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\newcommand{\N}{loi normale}
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\newcommand{\tb}{test d'hypothèse bilatéral}
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\begin{document}
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\setlength\parindent{0mm}

\begin{center} 
\tikzstyle{cadre}=[very thick, rectangle, rounded corners, draw=black, top color=yellow!10, bottom color=yellow!20!gray]
\begin{tikzpicture}
\node [cadre]{%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	\begin{center}
	\Large {\textbf{Brevet de Technicien Supérieur\\
	Groupement D}}
	\end{center}
	\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\textsc{Mathématiques \\ \rule{4cm}{0.5pt} \vspace{10mm} \\ Session 2015}\\
\vspace{10mm}
Durée: 2 heures\\
\vspace{20mm}
\textbf{\textsc{
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
Spécialités & Coeff \\ 
\hline \hline
Analyses de biologie médicale  & 1 \\ \hline 
Bio analyses et contrôles   & 2 \\ \hline 
Biotechnologies   & 1 \\ \hline 
Industries plastiques \og{}europlastic\fg{} & 1,5 \\ \hline 
Métiers de l'eau   & 1,5 \\ \hline 
Peintures, encres et adhésifs   & 2 \\ \hline 
Qualité dans les industries alimentaires & 1 \\ \hline 
\end{tabular} 
}
}\end{center}
\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\tikzstyle{mybox} = [draw=black, fill=yellow!10, very thick,
    rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt]
\tikzstyle{fancytitle} =[fill=black!90, text=white, very thick, rounded corners, draw=black, rectangle]
%
\begin{tikzpicture}
\node [mybox] (box) {%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	Toutes les calculatrices de poche, y compris les calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique sont autorisées à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimante. 
    \end{minipage}
    };
\node[fancytitle] at (box.north) {Matériel autorisé};
\end{tikzpicture}
%
\end{center}

\hfill\emph{Circulaire n$^\circ$99-186 du 16 novembre 19999}

\newpage
 
\begin{center}\begin{Large}
\textbf{EXERCICE 1 (11 points)}
\end{Large}\end{center}

\medskip

\textbf{Pharmacocinétique}

On s'intéresse à une maladie dégénérative de l'\oe{}il qui occasionne des troubles de la vision. Afin de freiner son évolution, deux traitements sont possibles. Dans cet exercice, on étudie, pour ces deux traitements, l'évolution de la quantité des principes actifs présents \ds{} en fonction du temps.

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}


\bigskip

\textbf{Partie A: \'E{}tude du premier traitement}

Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de façon indépendante.

Le premier traitement consiste à faire absorber au malade par voie orale un \med{} qui libère peu à peu le \pa{} qui passe \ds{}. Il est efficace lorsque la quantité de \pa{} est supérieure ou égale à 5 mg. On admet qu'à l'instant $t=0$ la quantité de \pa{} présente \ds{} est de 1 mg.

\begin{enumerate}
\item \textbf{Résolution d'une \ode}


L'évolution en fonction du temps (exprimé en heures), de la quantité de \pa{} présente \ds{} après absorption (exprimée en mg) est modélisée par une fonction vérifiant l'\ode{} :

$$ (E)\: : \: y'+0,1 y = 2 e^{-0,1t} $$

où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0; +\infty[$ et $y'$ la dérivée de la fonction $y$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $[0; +\infty[$ de l'équation $(E_0)\; : \; y'+0,1 y = 0 $.
\item Soit $h$ la solution définie sur $[0; +\infty[$  par $h(t)=2te^{-0,1t}$. Vérifier que $h$ est une solution particulière de $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'\ode{} $(E)$.
\item Déterminer la solution de $(E)$ correspondant au problème posé. 
\end{enumerate}

\item \textbf{\'E{}tude d'une fonction}

Soit la fonction $f$ définie pour tout $t$ de l'\iv{} $[0; +\infty[$ par $f(t)=(2t+1)e^{-0,1t}$.

\begin{enumerate}
\item On admet que la limite de $f$ en $+\infty$ est 0.

Interpréter graphiquement cette limite.

\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et on admet que $f'(t)=(1,9-0,2t)e^{-0,1t}$.

\begin{enumerate}
\item \'E{}tudier le signe de $f'(t)$ sur l'\iv{} $[0; +\infty[$.
\item Dresser le \tv{} de $f$ sur $[0; +\infty[$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\item \textbf{Application}

\begin{enumerate}
\item Au bout de combien de temps la quantité de \pa{} \ds{} sera-t-elle maximale ?

\item Sur quel intervalle de temps le \med{} sera-t-il efficace ?

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\item On donne:

$$ \int_0^{24} f(t) \mbox{d}t = 210 - 690 e^{-2,4} .$$

Déterminer la quantité \moy{} de \pa{} présente \ds{} entre 0 et 24 h. On arrondira le résultat au dixième.

\end{enumerate}




\end{enumerate}


\textbf{Partie B: \'E{}tude statistique du second traitement}

Le second traitement consiste à injecter par intraveineuse un \med{} qui permet une meilleure vascularisation des vaisseaux sanguins de la rétine. À l'instant $t=0$, on injecte une dose de 1,8 mg de \med{}, appelée \dc{}. On suppose que ce procédé diffuse instantanément \ds{} le \pa{} qui est ensuite progressivement éliminé par les reins.

\begin{enumerate}
\item \textbf{Administrations répétées du \med{}}

On décide de réinjecter une dose de 1,8 mg toutes les heures, dose supportable par le patient.

Parmi les trois courbes suivantes, quelle est celle qui représente le mieux l'évolution de la quantité de \med{} présente \ds{} ? Argumenter votre choix.

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[width=6cm,height=5cm,xmin=0,xmax=5,ymin=0,ymax=5,xtick={0,1,...,5}, ytick={0,1,...,5},minor xtick={0,0.2,...,5},minor ytick={0,0.2,...,5},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=200]
\addplot[domain=0:5]{1.8+0.5*round(x-0.5)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[width=6cm,height=5cm,xmin=0,xmax=5,ymin=0,ymax=5,xtick={0,1,...,5}, ytick={0,1,...,5},minor xtick={0,0.2,...,5},minor ytick={0,0.2,...,5},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=200]
\addplot[domain=0:5]{1.8+0.4*x+1*x*e^(-0.5*x)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[font=\small\sffamily]
\begin{axis}[width=6cm,height=5cm,xmin=0,xmax=5,ymin=0,ymax=5,xtick={0,1,...,5}, ytick={0,1,...,5},minor xtick={0,0.2,...,5},minor ytick={0,0.2,...,5},ticklabel style={font=\tiny\sffamily},samples=200]
\addplot[domain=0:5]{1.8+0.5*round(x-0.5)-0.5*(x-round(x-0.5))^4};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
\end{center}


\item \textbf{Administration continue du \med{} : recherche de la courbe de tendance}

Après avoir injecté la \dc{} de 1,8 mg, on décide d'administrer ce \med{} à l'aide d'une pompe, de manière continue, afin de réduire le plus possible les oscillations de la quantité de \pa{} \ds{}.

L'étude consiste à déterminer \emph{l'état stationnaire} (steady state) pour ce \med{}. On considère que l'état stationnaire est atteint lorsque la différence entre la quantité limite et la quantité \ds{} est inférieure ou égale à 1 mg.

On effectue sept mesures régulières pendant 24 h et on obtient les relevés suivants, où $q_i$ désigne la quantité en mg de \pa{} dans le sang à l'instant $t_i$.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$t_i$ (en heures) & 0 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 \\ 
\hline 
$q_i$ (en mg) & 1,8 & 9,5 & 15,5 & 20,2 & 23,7 & 26,8 & 28,7 \\ 
\hline 
\end{tabular} 

On cherche à modéliser l'expression de la quantité de \pa{} \ds{} en fonction du temps. Un ajustement affine n'étant pas judicieux, on décide de procéder à un changement de variable.

\begin{enumerate}
\item On pose $y_i=\mbox{ln}(36-q_i)$.

\begin{enumerate}
\item Donner les 3 valeurs manquantes de ce tableau. Arrondir au centième.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$t_i$ & 0 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 \\ 
\hline \hline 
$q_i$ & 1,8 & 9,5 & 15,5 & 20,2 & 23,7 & 26,8 & 28,7 \\ 
\hline 
$q_i$ & 3,53 & 3,28 &  &  & 2,51 & 2,22 &  \\ 
\hline 
\end{tabular} 

\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de $D$ la droite d'ajustement de $y$ en $t$ par la \mmc{}. Arrondir les coefficients au centième.

\end{enumerate}

\item Donner une expression de la quantité $q$ en fonction de $t$ déduite de cet ajustement.

\emph{Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\item Un médecin affirme que l'état stationnaire est atteint en moins de trois jours. En admettant que la quantité limite est de 36 mg, quel argument peut-il fournir pour justifier cette affirmation ?


\end{enumerate}

\end{enumerate}



\newpage
\begin{center}\begin{Large}
\textbf{EXERCICE 2 (9 points)}
\end{Large}\end{center}

\medskip

\textbf{Industrie agroalimentaire}

L'entreprise agroalimentaire Flavornuts fabrique des arômes naturels servant à l'amélioration des préparations culinaires pour la pâtisserie ou la cuisine. Elle les conditionne dans des \fl{}s de 58 ml qu'elle achète à l'entreprise Verremballage, qui conçoit, développe et commercialise des solutions d'emballages primaires composées de flacons standards.

\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.} 


\textbf{Partie A: \'E{}tiquetage}\\

\begin{center}
\tikzstyle{mybox} = [draw=black, fill=yellow!10, very thick,
    rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt]
\tikzstyle{fancytitle} =[fill=black!90, text=white, very thick, rounded corners, draw=black, rectangle]
%
\begin{tikzpicture}
\node [mybox] (box) {%
    \begin{minipage}[t!]{0.8\textwidth}
	\textit{L'étiquetage des denrées alimentaires préemballées est obligatoire (articles R. 112-1 et suivants du code de la consommation). Certaines mentions sont imposées par la législation, d'autres sont facultatives. Toutes sont fournies par les fabricants, sous leur responsabilité. L'étiquetage des constitué par \og{} les mentions, indications, marques de fabrique ou de commerce, images ou signes se rapportant à une denrée alimentaire et figurant sur tout emballage, document, écriteau, étiquette, bague ou collerette accompagnant ou se référant à cette denrée alimentaire  
	\fg{}} 
    \end{minipage}
    };
\node[fancytitle] at (box.south) {\textit{Article R. 112-1 du code de la consommation}};
\end{tikzpicture}
%
\end{center}


Une fois fabriquées, les \et{}s peuvent présenter deux \de{}s : Un \de{} du visuel (graphisme, photo, couleur ... ) ou l'absence de la \dlc{}.

On considère les \evt{}s suivants :

\begin{itemize}
\item A : \og{} la \dlc{} n'apparaît pas sur l'\et{} \fg{}.
\item D : \og{} l'\et{} comporte un \de{} du visuel \fg{} ;
\end{itemize}

On suppose que les \evt{}s $A$ et $D$ sont indépendants.

On admet que les \pr{}s des \evt{}s sont : $p(A)=0,01$ et $p(D)=0,03$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la \pr{} qu'une \et{} prélevée au hasard dans la production présente les deux \de{}s.
\item Calculer la \pr{} qu'une \et{} prélevée au hasard dans la production ne présente aucun de ces deux \de{}s.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B: \'E{}tude de la contenance}\\

Dans cette partie, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-2}$ près.

On définit une \va{} $V$ associant à chaque \fl{} son \vo{} utile exprimé en mL.

On suppose que $V$ suit la \N{} de \moy{} $m=58$ (valeur annoncée par le fournisseur) et d'\sd{} $\sigma = 0,04$.

Le cahier des charges indique que le \fl{} est conforme lorsque ce \vo{} appartient à \iv{} [57,90 ; 58,10].

On choisit un \fl{} au hasard dans la production.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la \pr{} pour qu'il soit non conforme.
\item Donner une valeur arrondie au centième du réel $h$ tel que : $p(58-h \leqslant V \leqslant 58+h) = 0,95$.

\emph{Toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation}.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie C: Test d'hypothèse.}\\

\par{\`A l'occasion d'une commande, le service contrôle du \labo{} reçoit un lot de \fl{}s. Il effectue un \prel{} aléatoire de 80 \fl{}s. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
Volume & [57,93; 57,97[ & [57,97; 58,01[ & [58,01; 58,05[ & [58,05; 58,09[ & [58,09; 58,13] \\ 
\hline 
Effectif & 2 & 10 & 39 & 21 & 8 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
} % fin premier paragraphe
\begin{enumerate}
\item Calculer la \moy{} $\bar{v}$ et l'\sd{} $s$ de cet \ech{} (arrondir le résultat à $10^{-3}$ près) en faisant l'hypothèse que les valeurs observées sont respectivement celles du centre de chaque classe.

\item \textbf{Construction du test}

\par{Le \vo{} des \fl{}s doit être de 58 mL. On se propose de construire un \tb{} au seuil de signification de 5 \% pour contrôler, au moment de la livraison, la \moy{} $\mu$ de l'ensembles des \vo{}s (en mL) des \fl{}s. On note $\bar{V}$ la \va{} qui, à chaque \ech{} de 80 \fl{}s prélevés au hasard dans l'ensemble de la production, associe la \moy{} des \vo{}s.  }

On considère:

\begin{itemize}
\item L'\hn{} $H_0$ : $\mu = 58$
\item L'\ha{} $H_1$ : $\mu \neq 58$
\end{itemize}

Le seuil de signification est fixé à 0,05.

On admet que, sous l'hypothèse $H_0$, $\bar{V}$ suit la \N{} $N\left( 58; \dfrac{0,04}{\sqrt{80}} \right)$.

\begin{enumerate}
\item Parmi les quatre \iv{}s proposés, lequel utiliseriez-vous pour effectuer le test ?

Justifier votre choix.

$$ I = \left[ 58,04-1,65 \times \dfrac{0,04}{\sqrt{80}}; 58,04+1,65 \times \dfrac{0,04}{\sqrt{80}} \right] $$

$$ J = \left[ 58,04-1,96 \times \dfrac{0,04}{\sqrt{80}}; 58,04+1,96 \times \dfrac{0,04}{\sqrt{80}} \right] $$

$$ K = \left[ 58-1,65 \times \dfrac{0,04}{\sqrt{80}}; 58+1,65 \times \dfrac{0,04}{\sqrt{80}} \right] $$

$$ L = \left[ 58-1,96 \times \dfrac{0,04}{\sqrt{80}}; 58+1,96 \times \dfrac{0,04}{\sqrt{80}} \right] $$

\item \'E{}noncer la règle de décision du test.

\end{enumerate}

\item \textbf{Utilisation du test}

En utilisant les informations recueillies sur l'\ech{} de 80 \fl{}s, le service de contrôle acceptera-t-il cette livraison ? Justifier.


\end{enumerate}




\end{document}