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\newcolumntype{P}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1}}
\newcommand{\ode}{équation différentielle}
\newcommand{\mmc}{méthode des moindres carrés}
\newcommand{\va}{variable aléatoire}
\newcommand{\pr}{probabilité}
\newcommand{\N}{loi normale}
\newcommand{\moy}{moyenne}
\newcommand{\sd}{écart type}
\newcommand{\prel}{prélèvement}
\newcommand{\ech}{échantillon}
\newcommand{\iv}{intervalle}
\newcommand{\evt}{événement}
\newcommand{\lex}{loi exponentielle}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\newcommand{\om}{eau minérale}
\newcommand{\QCM}{questionnaire à choix multiple}
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{Partie \theenumi{} : }}
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\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
\renewcommand{\theenumiii}{\alph{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\theenumiii)}
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\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{\textbullet}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center} 
\tikzstyle{cadre}=[very thick, rectangle, rounded corners, draw=black, top color=yellow!10, bottom color=yellow!20!gray]
\begin{tikzpicture}
\node [cadre]{%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	\begin{center}
	\Large {Brevet de Technicien\\ Supérieur\\
	\textbf{Groupement D}}
	\end{center}
	\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\textsc{\textbf{Mathématiques} \\ \rule{4cm}{0.5pt} \vspace{10mm} \\ Session 2019}\\
\vspace{10mm}
Durée: 2 heures\\
\vspace{20mm}
\textsc{
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
Spécialités & Coeff \\ 
\hline
Analyses de biologie médicale  & 1 \\ \hline 
Bio analyses et contrôles   & 2 \\ \hline 
Biotechnologies   & 1 \\ \hline 
europlastics et composites & 1,5 \\ \hline 
Métiers de l'eau   & 1,5 \\ \hline 
Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries & 2 \\ \hline 
\end{tabular} 
}
\end{center}
\vspace{0,5cm}
\vfill
\begin{center}
\tikzstyle{mybox} = [draw=black, fill=yellow!10, very thick,
    rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt]
\tikzstyle{fancytitle} =[fill=black!90, text=white, very thick, rounded corners, draw=black, rectangle]
%
\begin{tikzpicture}
\node [mybox] (box) {%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé. 
    \end{minipage}
    };
\node[fancytitle] at (box.north) {Moyens de calcul autorisés};
\end{tikzpicture}
%
\end{center}

\hfill\emph{La feuille d'annexes est à rendre avec la copie.}


\newpage
\begin{center} 
\begin{large}
\textbf{EXERCICE 1 (10 points)}
\end{large}
\end{center}

\textit{Staphylococcus Aurerus} ($SA$), plus communément appelé staphylocoque doré, est une bactérie responsable de nombreuses intoxications alimentaires. Elle est naturellement présente chez l'homme. Déposée sur un aliment et sous certaines conditions (comme notamment la présence suffisante de nutriments), elle se développe très fortement et produit des toxines. Ces toxines, une fois ingérées, sont responsables de troubles alimentaires, qui peuvent aller, dans certains cas extrêmes, jusqu'à la mort de la personne touchée.\\

\begin{enumerate}

\item \textbf{Équation différentielle}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur l'intervalle $[0;+\infty[$ de l'\ode{} $20y'-20,8y=0$ où $y$ une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0;+\infty[$.\\

\item En déduire la fonction $f$ solution de cette \ode{} qui vérifie $f(0)=10$.\\
\end{enumerate}

\item \textbf{Modèle exponentiel}

On souhaite étudier la croissance de bactéries $SA$ à température ambiante sur un échantillon de mix (le mix est un mélange contenant en grande partie du lait permettant la fabrication de glaces à l'italienne).\\

On suppose que 10 bactéries sont déposées en même temps sur 1 g de mix. Voici les relevés du nombre de bactéries $SA$ par heure, mesuré à partir du moment où les bactéries sont déposées sur le mix.\\ 

\begin{tabular}{|P{2,75cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|}
\hline 
\rule[1em]{0pt}{0.5em}Heure ($t_i$) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 
\hline 
\rule[1em]{0pt}{1em}Quantité de $SA$ ($N_i$) & 10 & 27 & 78 & 232 & 650 & 1800 & 5100 & 14100 & 39000 \\
\hline 
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item On effectue un changement de variable de type logarithmique : $z_i = ln(N_i)$. Compléter le tableau donné en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. On arrondira au centième.\\

\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement $\Delta$ du nuage de points $(t_i , z_i)$ par la \mmc{} sous la forme $z=at+b$. On arrondira les valeurs de $a$ et $b$ au millième.\\
\item En utilisant la question précédente, déterminer une expression de la fonction $N$ qui modélise le nombre de bactéries $SA$ à l'instant $t$ exprimé en heures.\\ 

Dans la suite, on prendra $N(t) = 10 \e^{1,04 t}$ pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0;+\infty[$. On admet que la fonction $N$ modélise le nombre de bactéries $SA$ relevées sur le mix en fonction du temps.\\

\item Une population donnée de bactéries voit son effectif doubler au bout d'un temps appelé « temps de génération bactérienne » et noté $G$. Estimer cette durée $G$ en minutes.\\

\item Calculer la limite de $N$ en $+\infty$.
\end{enumerate}


\newpage

\item \textbf{Modèle logistique}

Dans cette partie, on étudie et on utilise un deuxième modèle, appelé modèle logistique et défini par une fonction $M$ qui, à tout instant $t$ exprimé en heures, associe le nombre $M(t)$ de bactéries de $SA$ à l'instant $t$ donné par :

$$M(t) = \dfrac{\np{13500}}{\np{1350} \times \e^{-1,04t}+1}$$

\begin{enumerate}

\item La dérivée de $M$ est fournie par un logiciel de calcul formel :

$$M'(t) = \dfrac{\np{13500} \times \np{1350} \times 1,04 \times \e^{-1,04 t}}{\left( \np{1350} \times \e ^{-1,04 t} +1 \right)^2}$$

Étudier les variations de la fonction $M$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$.\\

\item

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $M$ en $+\infty$.
\item L'un des modèles de croissance de bactéries $SA$ (exponentiel ou logistique) est plus vraisemblable. Lequel ?\\
\end{enumerate}

\medskip

\emph{La courbe représentative de la fonction $M$ est présentée ci-dessous.}


\pgfplotsset{yticklabel style={/pgf/number format/fixed,/pgf/number format/1000 sep={}},scaled y ticks=false}
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[grid=both,width=16cm,height=8cm,xmin=0,xmax=17,
ymin=0,ymax=14000,
xtick={0,1,...,17}, ytick={0,2000,...,14000},
grid style={line width=0.9pt, black!40!white, opacity=0.5},xtick style={draw=none},ytick style={draw=none},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=80]
\addplot[domain=0:17]{13500/(1350*e^(-1.04*x)+1)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

\item Déterminer le temps nécessaire pour que le nombre de bactéries $SA$ dépasse \np{10000}. Arrondir à l'heure.\\

\emph{Pour tout instant $t$ exprimé en heures, le réel $M'(t)$ est appelé vitesse de prolifération bactérienne.}\\

\item Dans cette question, on s'intéresse à l'instant où la vitesse de prolifération bactérienne est maximale. Parmi les quatre propositions suivantes, une seule correspond à une valeur approchée de cet instant. Laquelle ? Pourquoi ?

%\begin{enumerate}
%\item $t$ = 4 h
%\item $t$ = 7 h
%\item $t$ = 9 h
%\item $t$ = 16 h
%\end{enumerate}

\begin{center}
a. $t$ = 4 h $\qquad$ b. $t$ = 7 h $\qquad$ c. $t$ = 9 h $\qquad$ d. $t$ = 16 h
\end{center}

\end{enumerate}

\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\begin{large}
\textbf{EXERCICE 2 (10 points)}
\end{large}
\end{center}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les \pr s seront données en valeurs décimales à $10^{-4}$ près.}\\

\begin{center}
\textit{\textbf{Les parties A, B et C peuvent se traiter de façon indépendante.}}
\end{center}

On s'intéresse à la production industrielle de bouteilles d'\om{} naturelle ou d'eau de source. On s'intéresse à la qualité de l'eau contenue dans les bouteilles produites ; plusieurs paramètres sont pris en compte, notamment microbiologiques (présence de bactéries, de coliformes, de germes \ldots ) et physico-chimiques (présence d'arsenic, de nickel \ldots ).

\bigskip
\begin{enumerate}
\item \textbf{Eau de source et eau minérale naturelle}

En 2017, des analyses identiques ont été menées sur la qualité de l'eau de \np{126000} bouteilles produites. Ainsi \np{37000} bouteilles d'\om{} naturelle et \np{89000} bouteilles d'eau de source ont été analysées.\\

Parmi les analyses portant sur les bouteilles d'\om{} naturelle, on constate que 0,12 \% des analyses révèlent une eau non conforme. Parmi celles portant sur les bouteilles d'eau de source, on constate que 0,08 \% des analyses révèlent une eau non conforme.\\

On choisit le résultat d'une analyse d'une bouteille d'eau au hasard parmi toutes celles qui ont été réalisées.\\

Dans la suite, on notera les évènements suivants :\\

\begin{itemize}
\item[$M$] : « L'analyse porte sur une bouteille d'\om{} naturelle » ;
\item[$S$] : « L'analyse porte sur une bouteille d'eau de source » ;
\item[$N$] : « L'analyse révèle une eau non conforme ».\\
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Calculer les \pr s $P(M)$ et $P(S)$.\\

\emph{Pour les deux questions suivantes, on pourra s'aider d'un arbre pondéré.}\\

\item Calculer la \pr{} de choisir une analyse qui révèle une eau non conforme.\\

\item Calculer la \pr{} qu'une analyse porte sur une bouteille d'\om{} naturelle, sachant qu'elle révèle une eau non conforme.
\end{enumerate}


\newpage
\item \textbf{Étude du nitrate présent dans l'eau}

Une entreprise produisant des bouteilles d'\om{} naturelle affirme que la \moy{} du taux de nitrate de sa production est égale à 4,5 mg/L. L'objectif de cette partie est de juger de la véracité de cette affirmation.\\

On note  $\mu$ la \moy{}, mesurée en mg/L, du taux de nitrate de la production, et $\sigma$ son \sd.\\

On réalise 600 \prel s dans la production. Les résultats sont les suivants :\\

\begin{tabular}{|P{2.75cm}|P{1.75cm}|P{1.75cm}|P{1.75cm}|P{1.75cm}|P{1.75cm}|P{1.75cm}|}
\hline 
Taux de nitrate (en mg/L) & $[4,2 ; 4,3 [$ & $[4,3 ; 4,4 [$ & $[4,4 ; 4,5 [$ & $[4,5 ; 4,6 [$ & $[4,6 ; 4,7 [$ & $[4,7 ; 4,8 [$ \\
\hline
Nombre de prélèvements & 5 & 57 & 181 & 233 & 110 & 14 \\
\hline
\end{tabular}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item En faisant l'hypothèse que les valeurs observées sont respectivement celles du centre de chaque classe, déterminer, à l'aide de la calculatrice, la \moy{} $\bar{x}$ et l'\sd{} $s'$ de cet échantillon. On donnera les résultats à $10^{-4}$ près.\\

\item Vérifier que $s=0,0976$ est un estimateur de l'\sd{} $\sigma$.\\

\item On souhaite réaliser le test bilatéral suivant, au seuil de 5 \% :

\begin{center}
$H_0$ : $\mu = 4,5$ contre $H_1$ : $\mu \neq 4,5$
\end{center}

Soit $\bar{X}$ la \va{} qui à tout échantillon de 600 prélèvements associe la \moy{} du taux de nitrate de ces prélèvements. On considère que $\bar{X}$ suit la \N{} d'espérance $\mu$ et d'\sd{} $\frac{\sigma}{\sqrt{600}}$.\\

Dans la suite, on remplace $\sigma$ par son estimateur $s = 0,0976$. Sous l'hypothèse $H_0$, $\bar{X}$ suit donc approximativement la \N{} d'espérance 4,5 et d'\sd{} 0,004.

\begin{enumerate}
\item On a présenté \textbf{en annexe 2} les représentations de trois densités de \pr. Laquelle est associée à la \va{} $\bar{X}$ ? Justifier la réponse.
\item Donner un nombre réel $a$ à $10^{-3}$ près vérifiant : $P\left( 4,5-A \leq \bar{X} \leq 4,5+a \right) \approx 0,95$.
\item Énoncer la règle de décision de ce test.
\item D'après les résultats obtenus dans l'échantillon donné, peut-on accepter l'hypothèse $\mu = 4,5$ ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\item \textbf{Distribution}


L'entreprise précédente fournit une grande surface en \om . Chaque semaine, 540 bouteilles contenant un litre d'\om{} sont réceptionnées par la grande surface.\\

Une bouteille d'\om{} d'un litre est de très bonne qualité si elle contient moins de 4,7 mg de nitrate.\\

On prélève au hasard un lot de 540 bouteilles dans la production, jugée suffisamment importante pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note alors $Y$ la \va{} qui, à chaque lot de 540 bouteilles, associe le nombre de bouteilles de très bonne qualité du lot.\\

On admet que $Y$ suit une loi binomiale dont une représentation graphique est fournie ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[ybar,bar width=5pt,grid=none,width=16cm,height=12cm,xmin=511,xmax=541,ymin=0,ymax=0.12,
xtick={512,514,...,540},ytick={0,0.01,...,0.12},
grid style={line width=0.9pt, black!40!white, opacity=0.5},
xtick style={draw=none},
ticklabel style={font=\tiny\sffamily}]
%\addplot+[fill][domain=512:540]{e^(-(x-528)^2/2/(528/45))/(528/45)^0.5/2.506628};
\addplot+[fill] coordinates {
(512,0.00002670515639205147)
(513,0.00006413402080898123)
(514,0.00014823193914604985)
(515,0.00032927638520986556)
(516,0.000701945782424131)
(517,0.001433761598142904)
(518,0.002801094087491538)
(519,0.0052243912845699484)
(520,0.009283341436428132)
(521,0.015680116053851712)
(522,0.025112216515364008)
(523,0.038028442600704156)
(524,0.054284876078867665)
(525,0.07279343382766242)
(526,0.09133776868109722)
(527,0.10676293265190855)
(528,0.11565984370623406)
(529,0.11544120506028639)
(530,0.1054217797154312)
(531,0.08735514703350218)
(532,0.0650237560625316)
(533,0.042942518075067715)
(534,0.024768343758653253)
(535,0.012222135985578407)
(536,0.0050165483522896384)
(537,0.0016441573743072161)
(538,0.00040339920707909327)
(539,0.00006586109503332126)
(540,0.00000536645959530765)
};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Au vu de ce graphique, un biologiste estime que la \pr{} qu'un lot de 540 bouteilles prélevé au hasard dans la production contienne moins de 520 bouteilles de très bonne qualité est environ égale à 0,005. A-t-il raison ? Justifier la réponse.

\item On admet que le nombre moyen de bouteilles de très bonne qualité sur l'ensemble des \ech{}s de 540 bouteilles est égal à 528. Donner alors les paramètres $n$ et $p$ de la loi binomiale suivie par la \va{} $Y$. On arrondira $p$ à $10^{-3}$. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage
\textbf{\textit{Annexe 1: Exercice 1 - Question B.1 - À rendre avec la copie.}}
\par{}
\medskip


\begin{tabular}{|P{2,75cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|P{1,25cm}|}
\hline 
\rule[1em]{0pt}{0.5em}Heure ($t_i$) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 
\hline 
\rule[1em]{0pt}{1em}Quantité de $SA$ ($N_i$) & 10 & 27 & 78 & 232 & 650 & 1800 & 5100 & 14100 & 39000 \\
\hline 
\rule[1em]{0pt}{1.5em}$z_i=ln(N_i)$ & & & & & & & & & \\
\hline 
\end{tabular} 

\bigskip

\textbf{\textit{Annexe 2: Exercice 2 - Question B.3.a}}

\bigskip

\begin{tabular}{|P{3cm}|P{12cm}|}
\hline 
\textit{\textbf{Densité n°1}} &
\pgfplotsset{yticklabel style={/pgf/number format/fixed,/pgf/number format/precision=2},scaled y ticks=false}
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[grid=both,width=10cm,height=6.5cm,xmin=4.36,xmax=4.62,ymin=0,ymax=10,
xtick={4.36,4.38,...,4.62},ytick={0,1,...,10},
grid style={line width=0.9pt, black!40!white, opacity=0.5},xtick style={draw=none},ytick style={draw=none},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=80]
\addplot[domain=4.36:4.62]{e^(-(x-4.5)^2/2/.04^2)/.04/2.506628};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\\
\hline 
\textit{\textbf{Densité n°2}} &
\pgfplotsset{yticklabel style={/pgf/number format/fixed,/pgf/number format/precision=2},scaled y ticks=false}
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[grid=both,width=10cm,height=6.5cm,xmin=4.48,xmax=4.52,ymin=0,ymax=100,
xtick={4.48,4.485,...,4.52},ytick={0,20,...,100},
grid style={line width=0.9pt, black!40!white, opacity=0.5},xtick style={draw=none},ytick style={draw=none},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=80]
\addplot[domain=4.48:4.52]{e^(-(x-4.5)^2/2/.004^2)/.004/2.506628};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\\
\hline
\textit{\textbf{Densité n°3}} &
\pgfplotsset{yticklabel style={/pgf/number format/fixed,/pgf/number format/precision=3},scaled y ticks=false}
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[grid=both,width=10cm,height=6.5cm,xmin=4.46,xmax=4.5,ymin=0,ymax=100,
xtick={4.46,4.465,...,4.5},ytick={0,10,...,100},
grid style={line width=0.9pt, black!40!white, opacity=0.5},xtick style={draw=none},ytick style={draw=none},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=80]
\addplot[domain=4.46:4.52]{e^(-(x-4.48)^2/2/.004^2)/.004/2.506628};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\\
\hline
\end{tabular}



\end{document}