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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi{}.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
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\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{\textbullet}
\setlength\parindent{0mm}


\begin{center} 
\tikzstyle{cadre}=[very thick, rectangle, rounded corners, draw=black, top color=yellow!10, bottom color=yellow!20!gray]
\begin{tikzpicture}
\node [cadre]{%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	\begin{center}
	\Large {Brevet de Technicien\\ Supérieur\\
	\textbf{Groupement D}}
	\end{center}
	\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\textsc{\textbf{Mathématiques} \\ \rule{4cm}{0.5pt} \vspace{10mm} \\ Session 2020}\\
\vspace{10mm}
Durée: 2 heures\\
\vspace{20mm}
\textsc{
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
Spécialités & Coeff \\ 
\hline
Analyses de biologie médicale  & 1 \\ \hline 
Bio analyses et contrôles   & 2 \\ \hline 
Biotechnologies   & 1 \\ \hline 
europlastics et composites & 1,5 \\ \hline 
Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries & 2 \\ \hline 
\end{tabular} 
}
\end{center}
\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\tikzstyle{mybox} = [draw=black, fill=yellow!10, very thick,
    rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt]
\tikzstyle{fancytitle} =[fill=black!90, text=white, very thick, rounded corners, draw=black, rectangle]
%
\begin{tikzpicture}
\node [mybox] (box) {%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. \\
	L'usage de la calculatrice sans mémoire «~type collège~» est autorisé.
    \end{minipage}
    };
\node[fancytitle] at (box.north) {Moyens de calcul autorisés};
\end{tikzpicture}
%
\vfill

Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6.

La page 6 est une annexe à rendre avec la copie.

\end{center}

\newpage
\begin{LARGE}
\textbf{\textsc{exercice 1}~:~12 points}
\end{LARGE}


\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.}

\bigskip




\begin{enumerate}
\item \textbf{Évolution de la population de poissons au fil des mois dans certains aquariums}

Les deux questions suivantes sont des QCM (\QCM). Dans chaque question, une seule proposition est correcte. Indiquer la bonne proposition. Aucune justification n'est demandée.

\begin{enumerate}
\item Dans un aquarium, il y a initialement 10 poissons. On admet que la population de poissons augmente de 30\% chaque mois. Quel est le nombre de poissons au bout de 5 mois~? Le résultat a été arrondi à l'unité.


\begin{tabular}{llll}
\textbf{a.} 12 $\qquad\qquad\qquad$&
\textbf{b.} 50 $\qquad\qquad\qquad$&
\textbf{c.} 160 $\qquad\qquad\qquad$&
\textbf{d.} 37 
\end{tabular}
 
\item Dans un aquarium, au temps $t=0$, on compte 10 poissons. On modélise le nombre de poissons présents dans l'aquarium par une fonction $g$. On admet que la fonction $g$ est la solution de l'\ode{} $y' + 0,3 y = 0$ vérifiant la condition initiale $g(0)=10$. Alors $g$ est définie par~:


\begin{tabular}{llll}
\textbf{a.} $g(t)=10\,\e^{0,3t}$ $\quad$&
\textbf{b.} $g(t)=10\,\e^{-0,3t}$ $\quad$&
\textbf{c.} $g(t)=10 +\e^{0,3t}$ $\quad$&
\textbf{d.} $g(t)=10 +\e^{-0,3t}$ $\quad$
\end{tabular}
\end{enumerate}




\item \textbf{Étude statistique}

On cherche à évaluer l'effet d'un pesticide que l'on peut trouver dans les rivières, sur la diminution de la fertilité d'une population de poissons. Pour cela un laboratoire va disposer huit aquariums, contenant chacun dix poissons de la même espèce et de l'eau avec différentes quantités de ce pesticide. Au bout d'un mois on relève le nombre total d'œufs pondus par les poissons des différents aquariums et on obtient les résultats suivants~:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}%
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{tabular}{c}
Numéro de\\
l'aquarium
\end{tabular}
&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
\begin{tabular}{c}
Concentration en\\
pesticide (en mg/l)\\
$(x_i)$
\end{tabular}
& 0&1&4&5&6&7&8&10\\
\hline
\begin{tabular}{c}
Nombre d'œufs\\
pondus dans le mois\\
$(N_i)$
\end{tabular}
&249&248&246&230&130&50&40&35\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


Un ajustement affine ne semblant pas approprié, on effectue le changement de variable 

$$y = - \text{ln} \left( \dfrac{250}{N}-1 \right).$$

\newpage

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau \textbf{en annexe à rendre avec la copie}. On arrondira les résultats à $10^{-3}$.

\item À l'aide de la calculatrice, déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $(x_i ; y_i)$. Arrondir à $10^{-3}$. Interpréter le résultat. 

\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de la série statistique $(x_i ; y_i)$ par la \mmc{} sous la forme $y=ax+b$. On arrondira $a$ et $b$ à $10^{-3}$.
\item On note $N(x)$ la fonction modélisant le nombre d'œufs pondus dans un aquarium en un mois, en fonction de la concentration $x$ en pesticide (en mg/l).

\begin{enumerate}
\item En s'aidant du changement de variables $y=-\text{ln}\left( \frac{250}{N}-1 \right)$, vérifier que $N(x)$ est solution de l'équation $\frac{250}{N(x)}-1 = \e^{0,857x-5,905}$.
\item En déduire que l'expression de la fonction $N$ est~:
$$N(x)=\dfrac{250}{1+\e^{0,857x-5,905}}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item \textbf{Étude de la fonction}

On considère la fonction $f$ définie sur l'\iv{} $[0;+\infty[$ par~:

$$f(x) = \dfrac{250}{1+0,003 \, \e^{0,9x}}$$

\begin{enumerate}

\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$.

\item \begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à $[0;+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{-0,675 \, \e^{0,9x}}{\left( 1+0,003 \, \e^{0,9x} \right)^2}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et donner le sens de variation de $f$ sur l'\iv{} $[0;+\infty[$.
\end{enumerate}

\item Tracer dans le repère fourni en annexe la courbe représentative de la fonction $f$.

\emph{Pour la suite, on admet que la fonction $f$ modélise le nombre d'œufs pondus par mois dans un aquarium, en fonction de la concentration $x$ en pesticide (en mg/l) sur l'intervalle $[0;50]$.}
\item La concentration efficace médiane notée CE50 est la concentration qui correspond à une diminution de 50\% du nombre d'œufs pondus par mois par rapport à une eau sans pesticide.

Déterminer cette concentration CE50 à $10^{-1}$ près. Expliquer votre démarche.
  
\item Une primitive $F$ de $f$ est calculée par un logiciel de calcul formel~:
$$F(x) = -\dfrac{2500}{9}\text{ln}(\e^{-0,9x}+0,003)$$
Estimer, à l'unité près, le nombre moyen d'œufs pondus par mois, pour des concentrations en pesticide comprises entre 4 et 6 mg/l.

On rappelle que la valeur \moy{} d'une fonction $f$ sur un \iv{} $[a;b]$ est~:
$$\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$$ 
 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{LARGE}
\textbf{\textsc{exercice 2}~:~8 points}
\end{LARGE}


\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.}
\begin{enumerate}

\item \textbf{Étude du \hem{} chez la femme en France}


L'anémie se définit par un \hem{} dans le sang inférieur aux valeurs normales.

Une femme est en anémie lorsque son \hem{} est inférieur ou égal à 12g/dl.

Une femme est en polyglobulie si son \hem{} est supérieur ou égal à 16g/dl.

Soit $T$ la \va{} qui, à chaque femme de la population française, associe son \hem{} en grammes par décilitre (g/dl). On admet que $T$ suit la \N{} d'espérance $\mu = 14$ et d'\sd{} $\sigma = 1,15$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la \pr{} qu'une femme choisie au hasard dans la population française soit en anémie. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.

\item En déduire, sans utiliser la calculatrice, la \pr{} qu'une femme choisie au hasard dans la population française soit en polyglobulie. Expliquer votre démarche. On pourra s'aider d'un schéma.

\end{enumerate}

\item \textbf{Prévisions d'erreurs d'analyse}

Un laboratoire procède à 300 analyses de \hem{} chaque mois.

On suppose que la \pr{} qu'une analyse soit erronée est 0,005.

On note $X$ la \va{} qui, à tout \ech{} de 300 analyses, associe le nombre d'analyses erronées de cet \ech . On suppose que la constitution d'un tel \ech{} peut être assimilée à un tirage avec remise de 300 analyses.


\begin{enumerate}
\begin{tabular}{lcr}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\item Quelle loi suit la \va{} $X$~? En préciser les paramètres.
\item Un tableur fournit les résultats suivants~:

En utilisant cet extrait, déterminer en arrondissant les valeurs demandées à $10^{-2}$~:
\begin{enumerate}
\item La \pr{} qu'aucune des 300 analyses de l'\ech{} ne soit erronée.
\item $P\left( 2 \leq X \leq 4 \right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{0.1\textwidth}
$\qquad$
\end{minipage}
&
\begin{tabular}{|l|r|r|}
\hline
$\blacktriangledown$ & A & B\\
\hline 1 & k & P(X=k)\\
\hline 2 & $\qquad$0 & $\quad$0,2222922\\
\hline 3 & 1 & $\quad$0,335113869\\
\hline 4 & 2 & 0,251756399\\
\hline 5 & 3 & 0,125667348\\
\hline 6 & 4 & 0,046888445\\
\hline 7 & 5 & 0,013948723\\
\hline 8 & 6 & 0,003446293\\
\hline 9 & 7 & 0,000727358\\
\hline 10 & 8 & 0,000133867\\
\hline 11 & 9 & 2,18253E-05\\
\hline
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{enumerate}

\newpage

\item \textbf{Délai des résultats des analyses du \hem}

Un laboratoire qui pratique des analyses affirme que le délai moyen pour fournir les résultats d'une analyse du \hem{} est de 60 minutes.

On souhaite tester cette hypothèse à l'aide d'un test bilatéral au seuil de confiance de 95 \%.

On note $m$ le délai moyen pour fournir le résultat d'une analyse et on définit les hypothèses nulle et alternative suivantes~:

$H_0$ "$m = 60$" et $H_1$ "$m \neq 60$".



Soit $\bar{Y}$ la \va{} qui à tout \ech{} de 100 analyses associe le délai moyen pour fournir les résultats de ces analyses.

On admet que $\bar{Y}$ suit la \N{} d'espérance $m$ et d'\sd{} 1,5.

Donc sous l'hypothèse «~$H_0$ est vraie~», $\bar{Y}$ suit la \N{} d'espérance 60 et d'\sd{} 1,5.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'arrondi au centième du nombre réel $h$ vérifiant 

$P(60-h\leq\bar{Y}\leq 60+h)\;=\;0,95$.
\item Énoncer la règle de décision du test.
\item On prélève un \ech{} de 100 analyses et on trouve un délai moyen pour fournir les résultats de $\overline{y}=62,5$ minutes. Que peut-on en conclure~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage


Exercice 1 - Partie A - Question 1

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}%
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{tabular}{c}
Concentration en\\
pesticide (en mg/l)\\
$(x_i)$
\end{tabular}
& 0&1&4&5&6&7&8&10\\
\hline
\begin{tabular}{c}
Nombre d'œufs\\
pondus dans le mois\\
$(N_i)$
\end{tabular}
&249&248&246&230&130&50&40&35\\
\hline
\begin{tabular}{c}
\\
$y_i = -\text{ln}\left(\dfrac{250}{N_i}-1 \right)$
\\
\\
\end{tabular}
&5,52&&&&0,08&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


Exercice 1 - Partie C - Question 3


\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\clip (-0.9,-0.65) rectangle (15.65,11.3);
\draw[ultra thin, lightgray, step=0.2] (-1,-1) grid (16,12);
\draw[very thin, gray] (-1,-1) grid (16,12);
\draw[thick,->,>=latex] (-1,0) -- (15.6,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-0.6) -- (0,11.3);
\foreach \i in {1,...,15}{
\draw  (\i,-0.05) node[fill=white,below] {\i};
}
\foreach \i [evaluate=\i as \y using int(\i*25)] in {1,...,11}{
\draw  (-0.1,\i) node[fill=white,left] {\y};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}