\documentclass[11pt]{article} 
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\def\Oij{$\left(\text{O};~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\bin{binomiale }
\def\P{de Poisson }
\def\n{normale }
\def\et{écart-type }
\def\esp{espérance }
\def\ev{évènement }
\def\prel{prélèvement }
\def\va{variable aléatoire }
\def\p{probabilité }
\def\m{moyenne }
\def\ps{probabilités }
\def\ic{intervalle de confiance }
\def\ci{condition initiale }
\def\ech{échantillon }
\def\po{polluant }
\def \ts{}

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\usepackage[frenchb]{babel} 
\begin{document}
\hfill Session 2011\\ 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR\\
SOUS-ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES\\
\qquad \\
GROUPEMENT D\\
Durée: 2 heures}\\
\end{Large}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline \qquad \qquad \qquad \qquad Spécialité  & Coefficient \\ 
\hline Analyses de biologie médicale & 1 \\ 
\hline Bio analyses et contrôles & 2 \\ 
\hline Biotechnologie & 1,5 \\ 
\hline Hygiène-propreté-environnement & 2 \\ 
\hline Industrie plastiques-europlastie-à référentiel commun européen & 1,5 \\ 
\hline Métiers de l'eau & 1,5 \\ 
\hline Peintures, encres et adhésifs & 2 \\ 
\hline Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries & 2 \\ 
\hline 
\end{tabular} \end{center}
\bigskip
\bigskip
\vfill
\textbf{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.\; \\
\\Le formulaire de mathématiques est joint au sujet.\\
Une feuille de papier millimétré est fournie.
}\par{}
\hfill\textbf{Ce sujet comporte 4 pages (y compris celle-ci).}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
%\vspace{3cm}
\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(11 points)\\
\par{Cet exercice propose l'étude de la contamination accidentelle d'un cours d'eau par un polluant.\\
La partie B est consacrée à l'étude d'une fonction qui permet d'exprimer, dans la partie C, la concentration de polluant dans l'eau en fonction du temps.}
\begin{center}
\textbf{\textit{Les deux premières parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

\noindent\textbf{A. Résolution d'une \ode}\\
On considère l'\ode $(E)$: $y'+0,25 y=3\mbox{e}^{-t}$,\\
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$, \\et $y'$ la fonction dérivée de la fonction $y$.\\

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ de l'\ode $(E_0)$: $$y'+0,25 y=0 $$
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ par : $h(t)=-4\mbox{ e}^{-t}$.\\
Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'\ode $(E)$.\\
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'\ode $(E)$.\\
\item Déterminer la solution $f$ de l'\ode $(E)$ qui vérifie la \ci : $$f(0)=75$$\\

\end{enumerate}

\textbf{B. Étude d'une fonction et calcul intégral}\\
\qquad \\

\noindent Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ par : $f(t)=79\mbox{e}^{-0,25t}-4\mbox{e}^{-t}$.\\
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.\\
\textbf{Sur l'axe des $x$ l'unité est : 0,5 cm. Sur l'axe des $y$ l'unité est : 0,25 cm.}
\qquad \\
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?\\
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$: $$f'(t)=\mbox{e}^{-0,25t}(-19,75+4\mbox{e}^{-0,75t})$$
\item Justifier que pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$: $-19,75+4\mbox{e}^{-0,75t}<0$.
\item En déduire le signe de $f'(t)$ et le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Compléter, après l'avoir reproduit sur la copie, le tableau de valeurs suivant dans lequel \textbf{les valeurs de $f(t)$ seront arrondies au dixième}.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline $t$ & 0 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 \\ 
\hline $f(t)$ &  & 22,6 &  & 1,9 & 0,5 &  \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}
\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 \; ; \; 20]$ est: $$V_m=\dfrac{1}{20}(-316\mbox{e}^{-5}+4\mbox{e}^{-20}+312)$$
\item Donner la valeur approchée de $V_m$ arrondie au dixième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{C. Exploitation des résultats de la partie B}\\
\qquad \\
\noindent On admet que, $t$ semaines après la contamination, la concentration de polluant dans l'eau, exprimée en milligrammes par litre, est $\dfrac{1}{3}f(t)$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie B.\par{}
\begin{enumerate}
\item La baignade est sans danger lorsque la concentration de polluant dans l'eau est inférieure ou égale à 2,5 milligrammes par litre. En utilisant la courbe $\mathcal{C}$ construite au \textbf{3° b)} de la partie B, déterminer au bout de combien de semaines la baignade peut être autorisée.\\
Laisser apparents les traits utiles sur le graphique.\par{}
\item Quelle est la valeur moyenne, au cours des 20 semaines suivant la contamination, de la concentration de polluant dans l'eau?
\end{enumerate}
\qquad \\


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(9 points)\\

\begin{center}
\textbf{\textit{Toutes les parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}
\vspace{1cm}
\noindent\textbf{A. Probabilités conditionnelles}\\
\par{}
\emph{On rappelle que la \p qu'un évènement $E$ se réalise sachant qu'un évènement $F$ (de \p non nulle) est réalisé se note $P_F(E)$ et vérifie : $P_F(E)=\dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}$}
\par{}
\noindent À la suite d'une campagne de vaccination lancée par l'Organisation Mondiale de la Santé (OMS) pour lutter contre une pandémie, on estime que, dans une population donnée, il ne reste plus que 1 \% de personnes non vaccinées.\par{}
D'après une étude, on estime également que 95 \% des personnes vaccinées sont immunisées contre le virus de la pandémie et que 20 \% des personnes non vaccinées sont naturellement immunisées contre ce virus.\par{}
\qquad \\
On choisit au hasard une personne dans la population concernée.\par{}
\noindent On note $A$ l'évènement:\og la personne choisie est vaccinée \fg{},\\
\qquad et $B$ l'évènement:\og la personne choisie est immunisée contre le virus \fg{}.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la \p que la personne choisie soit immunisée contre le virus est égale à 0,9425.\par{}
\item Calculer la \p que la personne choisie ait été vaccinée sachant qu'elle est immunisée contre le virus. Arrondir au millième.
\end{enumerate}

\noindent\textbf{B. Loi \bin et approximation d'une loi \bin par une loi \P}\\
\noindent On admet que 1 \% des personnes d'une population donnée n'a pas été vacciné.\par{}
On prélève au hasard 400 personnes de cette population. L'effectif de la population est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 400 personnes.\par{}
On considère la \va $X$ qui, à tout prélèvement de 400 personnes, associe le nombre de personnes de ce prélèvement n'ayant pas été vaccinées.\par{}
\begin{enumerate}
\item Justifier que la \va $X$ suit une loi \bin et préciser les paramètres de cette loi.\\
\item Calculer la \p qu'un prélèvement de 400 personnes contienne au plus une personne non vaccinée. Arrondir au millième.\\
\item On admet que la loi de $X$ peut être approchée par une loi \P.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi \P.
\item On désigne par $X_1$ une \va suivant la loi de \P de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ a la valeur obtenue au \textbf{a)}.\\
Calculer une valeur approchée de $P(X_1>5)$ arrondie au millième.\\
Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}  

\noindent\textbf{C. Approximation d'une loi \bin par une loi \n}\\
\; \\
On estime que 20 \% des personnes non vaccinées sont naturellement immunisées contre le virus.\\
Parmi les personnes non vaccinées, on prélève au hasard 200 personnes.\\
On considère la \va $Y$ qui, à tout prélèvement de 200 personnes parmi les personnes non vaccinées, associe le nombre de personnes de ce prélèvement qui ne sont pas immunisées contre le virus.\\
\textbf{On admet} que $Y$ suit la loi \bin de paramètres 200 et 0,8.\\
\begin{enumerate}
\item On considère que la loi suivie par $Y$ peut être approchée par une loi \n.\\
Montrer que les paramètres de cette loi \n sont:\\
\begin{center}
$m=160$ et $\sigma \approx 5,66$ (valeur de $\sigma$ arrondie au centième).
\end{center}
\item On désigne par $Y_1$ une \va suivant la loi \n de paramètres $m=160$ et $\sigma = 5,66$.\\
On souhaite calculer la \p qu'il y ait, dans un prélèvement de 200 personnes, entre 155 et 165 personnes non immunisées contre le virus en utilisant la loi de $Y_1$ et en tenant compte de la correction de continuité.\\
Pour cela, calculer une valeur approchée de $P(154,5 \leq Y_1 \leq 165,5)$ arrondie au centième.
\end{enumerate} 

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%\newpage
%\input{formulaire.tex} 
\end{document}
