\documentclass[12pt]{article} 
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
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\def\Oij{$\left(\text{O};~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\bin{binomiale }
\def\P{de Poisson }
\def\n{normale }
\def\et{écart-type }
\def\esp{espérance }
\def\ev{évènement }
\def\prel{prélèvement }
\def\va{variable aléatoire }
\def\p{probabilité }
\def\m{moyenne }
\def\ps{probabilités }
\def\ic{intervalle de confiance }
\def\ci{condition initiale }
\def\ech{échantillon }
\def\med{médicament }
\def\t{tube }
\def\ts{tubes }

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\usepackage[frenchb]{babel} 
\begin{document}
\hfill Session 2011\\ 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR\\
SOUS-ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES\\
\qquad \\
GROUPEMENT D\\
Durée: 2 heures}\\
\end{Large}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline \qquad \qquad \qquad \qquad Spécialité  & Coefficient \\ 
\hline Analyses de biologie médicale & 1 \\ 
\hline Bio analyses et contrôles & 2 \\ 
\hline Biotechnologie & 1,5 \\ 
\hline Hygiène-propreté-environnement & 2 \\ 
\hline Industrie plastiques-europlastie-à référentiel commun européen & 1,5 \\ 
\hline Métiers de l'eau & 1,5 \\ 
\hline Peintures, encres et adhésifs & 2 \\ 
\hline Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries & 2 \\ 
\hline 
\end{tabular} \end{center}
\bigskip
\bigskip
\vfill
\textbf{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé. \\Le formulaire de mathématiques est joint au sujet.\\
La calculatrice (conforme à la circulaire n$^\circ$99-186 du 16-11-99) est autorisée.\\
\; \\
%\underline{Une feuille de papier millimétré est fournie.}
}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
%\vspace{3cm}
\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(11 points)\\

%\begin{center}
\textbf{\textit{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
%\end{center}

\noindent\textbf{A. Résolution d'une \ode}\\
On considère l'\ode $(E)$: $5y'+y=\mbox{e}^{-0,2t}$,\\
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$, \\et $y'$ la fonction dérivée de la fonction $y$.\\

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ de l'\ode $$(E_0)\;:\; 5y'+y=0 $$
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ par : $h(t)=at\mbox{ e}^{-0,2t}$,\\où $a$ est une constante réelle.\\
Déterminer $a$ pour que la fonction $h$ soit une solution particulière de l'\ode $(E)$.\\
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'\ode $(E)$.\\
\item Déterminer la solution $f$ de l'\ode $(E)$ qui vérifie la \ci : $$f(0)=0.$$\\

\end{enumerate}

\textbf{B. Étude d'une fonction.}\\
\qquad \\

\noindent Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ par : $f(t)=0,2t\mbox{ e}^{-0,2t}$.\\
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.\\
\qquad \\
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \\Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?\\
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.\\
Montrer que pour tout $t$ de l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ : $f'(t)=(-0,04t+0,2)\mbox{e}^{-0,2t}$.
\item Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ et donner son tableau de variations. On précisera les valeurs remarquables de $t$ et $f(t)$. 
\item 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. On arrondira les résultats à $10^{-2}$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline $x$ & 0 & 2,5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 \\ 
\hline $f(x)$ &  &  &  &  &  &  &  \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille de papier millimétré fournie.\\
Sur l'axe des $x$, 2 cm représentent 5 unités. Sur l'axe des $y$, 2 cm représentent 0,05 unités.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{C. Application}\\
\qquad \\
\noindent A l'aide d'une perfusion, on injecte pendant cinq minutes un \med antalgique à un patient. Après l'injection, l'organisme élimine peu à peu le \med.\\
On s'intéresse à la quantité de \med présente dans l'organisme du patient au cours du temps. L'instant $t=0$ correspond au début de l'injection.\\
On fait l'hypothèse qu'à l'instant $t$, exprimé en minute (min), la quantité de \med exprimée en millilitre (ml), est égale à $f(t)=0,2t\mbox{ e}^{-0,2t}$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie \textbf{B}.\\
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement, à une minute près, l'instant à partir duquel la quantité de \med \textbf{redevient} inférieure 0,05 ml.\\
On fera apparaître les traits de construction utiles sur le graphique.\\
\item \begin{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $\left[ 0;+\infty \right[$ par $F(t)=(-t-5)\mbox{e}^{-0,2t}$.\\
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
\item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 23]. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie à $10^{-2}$.
\item Que représente la valeur moyenne calculée au \textbf{b)} dans le contexte de l'exercice ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\qquad \\


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(9 points)\\

\begin{center}
\textbf{\textit{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}}
\end{center}

Une usine fabrique des \ts en polyéthylène pour le chauffage géothermique.\\
On s'intéresse à trois types de \ts appelés \ts de type 1, \ts de type 2 et \ts de type 3.
 
\vspace{1cm}
\noindent\textbf{A. Loi \n}\\
\; \\
\noindent Un \t de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre 1,35 millimètres et 1,65 millimètres.\\
\begin{enumerate}
\item On désigne par $X$ la \va qui, à chaque \t de type 1 prélevé au hasard dans la production d'une journée associe son épaisseur exprimée en millimètre.\\
On suppose que la \va $X$ suit la loi \n de \m 1,5 et d'\et 0,07.\\
Calculer la \p qu'un \t de type 1 prélevé au hasard dans la production de la journée soit accepté au contrôle. On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.
\item L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des \ts de type 1 : Il est envisagé pour cela de  modifier le réglage des machines produisant ces \ts.\\
On note $X_1$ la \va qui, à chaque \t de type 1, prélevé dans la production future, associera son épaisseur. On suppose que la \va $X_1$ suit une loi \n de \m 1,5 et d'\et $\sigma_1$.\\
\qquad \\
Déterminer $\sigma_1$ pour que la \p qu'un \t de type 1 prélévé au hasard dans la production future soit accepté au contrôle soit égale à 0,99.\\
On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\noindent\textbf{B. Loi \bin}\\
On considère un lot de \ts de type 2.\\
On note $E$ l'\ev \: : \og un \t prélevé au hasard dans ce lot de \ts de type 2 est défectueux. \fg . On suppose que $P(E)=0,02$.\\
On prélève au hasard 20 \ts de type 2 dans ce lot pour vérification.\\
Le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ce \prel de 20 \ts de type 2 à un tirage avec remise.\\
\quad\\
On considère la \va $Y_1$ qui, à tout \prel de 20 \ts de type 2, associe le nombre de \ts défectueux de ce \prel.\\
\begin{enumerate}
\item Justifier que la \va $Y_1$ suit une loi \bin dont on donnera les paramètres.\\
\item Calculer la \p que, dans un tel \prel, au plus un \t soit défectueux.\\
On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.\\
\end{enumerate}  

\noindent\textbf{C. Test d'hypothèse}\\
\; \\
Un client a passé une commande de \ts de type 3. La longueur de ces \ts doit être de 300 millimètres. On se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral pour contrôler, au moment de la livraison, la \m $\mu$ de l'ensemble des longueurs, en millimètres, des \ts de type 3.\\
On note $Z$ la \va qui, à chaque \t de type 3 prélevé au hasard dans la livraison, associe sa longueur en millimètres. La \va $Z$ suit la loi \n de \m inconnue $\mu$ et d'\et $\sigma=1$.\\
On désigne par $\bar{Z}$ la \va qui, à chaque \ech aléatoire de 100 \ts de type 3 prélevés dans la livraison, associe la \m des longueurs, en millimètres, des \ts de cet \ech. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise.\\
L'hypothèse nulle est $H_0$ : $\mu=300$. L'hypothèse alternative est $H_1$ : $\mu \neq 300$.\\
Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.\\
\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse $H_0$, on admet que la \va $\bar{Z}$ suit la loi \n de \m 300 et d'\et $\dfrac{1}{\sqrt{100}}=0,10$.\\
Déterminer sous cette hypothèse le nombre réel positif $h$ tel que :
$$P(300-h\leqslant \bar{Z} \leqslant 300+h)=0,95$$
On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$.\\
\item En déduire la règle de décision permettant d'utiliser ce test.\\
\item On prélève un \ech de 100 \ts de type 3 dans la livraison et on observe que, pour cet \ech, la \m des longueurs des \ts est :
$$\bar{z}\approx 299,90\:,\mbox{valeur arrondie à }10^{-2}.$$
%valeur arrondie à $10^{-2}$.\\
Peut-on, au seuil de 5 \%, conclure que la livraison est conforme pour la longueur ?
\end{enumerate} 

%Activer les lignes suivantes pour avoir le sujet complet, avec formulaire...
%\newpage
%\input{formulaire.tex} 
\end{document}
