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\begin{document}
\renewcommand{\labelitemi}{\textbullet}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center} 
\tikzstyle{cadre}=[very thick, rectangle, rounded corners, draw=black, top color=yellow!10, bottom color=yellow!20!gray]
\begin{tikzpicture}
\node [cadre]{%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	\begin{center}
	\Large {\textbf{Brevet de Technicien Supérieur\\
	Groupement D}}
	\end{center}
	\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\textsc{Mathématiques \\ \rule{4cm}{0.5pt} \vspace{10mm} \\ Session 2016}\\
\vspace{10mm}
Durée: 2 heures\\
\vspace{20mm}
\textbf{\textsc{
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
Spécialités & Coeff \\ 
\hline \hline
Analyses de biologie médicale  & 1 \\ \hline 
Bio analyses et contrôles   & 2 \\ \hline 
Biotechnologies   & 1 \\ \hline 
Industries plastiques \og{}europlastic\fg{} & 1,5 \\ \hline 
Métiers de l'eau   & 1,5 \\ \hline 
Peintures, encres et adhésifs   & 2 \\ \hline 
Qualité dans les industries alimentaires & 1 \\ \hline 
\end{tabular} 
}
}\end{center}
\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\tikzstyle{mybox} = [draw=black, fill=yellow!10, very thick,
    rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt]
\tikzstyle{fancytitle} =[fill=black!90, text=white, very thick, rounded corners, draw=black, rectangle]
%
\begin{tikzpicture}
\node [mybox] (box) {%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	Toutes les calculatrices de poche, y compris les calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique sont autorisées à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimante. 
    \end{minipage}
    };
\node[fancytitle] at (box.north) {Matériel autorisé};
\end{tikzpicture}
%
\end{center}

\hfill\emph{Circulaire n$^\circ$99-186 du 16 novembre 19999}

\medskip

La page 7/7 est à rendre et à agrafer avec la copie

\newpage
 
\begin{center}\begin{Large}
\textbf{EXERCICE 1 (11 points)}
\end{Large}\end{center}

\medskip


\begin{center}
\tikzstyle{mybox} = [draw=black, fill=yellow!10, very thick,
    rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt]
\tikzstyle{fancytitle} =[fill=black!90, text=white, very thick, rounded corners, draw=black, rectangle]
%
\begin{tikzpicture}
\node [mybox] (box) {%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	Le \textbf{Ténébrion meunier} (\textbf{\textit{Tenebrio molitor}}) est un insecte de l'ordre des coléoptères, de la famille des ténébrionidés. Il est capable de vivre dans des denrées stockées très sèches, notamment dans la farine, d'où son nom de meunier. 

    \end{minipage}
    };
\node[fancytitle] at (box.south) {Wikipédia};
\end{tikzpicture}
%
\end{center}


De par la facilité de son élevage, cet insecte est très utilisé dans les laboratoires de recherche pour des études physiologiques sur son développement et sur son endocrinologie : Sa nymphe est très sensible à l'hormone juvénile par exemple. Le ver est également un très bon appât pour la pêche de la truite en étang.

\medskip


\begin{center}
\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}


\bigskip

\textbf{Partie A}

\par{Kévin, un apprenti boulanger, décide d'élever des vers de farine pour son club de pêche. Il commence son élevage 7 mois avant l'ouverture de la saison de pêche. Dans un large bac adapté qu'il entrepose à 27°C, il dispose de la farine et 500 vers, il laisse se faire les choses. Il suit l'évolution du nombre de vers et obtient les résultats suivants :}


\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
Nombre de quinzaines $t_{i}$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 
\hline 
Nombre de vers $N_{i}$ & 500 & 749 & 1122 & 1681 & 2518 & 3772 & 5650 & 8464 & 12678 & 18992 \\ 
\hline 
\end{tabular} 


\begin{enumerate}
\item Kévin se fait la remarque suivante : \og{} chaque quinzaine la population augmente d'environ 50 \% \fg{}. Expliquer cette modélisation. Est-elle réaliste sur le long terme ?
\item Kévin souhaite connaître le nombre de vers dont il disposera lors de l'ouverture de la prochaine saison. Il présente ses données à son professeur de mathématiques qui lui propose un nouveau modèle à partir du changement de variable suivant : $y_i = ln \left( \dfrac{33000}{N_i}-1 \right)$.
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau donné en annexe. Arrondir au centième.
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement $\Delta$ de $y$ en $t$ par la \mmc . Arrondir les coefficients au centième.
\item Parmi les propositions suivantes quelle est celle qui estime le mieux le nombre de vers pour l'ouverture de la saison de pêche ? Justifier.

\begin{tabular}{|c||c||c||c|}
\hline 
33000 &   146000 &   9200 &   30300 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{enumerate}
\item Maxime, un ami du club, affirme qu'à ce rythme là, le nombre de vers va dépasser \np{50000}. \\
Kévin a déterminé que le nombre de vers en fonction du nombre de quinzaines $t$ est donné approximativement par le nombre:
$$N(t) = \dfrac{33000}{1+75\e^{-0,48t}}.$$
Kévin peut-il confirmer l'affirmation de Maxime ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

De retour à l'école, Kévin apprend que la \tp{} de refroidissement du pain à la sortie du four dépend du type de pain et de la \tp{} ambiante supposée constante de la pièce dans laquelle il est entreposé.

On note $a$ cette \tp{} constante de la pièce, exprimée en degrés Celsius.

Pour $t\geqslant 0$, on désigne par $y(t)$ la \tp{} du pain au bout d'un temps $t$ après sa sortie du four. La durée $t$ est exprimée en heures et la \tp{} $y(t)$ est exprimée en degrés Celsius.

Question préliminaire: Parmi les trois courbes suivantes, quelle est celle qui correspond à l'évolution de la \tp{} du pain à la sortie du four en fonction du temps ? Argumenter votre réponse. 

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
%\hline 
\textbf{Courbe 1} & \textbf{Courbe 2} \\ 
%\hline 
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[width=10cm,height=6.4cm,xmin=0,xmax=12,ymin=0,ymax=200,ytick={0,50,...,200}, ,minor xtick={0,1,...,12},minor ytick={0,10,...,200},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=200]
\addplot[domain=0:12]{28+152*e^(-0.6*x)};
\addplot[domain=0:12]{28};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[width=10cm,height=6.4cm,xmin=0,xmax=12,ymin=0,ymax=200,ytick={0,50,...,200}, ,minor xtick={0,1,...,12},minor ytick={0,10,...,200},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=200]
\addplot[domain=0:12]{180*e^(-0.8*x)};
\addplot[domain=0:12]{28};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\\
\end{tabular}

\medskip
\begin{tabular}{c}
%\hline 
\textbf{Courbe 3}\\ 
%\hline 
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[width=10cm,height=6.4cm,xmin=0,xmax=12,ymin=0,ymax=200,ytick={0,50,...,200}, ,minor xtick={0,1,...,12},minor ytick={0,10,...,200},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=200]
\addplot[domain=0:12]{28+152*e^(-0.6*x)+148*x*e^(-0.6*x)};
\addplot[domain=0:12]{28};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

La fonction $y$ vérifie l'équation différentielle : $(E) \quad : \quad y'(t)+6 y(t) = 6a$.

\medskip

\textbf{I Résolution d'une \ode } 

\medskip

Dans cette partie on considère que le pain est entreposé dans une pièce dont la \tp{} constante est $a$. À la sortie du four, c'est-à-dire à l'instant $t=0$, le pain est à une \tp{} de 180°C.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $[0;+\infty[$ de l'équation $(E_0) \quad : \quad y'+6y = 0$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'\iv{} $[0;+\infty[$ par $g(t) = k$, où $k$ est une constante réelle dépendant de $a$. Déterminer $k$ pour que la fonction $g$ soit une solution particulière de l'\ode{} $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'\ode{} $(E)$.
\item Démontrer que la fonction $h$ définie sur l'\iv{} $[0;+\infty[$ par $h(t)=(180-a)\e^{-6t}+a$ est la solution de $(E)$ correspondant à la condition initiale donnée.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II Étude d'une fonction } 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, le pain est entreposé à une \tp{} de 28°C.

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ définie pour tout $t \geqslant 0$ par $f(t)=152\;\e^{-6t}+28$.

Vérifier que $f$ est la solution de l'équation $(E)$ dans le contexte proposé.
\item Étudier les variations de $f$ sur l'\iv{} $[0;+\infty[$.
\item Déterminer la \tp{} $\theta$ du pain une demi-heure après la sortie du four. On donnera une valeur approchée de $\theta$ à un degré près.
\item Le boulanger sort une fournée de pains du four. Déterminer par la méthode de votre choix au bout de quelle durée $D$ le pain sera à une \tp{} de 62°C. On donnera une valeur approchée de $D$ à une minute près.
\end{enumerate}
\item Quelle devrait être la \tp , au degré près, de la pièce dans laquelle est entreposé le pain afin que ce pain, sorti du four à 16h, soit à une \tp{} de 30°C à 16h30 ?
\end{enumerate}




\newpage
\begin{center}\begin{Large}
\textbf{EXERCICE 2 (9 points)}
\end{Large}\end{center}

\par{La mesure précise des volumes est d'une grande importance au laboratoire. Elle peut être effectuée à l'aide d'une pipette jaugée ou graduée. Une pipette sert à prélever un volume précis d'un liquide (de 1 à 100 ml). Elles sont utilisées pour réaliser des dosages.}

\medskip


\begin{center}
 \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}
 \end{center} 


\textbf{Partie A \qquad Défauts de fabrication et conformité}\\

On rappelle que la \pr{} qu'un \evt{} $E$ se réalise sachant que l'\evt{} $F$ (de \pr{} non nulle) est réalisé se note $P_{F}(E)$ et vérifie : $P_{F}(E)=\dfrac{P(E\cap F)}{P(F)}$.

L'entreprise AGOREX fabrique et distribue des pipettes jaugées en verre. Deux chaînes de production (A et B) permettent de répondre à la demande journalière.

\begin{itemize}
\item 55 \% des pipettes viennent de la chaîne de production A et 2,6 \% des pipettes de cette chaîne sont inutilisables;
\item 3,6 \% des pipettes provenant de la chaîne de production B sont inutilisables.
\end{itemize}

On choisit au hasard une pipette dans le stock journalier de l'entreprise et on note :
\begin{itemize}
\item A l'\evt : \og{} La pipette est sortie de la chaîne de production A \fg{};
\item B l'\evt : \og{} La pipette est sortie de la chaîne de production B \fg{};
\item I l'\evt : \og{} La pipette est inutilisable \fg{}
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Les questions 1, 2 et 3 peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer à $10^{-3}$ près la \pr{} qu'une pipette soit inutilisable.
\item On suppose que la \pr{} (arrondie au centième) qu'une pipette soit inutilisable est égale à 0,03.

On prélève au hasard un \ech{} de 100 pipettes dans le stock de l'entreprise. Le nombre de pipettes produites est suffisamment important pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 pipettes. On considère la \va{} $X$ qui, à tout prélèvement de 100 pipettes, associe le nombre de pipettes inutilisables.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer la loi suivie par $X$ en précisant ses paramètres.
 \item Quelle est la \pr{} de l'\evt : \og{}au moins une des pipettes est inutilisable\fg{}?\\On arrondira cette \pr{} au millième.
 \end{enumerate}
 \item Pour répondre au cahier des charges de certains laboratoires, l'entreprise AGOREX est amenée à effetuer des tests de conformité. Une pipette utilisable est dite conforme si sa contenance est comprise entre 98 ml et 102 ml. On note $C$ la \va{} qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d'un laboratoire associe sa contenance (en millilitres). On admet que $C$ suit une \N{} de \moy{} 100 et d'\sd{} $\sigma = 1,021$. On prélève au hasard une pipette dans la production.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la \pr{}, à $10^{-4}$ près, pour que cette pipette soit conforme ?
\item Au final sur un lot de \np{1000} pipettes produites combien seraient conformes ?
\end{enumerate}
    

\end{enumerate}
\newpage

\textbf{Partie B  \qquad Estimation}\\

Le laboratoire BIOMATOP effectuant des analyses se fournit en pipettes auprès de l'entreprise AGOREX.

Dans cette partie on considère une grande quantité de pipettes livrées au laboratoire. On considère un \ech{} de 200 pièces prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. Dans cet \ech{}, on constate que 5 pipettes sont cassées.

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle de la proportion inconnue $p_c$ des pipettes cassées de cette livraison.
\item Déterminer un \iv{} de confiance de la proportion $p_c$ avec le coefficient de confiance de 95 \%.
\end{enumerate}




\newpage

\textbf{\begin{LARGE}ANNEXE \end{LARGE}\\
\begin{Large}Exercice 1\end{Large}
}

\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
Nombre de quinzaines $t_{i}$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 
\hline 
Nombre de vers $N_{i}$ & 500 & 749 & 1122 & 1681 & 2518 & 3772 & 5650 & 8464 & 12678 & 18992 \\ 
\hline 
$y_{i}$ & 4,17 & 3,76 &  &  & 2,49 &  &  & 1,06 & 0,47 &  \\ 
\hline 
\end{tabular} 

\end{document}