)] in {0,...,6}{
\draw  (0.15+\i,-0.2) node[fill=white,left] {\x};}
\foreach \i [evaluate=\i as \y using int(\i*5)] in {1,...,5}{
\draw  (-0.1,\i) node[fill=white,left] {\y};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}