\documentclass[12pt]{article} 
\usepackage[latin1]{inputenc} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tt 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} 
\usepackage[normalem]{ulem} 
\usepackage{ulem} 
\usepackage{dcolumn} 
\usepackage[dvips]{color} 
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} 
\setlength\paperheight{297mm}%10 
\setlength\paperwidth{210mm} 
\setlength{\textheight}{25,5cm} 
\setlength{\textwidth}{17cm} 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
\newcommand{\D}{\mathbb{D}} 
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi. }} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% 
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} 
\def\Oij{$\left(\text{O};~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\bin{binomiale }
\def\P{de Poisson }
\def\n{normale }
\def\et{écart-type }
\def\esp{espérance }
\def\ev{évènement }
\def\prel{prélèvement }
\def\va{variable aléatoire }
\def\p{probabilité }
\def\m{moyenne }
\def\ps{probabilités }
\def\ic{intervalle de confiance }
\def\ci{condition initiale }
\def\ech{échantillon de 50 récipients }
\def\ref{réfractomètre }
\def\dia{diamètre }
\def\cou{couvercle }

\usepackage[latin1]{inputenc}                                 %%
\usepackage{color}                                            %%
\usepackage{array}                                            %%
\usepackage{calc}                                             %%
\usepackage{multirow}                                         %%
\usepackage{hhline}                                           %%
\usepackage{ifthen}                                           %%
\setlength{\voffset}{-3cm} 
\setlength{\hoffset}{-2cm} 
\usepackage[frenchb]{babel} 
\begin{document}
\hfill Session 2010\\ 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR\\
SOUS-ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES\\
\qquad \\
Groupement D\\
Durée: 2 heures}\\
\end{Large}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline \qquad \qquad \qquad \qquad Spécialité  & Coefficient \\ 
\hline Analyses de biologie médicale & 1 \\ 
\hline Bio analyses et contrôles & 2 \\ 
\hline Biotechnologie & 1,5 \\ 
\hline Hygiène-propreté-environnement & 2 \\ 
\hline Industrie plastiques-europlastie-à référentiel commun européen & 1,5 \\ 
\hline Métiers de l'eau & 1,5 \\ 
\hline Peintures, encres et adhésifs & 2 \\ 
\hline Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries & 2 \\ 
\hline 
\end{tabular} \end{center}
\bigskip
\bigskip
\vfill
\textbf{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé. Le formulaire de mathématiques est joint au sujet.\\
La calculatrice (conforme à la circulaire n$^\circ$99-186 du 16-11-99) est autorisée.\\
\; \\
La page 6 est une annexe, à rendre avec la copie.\\
\hfill Ce sujet comporte 6 pages (y compris celle-ci)}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
%\vspace{3cm}
\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(10 points)\\


\begin{center}
\textbf{\textit{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

\textbf{A. Résolution d'une \ode}\\
On considère l'\ode $(E)$: $y'+2y=2\mbox{ e}^{-2t}$,\\
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$, \\et $y'$ la fonction dérivée de $y$.\\

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ de l'\ode $$(E_0)\;:\; y'+2y=0 $$
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ par $h(t)=2t\mbox{ e}^{-2t}$.\\
Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'\ode $(E)$.\\
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'\ode $(E)$.\\
\item Déterminer la solution $f$ de l'\ode $(E)$ qui prend la valeur $1$ pour $t=0$.\\

\end{enumerate}

\textbf{B. Étude d'une fonction.}\\
\qquad \\

\noindent Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ par : $f(t)=(1+2t)\mbox{ e}^{-2t}$.\\
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.\\
\qquad \\
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \rightarrow +\infty} f(t)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?\\
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour $t$ appartenant à l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ : $f'(t)=-4t\mbox{ e}^{-2t}$.
\item En déduire le signe de $f'(t)$ pour $t$ appartenant à l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ et donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$.\\ 
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de valeurs donné en \textbf{annexe (page 6)}. Arrondir à $10^{-2}$.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère donné en \textbf{annexe (page 6)}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{C. Application de la partie B}\\
\qquad \\
\noindent Dans les régions de production, on peut contrôler le taux de sucre des melons avec un réfractomètre à mesure rapide.\\
\qquad \\
Le taux de défaillance du réfractomètre dans l'intervalle de temps $\left[ 0;+\infty \right[$ peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ par : $g(t)=1-f(t)=1-(1+2t)\mbox{ e}^{-2t}$, \\où $t$ est exprimé en heures et $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie B}.\\
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on donnera les valeurs exactes puis les valeurs arrondies à $10^{-2}$.\\
\begin{enumerate}
\item Quel est le taux de défaillance du réfractomètre au bout d'une heure ?\\
\item Quel est le taux de défaillance du réfractomètre au bout de deux heures ?\\
\end{enumerate}
Pour des raisons de fiabilité, on doit changer le réfractomètre lorsque le taux de défaillance est supérieur ou égal à 0,75.\\
\begin{enumerate}
\item Montrer que le taux de défaillance est supérieur ou égal à 0,75 lorsque $f(t)\leqslant 0,25$.
\item En utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ tracée en \textbf{annexe (page 6)}, déterminer graphiquement à $10^{-1}$ près, la durée d'utilisation du réfractomètre. On laissera les traits de construction apparents.\\
\qquad \\
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\qquad \\


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(10 points)\\

\begin{center}
\textbf{\textit{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

Une usine fabrique en grande quantité des récipients cylindriques pour le laboratoire.\\
 
\vspace{1cm}
\noindent\textbf{A. Loi \n}\\
\; \\
\noindent Le \cou d'un récipient est conçu pour avoir un \dia de 60 millimètres.\\
Il est non défectueux lorsque son diamètre, exprimé en millimètres, appartient à l'intervalle $[59,93 \; ; \; 60,07]$.\\
\qquad \\
On note $X$ la \va qui, à chaque récipient prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe le \dia , en millimètres, de son \cou .\\
On suppose que la \va $X$ suit la loi \n de \m 60 et d'\et 0,03.\\
\qquad \\
Calculer la \p qu'un récipient prélevé au hasard dans la production ait un \cou non défectueux. On arrondira à $10^{-2}$.

\newpage

\noindent\textbf{B. Évènements indépendants}
\; \\

Les récipients fabriqués sont susceptibles de présenter deux défauts : un défaut au niveau de leur couvercle ou un défaut de convenance.\\
\qquad  \\
\noindent On prélève un récipient au hasard dans la production d'une journée.\\
On considère les évènements suivants:\\
$E_1$: \og le couvercle du récipient prélevé est défectueux \fg;\\
$E_2$: \og le récipient prélevé présente un défaut de contenance \fg.\\
\qquad \\
On suppose que les évènements $E_1$ et $E_2$ sont indépendants.\\
On admet que : $P(E_1)=0,02$ et $P(E_2)=0,01$.\\
\qquad \\
\textbf{Dans cette partie, on donnera les valeurs exactes des \ps demandées.}\\
\begin{enumerate}
\item Calculer la \p qu'un récipient prélevé au hasard dans la production d'une journée présente les deux deux défauts.\\
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer la \p qu'un récipient prélevé au hasard dans la production d'une journée présente au moins un des deux défauts.\\
\item Calculer la \p qu'un récipient prélevé au hasard dans la production d'une journée ne présente aucun des deux défauts.\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent\textbf{C. Loi \bin et approximation d'une loi \bin par une loi \P}\\
\; \\
On prélève au hasard 50 récipients dans un stock pour vérification de leur \cou . Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 récipients.\\
On rappelle que la \p qu'un récipient prélevé au hasard ait un \cou défectueux est égale à 0,02.\\
On considère la \va $Y$ qui, à tout \prel de 50 récipients, associe le nombre de récipients de ce \prel ayant un \cou défectueux.\\ 
\begin{enumerate}
\item On admet que la \va $Y$ suit une loi \bin . Déterminer les paramètres de cette loi.\\
\item Calculer la \p que, dans un \prel, un seul récipient ait un \cou défectueux. On arrondira à $10^{-2}$.\\
\item On considère que la loi suivie par $Y$ peut être approchée par une loi de \P.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de \P.
\item On désigne par $Y_1$ une \va suivant la loi de \P de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est la valeur obtenue au \textbf{a}.\\
En utilisant la loi suivie par $Y_1$, calculer la \p qu'au plus trois récipients d'un \prel aient un \cou défectueux. On arrondira à $10^{-2}$.\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\noindent\textbf{D. \ic}\\

\noindent Dans cette partie on s'intéresse à la contenance de chaque récipient, exprimée en centimètres cubes.\\
On prélève au hasard et avec remise un \ech dans un lot important.\\
Soit $\bar{C}$ la \va qui, à tout \ech prélevés au hasard et avec remise dans le lot, associe la \m des contenances des récipients de cet échantillon.\\
On suppose que $\bar{C}$ suit la loi \n de \m inconnue $\mu$ et d'\et $\dfrac{\sigma}{\sqrt{50}}$ avec $\sigma=0,06$.\\
Pour l'échantillon prélevé, la \m obtenue, arrondie à $10^{-2}$, est : $\bar{x}=119,88$.\\
\qquad \\
Déterminer un \ic centré sur $\bar{x}$ de la \m $\mu$ des contenances des récipients de ce lot, avec un taux de confiance supérieur ou égal à 95 \%.\\
\qquad \\
On arrondira à $10^{-2}$ les bornes de cet intervalle.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\noindent\textbf{Exercice 1, Partie B, question 3.}\\
\begin{enumerate}
\item Tableau de valeurs (arrondies à $10^{-2}$) de la fonction $f$\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \qquad$x$ \qquad & \qquad 0  \qquad &  \qquad 0,5  \qquad &  \qquad 1  \qquad &  \qquad 1,5  \qquad &  \qquad 2  \qquad &  \qquad 3  \qquad \\ 
\hline \qquad $f(x)$ \qquad  &  &  &  &  &  &  \\ 
\hline 
\end{tabular} \\
\end{center}
\qquad \\
\item Tracé de la courbe $\mathcal{C}$\\
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(16,12)
\psgrid[gridwidth=0.8pt,gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,subgridwidth=0.4pt](0,0)(0,0)(16,12)
\psaxes[labels=none]{->}(0,0)(0,0)(16,12)
\uput[d](0,0){\textbf{0}}
\uput[d](5,0){\textbf{1}}
\uput[d](10,0){\textbf{2}}
\uput[d](15,0){\textbf{3}}
\uput[d](16,0){$x$}
\uput[l](0,0){\textbf{0}}
\uput[l](0,10){\textbf{1}}
\uput[l](0,12){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}


%Activer les lignes suivantes pour avoir le sujet complet, avec formulaire...
%\newpage
%\input{formulaire.tex} 
\end{document}
