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\newcolumntype{P}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1}}
\newcommand{\ode}{équation différentielle}
\newcommand{\mmc}{méthode des moindres carrés}
\newcommand{\va}{variable aléatoire}
\newcommand{\pr}{probabilité}
\newcommand{\N}{loi normale}
\newcommand{\moy}{moyenne}
\newcommand{\sd}{écart type}
\newcommand{\prel}{prélèvement}
\newcommand{\ech}{échantillon}
\newcommand{\iv}{intervalle}
\newcommand{\evt}{événement}
\newcommand{\lex}{loi exponentielle}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\newcommand{\QCM}{questionnaire à choix multiple}
\newcommand{\tb}{la température de la barquette}
\newcommand{\crr}{cellule de refroidissement rapide}
\newcommand{\bs}{barquettes de plats cuisinés}
\newcommand{\sn}{scanographie}
\newcommand{\del}{délai d'attente}
\newcommand{\dup}{d'un patient}
\newcommand{\ho}{hôpital}
\newcommand{\tu}{tumeur}
\newcommand{\ce}{cerveau}
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{Partie \theenumi }}
\renewcommand{\theenumii}{\arabic{enumii}}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii.}
\renewcommand{\theenumiii}{\alph{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\theenumiii)}
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\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{\textbullet}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center} 
\tikzstyle{cadre}=[very thick, rectangle, rounded corners, draw=black, top color=yellow!10, bottom color=yellow!20!gray]
\begin{tikzpicture}
\node [cadre]{%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	\begin{center}
	\Large {Brevet de Technicien Supérieur\\
	\textbf{Groupement D}}
	\end{center}
	\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\textsc{\textbf{Mathématiques} \\ \rule{4cm}{0.5pt} \vspace{10mm} \\ Session 2018}\\
\vspace{10mm}
Durée: 2 heures\\
\vspace{20mm}
\textsc{
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
Spécialités & Coeff \\ 
\hline
Analyses de biologie médicale  & 1 \\ \hline 
Bio analyses et contrôles   & 2 \\ \hline 
Biotechnologies   & 1 \\ \hline 
europlastic et composites & 2 \\ \hline 
Métiers de l'eau   & 1,5 \\ \hline 
Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries & 2 \\ \hline 
\end{tabular} 
}
\end{center}
\vspace{0,5cm}
\vfill
\begin{center}
\tikzstyle{mybox} = [draw=black, fill=yellow!10, very thick,
    rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt]
\tikzstyle{fancytitle} =[fill=black!90, text=white, very thick, rounded corners, draw=black, rectangle]
%
\begin{tikzpicture}
\node [mybox] (box) {%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé. 
    \end{minipage}
    };
\node[fancytitle] at (box.north) {Matériel autorisé};
\end{tikzpicture}
%
\end{center}

\hfill\emph{La page 6/6 est un formulaire.}


\newpage
 
\begin{large}
\textbf{EXERCICE 1 (9 points)}
\end{large}

La \sn{} est un procédé radiologique, réalisé à l'aide d'un scanner, qui permet de reconstruire informatiquement l'image d'une coupe du corps humain à partir d'une série d'analyses. Elle permet notamment de détecter des \tu{}s. Dans cet exercice, on s'intéresse aux \sn{}s réalisées dans un \ho{}.

\begin{enumerate}
\item $\qquad$\\


Une étude effectuée dans cet \ho{} montre que :
\begin{itemize}
\item 60 \% des \sn{}s effectuées concernent le \ce{} et, parmi celles-ci, 20 \% détectent une \tu{} ;
\item 90 \% des autres \sn{}s effectuées ne détectent pas de \tu{} au patient.
\end{itemize}

\bigskip

Parmi les patients de l'\ho{} qui ont besoin d'une \sn{}, on en choisit un au hasard. On note $C$ l'\evt{} « le patient fait une \sn{} du \ce{} » et $T$ l'\evt{} « le patient a une \tu{} ».

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre : 
\tikzstyle{level 1}=[level distance=2cm, sibling distance=2cm]
\tikzstyle{level 2}=[level distance=2cm, sibling distance=1cm]
\tikzstyle{bag} = [circle, minimum width=5pt,fill, inner sep=0pt]
\tikzstyle{end} = [circle, minimum width=5pt,fill, inner sep=0pt]
\begin{tikzpicture}[grow=right,baseline=0.5em]
\node[bag] {}
    child {
        node[bag, label=above:{...}] {}        
            child {
                node[end,label=right: {$\overline{T}$}] {}
                edge from parent
                node[below]  {...}
            }
            child {
                node[end]{}
                edge from parent
                node[above] {...}
            }
            edge from parent 
            node[below]  {...}
    }
    child {
        node[bag, label=above:{$C$}] {}        
        child {
                node[end, label=right:{...}] {}
                edge from parent
                node[below]  {...}
            }
            child {
                node[end, label=right:{$T$}] {}
                edge from parent
                node[above] {...}
            }
        edge from parent         
            node[above] {...}
    };
\end{tikzpicture}

\item Montrer que la \pr{} que le patient a une \tu{}, est égale à 0,16.
\item La \sn{} permet de détecter une \tu{} au patient. Quelle est la \pr{} que cette \tu{} ait été détectée au \ce{} ?
\item Sur un \ech{} de 40 patients atteints d'une \tu{} au \ce{}, un médecin constate que 25 patients ont été guéris après un traitement approprié.
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$ de patients guéris d'une \tu{} au \ce{} après un traitement approprié.
\item Estimer maintenant cette proportion $p$ par un \iv{} de confiance au seuil de 95 \% (on prendra des valeurs approchées à $10^{-3}$ près pour les bornes de l'\iv{}).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item $\qquad$\\

On admet que le \del{} en jours pour réaliser une \sn{} à cet \ho{} suit une \lex{} de paramètre $\lambda$ et que le \del{} moyen est égal à 10 jours.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de $\lambda$.
\item Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une seule représentation correspond à la densité de \pr{} de cette \lex{}. Sans justifier la réponse, indiquer la représentation correspondante.

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
\textbf{Représentation A} & \textbf{Représentation B} & \textbf{Représentation C} \\ 
\hline 
\pgfplotsset{yticklabel style={/pgf/number format/fixed,/pgf/number format/precision=2},scaled y ticks=false}
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[grid=both,width=5.5cm,height=5cm,xmin=0,xmax=42,ymin=0,ymax=0.104,xtick={0,10,...,40}, ytick={0,0.02,...,0.102},minor xtick={0,2,...,42},minor ytick={0,0.004,...,0.104},grid style={line width=0.9pt, black!40!white, opacity=0.5},xtick style={draw=none},ytick style={draw=none},minor grid style={line width=0.3pt, black!10!white, opacity=0.3},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=40]
\addplot[domain=0:42]{0.1*e^(-0.1*x)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
& \pgfplotsset{yticklabel style={/pgf/number format/fixed,/pgf/number format/precision=2},scaled y ticks=false}
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[grid=both,width=5.5cm,height=5cm,xmin=-42,xmax=42,ymin=0,ymax=0.104,xtick={-40,-20,...,40}, ytick={0,0.02,...,0.102},minor xtick={-40,-36,...,40},minor ytick={0,0.004,...,0.104},grid style={line width=0.9pt, black!40!white, opacity=0.5},xtick style={draw=none},ytick style={draw=none},minor grid style={line width=0.3pt, black!10!white, opacity=0.3},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=40]
\addplot[domain=0:42]{0.1*e^(-0.1*x)};
\addplot[domain=-42:0]{0.1*e^(0.1*x)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
& \pgfplotsset{yticklabel style={/pgf/number format/fixed,/pgf/number format/precision=1},scaled y ticks=false}
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[grid=both,width=5.5cm,height=5cm,xmin=0,xmax=15,ymin=0,ymax=0.46,xtick={0,5,10,15}, ytick={0,0.1,...,0.4},minor xtick={0,1,...,15},minor ytick={0,0.2,...,0.46},grid style={line width=0.9pt, black!40!white, opacity=0.5},xtick style={draw=none},ytick style={draw=none},minor grid style={line width=0.3pt, black!10!white, opacity=0.3},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=40]
\addplot[domain=0:15]{0.1*e^(0.1*x)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
 \\
\hline
\end{tabular}



\newpage
\item On rappelle que, si $T$ est une \va{} qui suit la \lex{} de paramètre $\lambda$, alors pour tout réel $t$ de $[0;+\infty[$, on a : $P(T \leq t)=1-\e^{-\lambda t}$.

Déterminer alors la \pr{}, arrondie au millième, que le \del{} \dup{} pour une \sn{}, ne dépasse pas 8 jours.

\end{enumerate}

\item $\qquad$\\

\emph{Cette partie est un \QCM{}. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. On ne demande pas de justification. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.}

\medskip

On admet que la \pr{}, arrondie au centième, que le \del{} \dup{} pour une \sn{} ne dépasse pas 8 jours, est égale à 0,55. 

\medskip

On construit aléatoirement un \ech{} de 200 patients de l'\ho{}, qui se voient prescrire une \sn{}. On appelle $X$ la \va{} égale au nombre de ces patients dont le \del{} ne dépasse pas 8 jours.

\medskip

\underline{Question 1 :}

La \va{} $X$ suit :

\begin{tabular}{p{1cm}ll}
 & A) & la loi binomiale de paramètres 200 et 0,55 ;\\
 & B) & la \N{} de paramètres 200 et 0,55 ;\\
 & C) & la \lex{} de paramètres 200 et 0,55.
\end{tabular}

\medskip


\underline{Question 2 :}

La \pr{} que le quart de ces 200 patients ait un \del{} qui ne dépasse pas 8 jours est égale à :

\begin{tabular}{p{5cm}p{5cm}p{5cm}}
A) $P(X \leq 8)$ ; & $P\left( X=\dfrac{1}{4} \right)$ ; & C) $P(X=50)$. \\ 
\end{tabular} 

\medskip

\underline{Question 3 :}

La \pr{} que moins de la moitié des 200 patients ait un \del{} qui ne dépasse pas 8 jours est égale à $10^{-3}$ près à :

\begin{tabular}{p{5cm}p{5cm}p{5cm}}
A) 0,021 ; & B) 0,068 ; & C) 0,932. \\ 
\end{tabular} 

\medskip

\underline{Question 4 :}

On admet que la loi suivie par la \va{} $X$ peut être approchée par une \N{}. La représentation graphique de cette \N{} est alors :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
\textbf{Réponse (A) :} & \textbf{Réponse (B) :} & \textbf{Réponse (C) :} \\ 
\hline 
\pgfplotsset{yticklabel style={/pgf/number format/fixed,/pgf/number format/precision=2},scaled y ticks=false}
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[grid=both,width=5cm,height=5cm,xmin=80,xmax=138,ymin=0,ymax=0.06,xtick={80,90,...,130}, ytick={0,0.02,0.04},minor xtick={80,85,...,135},minor ytick={0,0.004,...,0.06},grid style={line width=0.9pt, black!40!white, opacity=0.5},xtick style={draw=none},ytick style={draw=none},minor grid style={line width=0.3pt, black!10!white, opacity=0.3},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=80]
\addplot[domain=80:138]{e^(-(x-110)^2/2/7.03562^2)/7.03562/2.506628};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
 & \pgfplotsset{yticklabel style={/pgf/number format/fixed,/pgf/number format/precision=2},scaled y ticks=false}
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[grid=both,width=5cm,height=5cm,xmin=80,xmax=138,ymin=0,ymax=0.42,xtick={80,90,...,130}, ytick={0,0.1,...,0.5},minor xtick={80,85,...,135},minor ytick={0,0.02,...,0.4},grid style={line width=0.9pt, black!40!white, opacity=0.5},xtick style={draw=none},ytick style={draw=none},minor grid style={line width=0.3pt, black!10!white, opacity=0.3},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=64]
\addplot[domain=100:120]{e^(-(x-110)^2/2)/2.506628};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
 & \pgfplotsset{yticklabel style={/pgf/number format/fixed,/pgf/number format/precision=2},scaled y ticks=false}
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[grid=both,width=5cm,height=5cm,xmin=-30,xmax=30,ymin=0,ymax=0.06,xtick={-30,-20,...,30}, ytick={0,0.02,0.04,0.06},minor xtick={-30,-25,...,30},minor ytick={0,0.004,...,0.06},grid style={line width=0.9pt, black!40!white, opacity=0.5},xtick style={draw=none},ytick style={draw=none},minor grid style={line width=0.3pt, black!10!white, opacity=0.3},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=80]
\addplot[domain=-30:30]{e^(-x^2/2/7.03562^2)/7.03562/2.506628};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}
\end{enumerate}


\newpage
\begin{large}
\textbf{EXERCICE 2 (11 points)}
\end{large}

Lors du processus de fabrication de plats cuisinés en restauration collective, le refroidissement est une phase cruciale pour éviter la croissance de germes. La réglementation impose que le refroidissement rapide des \bs{} soit opéré de telle manière que leur température ne demeure pas à des valeurs comprises entre +10°C et +63°C pendant plus de deux heures (arrêté du 8 octobre 2013, dispositions particulières applicables aux établissements de restauration collective).
\bigskip

Une entreprise de restauration collective fabrique des \bs{}, soumises à une attention particulière : Lorsqu'elles ont atteint une température de +63°C, elles sont placées dans une \crr{}, et cela afin de respecter la réglementation précédente.



\begin{enumerate}

\item $\qquad$\\

On procède à deux réglages différents de la \crr{} (réglage n° 1 et réglage n° 2). Sur le graphique ci-dessous, sont représentées les courbes C1 et C2, qui correspondent respectivement à la température d'une barquette placée dans la cellule en fonction du temps pour le réglage n° 1 et pour le réglage n° 2.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[grid=both,width=13.5cm,height=7cm,xmin=0,xmax=3.375,ymin=0,ymax=70,xtick={0,0.25,...,3.25}, ytick={0,10,...,60},minor xtick={0,0.05,...,3.35},minor ytick={0,2,...,70},grid style={line width=0.9pt, black!80!white},xtick style={draw=none},ytick style={draw=none},minor grid style={line width=0.3pt, black!10!white, opacity=0.3},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},ylabel={Température en °C},xlabel={Temps en heures}]
\addplot[domain=0:3.5]{3+60*e^(-0.765*x)};
\node at (axis cs:0.65,45) {C1};
\addplot[domain=0:3.5]{3+60*e^(-1.2*x)};
\node at (axis cs:0.4,34) {C2};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Indiquer \tb{} au bout de 90 minutes dans la \crr{} avec le réglage n° 1.
\item \begin{enumerate}
\item Le réglage n° 1 satisfait-il à la réglementation définie ci-dessus ? Justifier.
\item Le réglage n° 2 satisfait-il à la réglementation définie ci-dessus ? On estimera, avec ce réglage, combien de temps la barquette doit rester dans la \crr{} pour atteindre une température de +10°C.
\end{enumerate}
\item Un employé en charge du réglage de la \crr{} affirme que \tb{} baisse de 5 \% toutes les minutes avec le réglage n° 2. Expliquer pourquoi cette affirmation est en contradiction avec la courbe C2. 
\newpage
\item Dans cette question, on admet que \tb{} baisse de 2 \% toutes les minutes avec un réglage n° 3. Recopier et compléter les lignes 3, 4 et 5 de l'algorithme ci-dessous afin que ce dernier permette de déterminer au bout de combien de temps \tb{} sera inférieure à +10°C :
\begin{center}\begin{tabular}{|c|p{8cm}|}
\hline 
1 & $\text{N}\leftarrow 0$ \\ 
2 & $\text{T}\leftarrow 63$ \\ 
3 & Tant que ................ \\
4 & $\text{N}\leftarrow $ ................\\ 
5 & $\text{T}\leftarrow $ ................\\ 
6 & Fin Tant que \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}
\end{enumerate}

\item $\qquad$\\

Dans toute cette partie, la température de la \crr{} est réglée à +3°C (afin que \tb{} ne soit jamais inférieure à +3°C).

Pour le réglage n° 2, \tb{} est modélisée par une fonction $f$, qui, à tout temps $t$ en heures, associe la température $f(t)$ de la barquette en °C.

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est solution de l'\ode{} $y'=-1,2(y-3)$ sur $[0;+\infty[$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que cette \ode{} s'écrit encore sous la forme (E) : $y'+1,2y=3,6$.
\item Déterminer les solutions de l'\ode{} $y'+1,2y=0$ sur $[0;+\infty[$.
\item Vérifier que la fonction constante $t \mapsto 3$ est une solution particulière de l'\ode{} (E). En déduire l'ensemble des solutions de l'\ode{} (E).
\item Expliquer pourquoi $f(0)=63$. Déduire de ce qui précède une expression de $f(t)$ pour tout réel $t$ de $[0;+\infty[$.
\end{enumerate}

Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel $t$ de $[0;+\infty[$, $f(t)=60\e^{-1,2t}+3$.

\item Donner la valeur arrondie à $10^{-2}$ de $f(2)$. Interpréter dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter dans le contexte de l'exercice.
\item Avec un logiciel de calcul formel, on obtient : $\displaystyle\dfrac{1}{1,5-0}\int_{0}^{1,5}f(t)\text{d}t \approx 30,8$ (à $10^{-1}$ près). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Pour le réglage n° 1, \tb{} est modélisée par une fonction $g$, qui, à tout temps $t$ en heures, associe la température $g(t)$ de la barquette en °C. On admet que la courbe C1 est la représentation graphique de cette fonction $g$.

En s'inspirant de la forme de l'expression de la fonction $f$, proposer une expression de $g(t)$ pour tout réel $t$ de $[0;+\infty[$. Expliquer la démarche.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large{Formulaire}}
\bigskip
\par{}
\bigskip

\begin{tabular}{|P{18cm}|}
\hline 
\rule[0.75em]{0pt}{0.75em}\textbf{Intervalle de confiance d'une proportion}\\ [1em]
 On mesure une fréquence $f$ d'un caractère dans un \ech{} de taille $n$ et on souhaite estimer la proportion $p$ inconnue dans la population toute entière. L'\iv{} de confiance à 95 \% de la proportion $p$ inconnue est l'\iv{} centré sur $f$ : \\[1em]
$$ \left[ f-1,96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}; f+1,96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} \right] $$\\
\hline 
\end{tabular} 


\bigskip
\par{}
\bigskip

\begin{tabular}{|P{4cm}|P{4cm}|P{4cm}|P{4cm}|}
\hline 
\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Lois de \pr{} suivies par une \va{} \textit{X}}} \\ 
\hline 
\rule[0.75em]{0pt}{0.75em} \emph{Nom de la loi} & \emph{Paramètre(s)} & \emph{Espérance $E(X)$} & \emph{Écart-type $\sigma(X)$} \\[1em] 
\hline 
\rule[1em]{0pt}{1em} Binomiale & $n$ et $p$ & $np$ & $\sqrt{np(1-p)}$ \\[1em] 
\hline 
\rule[1em]{0pt}{1em} Normale & $\mu$ et $\sigma$ & $\mu$ & $\sigma$ \\[1em] 
\hline 
\rule[1em]{0pt}{1em} Poisson & $\lambda$ & $\lambda$ & $\sqrt{\lambda}$ \\[1em] 
\hline 
\rule[1em]{0pt}{1em} Exponentielle & $\lambda$ & $\dfrac{1}{\lambda}$ & $\dfrac{1}{\lambda}$ \\[1em]
\hline 
\end{tabular} 


\bigskip
\par{}
\bigskip

\begin{tabular}{|c|}
\hline 
\rule[1em]{0pt}{1em}\textbf{Équation différentielle :} $ay'+by=0$ \\ 
\rule[1em]{0pt}{1em} Les solutions sont les fonctions de la forme $f(t)=k \e^{-\frac{b}{a}t}$ où $k$ est une constante réelle. \\[1em]
\hline 
\end{tabular} 

\end{center}


\end{document}