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\def\Oij{$\left(\text{O};~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\bin{binomiale}
\def\P{de Poisson}
\def\n{normale}
\def\et{écart-type}
\def\esp{espérance}
\def\ev{évènement}
\def\prel{prélèvement}
\def\va{variable aléatoire}
\def\p{probabilité}
\def\m{moyenne}
\def\ps{probabilités}
\def\ic{intervalle de confiance}
\def\ci{condition initiale}
\def\ech{échantillon}
\def\po{matières polluantes}
\def\mn{minutes}
\def\gm{grammes}

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\usepackage[frenchb]{babel} 
\begin{document}
\hfill Session 2013\\ 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR\\
SOUS-ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES\\
\qquad \\
GROUPEMENT D\\
Durée: 2 heures}\\
\end{Large}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline \qquad \qquad \qquad \qquad Spécialité  & Coefficient \\ 
\hline Analyses de biologie médicale & 1 \\ 
\hline Bio analyses et contrôles & 2 \\ 
\hline Biotechnologie & 1,5 \\ 
\hline Hygiène-propreté-environnement & 2 \\ 
\hline Industrie plastiques-europlastie-à référentiel commun européen & 1,5 \\ 
\hline Métiers de l'eau & 1,5 \\ 
\hline Peintures, encres et adhésifs & 2 \\ 
\hline Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries & 2 \\ 
\hline 
\end{tabular} \end{center}
\bigskip
\bigskip
\vfill
\textbf{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.\; Le formulaire de mathématiques est joint au sujet.\\
La calculatrice (conforme à la circulaire n°99-186 du 16-11-99) est autorisée.\\
Une feuille de papier millimétré est fournie avec le sujet.
}\par{}
\hfill\textbf{Ce sujet comporte 5 pages (y compris celle-ci).}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
%\vspace{3cm}
\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(10 points)\\
\par{Les bordures d'autoroute possèdent parfois des bassins de décantation dont le rôle est de recueillir les eaux pluviales ruisselant sur l'asphalte et les éléments polluants qu'elles peuvent drainer.}
\par{À la suite d'un accident de la circulation, un camion-citerne déverse une partie de son contenu sur la chaussée d'une autoroute. La règlementation en vigueur impose l'isolation, par fermeture de vannes, du bassin de décantation proche de l'accident de façon à ce que la concentration en \po{} dans le bassin ne dépasse pas 15 $\mu$g/L. Cette concentration est de 1,3 $\mu$g/L au moment où les \po{} provenant du camion-citerne commencent à se déverser dans le bassin.}
\par{\textbf{Dans cet exercice, on cherche à savoir au bout de combien de temps la concentration en \po{} dans le bassin atteindra 15$\mu$g/L si on n'isole pas le bassin et à quel moment les capteurs installés dans le bassin déclencheront la fermeture des vannes.}}
\par{On mesure en \mn{} le temps $t$ écoulé à partir de l'instant où les \po{} provenant du camion-citerne commencent à se déverser dans le bassin de décantation.\\
On admet que, tant que le bassin n'est pas isolé par fermeture des vannes, la concentration à l'instant $t$ en \po{} dans le bassin, exprimée en $\mu$g/L, peut être modélisée par $f(t)$, où $f$ est solution de l'\ode (E): $y'+0,03y=0,75$. On a donc $f(0)=1,3$.}
\begin{center}
\textbf{\textit{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

\noindent\textbf{A. Résolution sur $[0;+\infty[$ de l'\ode{} (E): $y'+0,03y=0,75$}\\
\begin{enumerate}
\item On considère l'\ode $(E_0)$: $y'+0,03y=0$, où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$, et $y'$ la fonction dérivée de la fonction $y$.\\
 Déterminer les solutions de l'\ode $(E_0)$ sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$.
 \item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ par  $g(t)=a$, où $a$ est une constante réelle. Déterminer $a$ pour que la fonction $g$ soit une solution particulière de l'\ode $(E)$.\\
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'\ode $(E)$.\\
\item Démontrer que la solution $f$ de l'\ode $(E)$ qui vérifie la \ci $f(0)=1,3$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ par : $f(t)=25-23,7\mbox{e}^{-0,03t}$. \\

\end{enumerate}

\textbf{B. Étude de la fonction f}\\
\qquad \\

\noindent $f$ est définie sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ par : $f(t)=25-23,7\mbox{e}^{-0,03t}$.\\
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.\\
\qquad \\
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $t$ tend vers $+\infty$.\\
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ de l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$.\\
\item Expliquer le signe de $f'(t)$ pour tout $t$ de l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$.
\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.
\item \begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Arrondir les résultats au dixième.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline $t$ & 0 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 \\ 
\hline $f(t)$ & 1,3 &  &  &  &  & & \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille de papier millimétré jointe au sujet \textbf{ou} visualiser cette courbe sur l'écran de la calculatrice et indiquer sur la copie les caractéristiques de la fenêtre utilisée (valeurs de X min, X max, Y min, Y max et des \og{}pas\fg{}) et l'allure de la courbe obtenue.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{C. Traitement de la problématique}\\
\qquad \\
\noindent On rappelle que $f(t)$ modélise la concentration (exprimée en $\mu$g/L) en \po{} dans le bassin à l'instant $t$ (exprimé en \mn{}) tant que le bassin n'est pas isolé par fermeture des vannes.
\begin{enumerate}
\item Si le bassin n'était pas équipé d'un dispositif d'isolation par fermeture de vannes, quelle serait la valeur autour de laquelle se stabiliserait la concentration en \po{}? Justifier.
\item À l'aide de la courbe $\mathcal{C}$ obtenue à la question \textbf{B 4 b)}, sur papier millimétré \textbf{ou}  sur écran de la calculatrice, déterminer graphiquement une valeur approchée à l'unité, du temps $t_0$ (exprimé en \mn{}) au bout duquel la concentration en \po{} dans le bassin atteindrait 15 $\mu$g/L si le bassin n'était pas isolé par fermeture des vannes. Expliquer la démarche.
\item La concentration en \po{} dans le bassin  est relevée par un capteur dont les mesures sont légèrement instables.\\
Pour prendre en compte cette instabilité, on met en place un dispositif associant la fermeture des vannes à l'instant $t$ ($t\geq2$) à la valeur moyenne de la concentration en \po{} mesurée par le capteur entre les instants $t-2$ et $t$. \\
La fermeture des vannes est déclenchée lorsque cette valeur moyenne atteint \textbf{14 $\mu$g/L}.\\
La valeur moyenne de la concentration (exprimée en $\mu$g/L) en \po{} entre les instants $t-2$ et $t$ est modélisée par: $V(t)=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{t-2}^t\;f(u)\,du=\dfrac{1}{2}(F(t)-F(t-2))$, où $F$ est une primitive de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Donner une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
\item Calculer $V(t)$ et vérifier que : $V(t)=25+A\mbox{e}^{-0,03t}$ avec $A\approx-24,4$.
\item Résoudre l'équation : $25-24,4\mbox{e}^{-0,03t}=14$. Donner une valeur approchée au dixième de la solution $T$ de cette équation.
\item Que représente $T$ dans le contexte de l'exercice ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\qquad \\
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(10 points)\\
\par{Une coopérative est spécialisée dans la récolte de fleur de sel.\\
Elle utilise une machine automatique pour remplir des sachets de fleur de sel dont la masse théorique doit être de 250 grammes.\\
Un sachet est dit conforme si sa masse $m$, exprimée en \gm{}, vérifie : $240\leq m \leq 260$.}
\par{\textbf{\textit{Les \ps{} demandées dans cet exercice peuvent être calculées en utilisant le formulaire joint au sujet ou la calculatrice. Qulle que soit l'option retenue on fera figurer sur la copie quelques étapes de la démarche suivie.}}}
\par{\textbf{\textit{Les résultats des calculs de  \ps{} seront arrondis au millième.}}}
\begin{center}
\textbf{Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}
\vspace{1cm}
\noindent\textbf{A. loi \n{}}\\
\par{L'étude statistique de la production permet d'admettre que la \va{} $M$ qui mesure, en \gm{}, la masse d'un sachet, suit une loi \n{} de moyenne $\mu=250$ et d'\et{} $\sigma=5,3$.}

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un  sachet dans la production.\\
Calculer la \p{} que le sachet soit conforme.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $P(M\geq 245)$.
\item Un gros client exigeant souhaite qu'au moins trois quarts des sachets qu'il achète aient une masse supérieure à 245 \gm{}. Sera-t-il satisfait? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent\textbf{B. Loi \bin{} et loi \P}\\
\textbf{\textit{On considère dans cette partie que la \p{} qu'un sachet ne soit pas conforme est :}}\\
$$p=0,06$$
\noindent La coopérative constitue des lots de 50 sachets pour la vente et étudie le nombre de sachets non conformes contenus dans un lot.\par{}
\par{La production de la coopérative est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler la constitution d'un lot à un tirage au hasard et avec remise de 50 sachets.\\
On note $X$ la \va{} qui associe à chaque lot de 50 sachets le nombre de sachets non conformes de ce lot.}

\begin{enumerate}
\item Justifier que la \va{} $X$ suit une loi \bin{} et préciser ses paramètres.\\
\item Que représente la \p{} $P(X=1)$ dans le contexte de l'exercice? Calculer $P(X=1)$.\\
\item On approche la loi de \p{} de $X$ par une loi \P.\\
\begin{enumerate}
\item Justifier que cette loi \P{} a pour paramètre $\lambda=3$.
\item On note $Y$ une \va{} qui suit une loi de \P{} de paramètre $\lambda=3$.\\
En utilisant la \va{} $Y$, estimer la \p{} qu'il y ait au plus cinq sachets non conformes dans un lot de 50 sachets. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}  

\noindent\textbf{C. Test d'hypothèse}\\
\; \\
\par{Après la révision annuelle de la machine utilisée pour remplir les sachets de fleur de sel, le responsable qualité de la coopérative veut contrôler la valeur de la masse moyenne $m$ (exprimée en \gm{}) d'un sachet de fleur de sel.\\
Il construit pour cela un test d'hypothèse bilatéral au seuil de signification de 5 \%.\\
L'hypothèse nulle $H_0$ est : $m=250$.\\
L'hypothèse alternative $H_1$ est : $m\neq 250$.\\}
\par{On note $\overline{M}$ la \va{} qui, à chaque \ech{} de 50 sachets prélevés dans la production de la coopérative, associe la masse moyenne (en \gm{}) d'un sachet de l'\ech{}. La production est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler la constitution d'un \ech{} à un tirage au hasard et avec remise de 50 sachets.}
\par{On suppose que la \va{} $\overline{M}$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d'\et{} $\dfrac{5,3}{\sqrt{50}}$.}
\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle $H_0$, déterminer le nombre réel positif $a$ tel que $$P(250-a\leq \overline{M} \leq 250+a)=0,95.$$
Arrondir au centième.
\item Énoncer la règle de décision du test.
\item On prélève au hasard 50 sachets dans la production.\\
Les masses en \gm{} de ces sachets se répartissent de la façon suivante:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Masse en \gm{} & [236;240[ &  [240;244[ &  [244;248[ & [248;252[  & [252;256[ &  [256;260[ &  [260;264[ \\ 
\hline Nombre de sachets & 5 & 6 & 9 & 13 & 8 & 7 & 2 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}
\begin{enumerate}
\item En utilisant les centres des intervalles, calculer une valeur approchée de la masse moyenne d'un sachet de cet échantillon.
\item Quelle va être la conclusion du responsable qualité ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%Activer les lignes suivantes pour avoir le sujet complet, avec formulaire...
%\newpage
%\input{formulaire.tex} 
\end{document}
