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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\bin{binomiale }
\def\P{de Poisson }
\def\n{normale }
\def\et{écart-type }
\def\esp{espérance }
\def\ev{évènement }
\def\prel{prélèvement }
\def\va{variable aléatoire }
\def\p{probabilité }
\def\m{moyenne }
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\def\ic{intervalle de confiance }
\def\bs{bouteilles }
\def\b{bouteille }


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\begin{document} 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D}\\
\noindent Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.\\
\textbf{Session 2008}
\end{Large}
\end{center}
\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(10 points)\\

\noindent \textit{Dans cet exercice on s'intéresse à l'évolution de la température d'une tasse de thé.}

\begin{center}
\textbf{\textit{Les deux parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}
 
\vspace{1cm}
\noindent\textit{A. Résolution d'une \ode}\\

\noindent On considère l'\ode $(E)$ : $y'+0,05y=1,05$,\\
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $\left[ 0, +\infty\right[ $, et $y'$ la fonction dérivée de $y$.\\
\vspace{1cm}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $\left[ 0, +\infty\right[ $ de l'\ode $(E_0)$ :
\[y'+0,05y=0.\]
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\left[ 0, +\infty\right[ $ par $h(t)=a$, où $a$ est un nombre réel.\\
Déterminer le nombre réel $a$ pour que la fonction $h$ soit une solution particulière de l'\ode $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'\ode $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'\ode $(E)$ qui prend la valeur 100 pour $t=0$.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent\textit{B. \'Etude d'une fonction et calcul intégral}\\

\noindent Soit $f$ la fonction définie sur $\left[ 0, +\infty\right[ $ par $f(t)=79 \; e^{-0,05t}+21$.\\

\noindent On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij .\\
\textbf{\textit{La courbe $\mathcal{C}$ est donnée en annexe, à rendre avec la copie.}}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty} f(t)$.
\item Déduire du a) que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation. Tracer la droite $\Delta$ sur la figure de l'annexe.
\end{enumerate}
\item Résoudre par le calcul dans $\left[ 0, +\infty\right[ $ l'équation $f(t)=21,1$.\\
Donner la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée arrondie à $10^{-1}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item 
On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.\\
Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ de $\left[ 0, +\infty\right[ $.
\item \'Etablir le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\item Démontrer que la valeur \m $V_m$ de la fonction $f$ sur $\left[ 0, 120 \right] $ est:
\[V_m=21+\dfrac{79}{6}\left( 1-\mathrm{e}^{-6}\right)  \]
\end{enumerate}

\noindent\textit{C. Exploitation des résultats des parties A et B}\\
\noindent Du thé est mis à infuser dans une tasse placée dans une pièce où la température ambiante, supposée constante, est de 21° C.\\
Dans ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en minutes.\\
On admet que la température du thé exprimée en degrés Celsius est $f(t)$, où $f$ est la fonction définie au début de la partie \textit{B}.\\
\begin{enumerate}
\item En utilisant le résultat de la question \textit{B}.2°, donner, à la minute près, l'instant au-delà duquel la température du thé est inférieure à 21,1° C.
\item Déterminer graphiquement, à la minute près, l'instant où la température du thé est de 60° C.\\
On fera apparaître les constructions utiles sur la figure.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE \`A RENDRE AVEC LA COPIE}
\end{center}
\quad \\
\quad \\
\quad \\
\quad \\
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(12.5,12.0)
\psgrid[gridlabelcolor=white,griddots=5,subgriddiv=1](0,0)(12.0,12.0)
\psline{->}(0,0)(12.5,0)
\psline{->}(0,0)(0,12.0)
\uput[d](12.5,0){$t$}
\uput[ul](0,12.0){$y$}
\uput[d](1,0){10}
\uput[d](5,0){50}
\uput[d](10,0){100}
\uput[l](0,1){10}
\uput[l](0,10){100}
\psplot{0}{12.5}{2.7182818 0.5 x mul neg exp 7.9 mul 2.1 add}
\uput[dr](3,6){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}



\newpage
\vspace{3cm}
\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(10 points)\\


\begin{center}
\textbf{\textit{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}}
\end{center}

\textit{Un industriel de l'agroalimentaire conditionne du ketchup dans des \bs en verre.}

\textbf{\center{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-2}$.}}\\

\noindent\textit{A. Loi \n}\\
\linebreak
On désigne par $X$ la \va qui à chaque \b prélevée au hasard dans la production d'une journée associe la masse de sauce, exprimée en grammes, contenue dans cette \b.\\
On suppose que la \va $X$ suit la loi \n de \m 570 et d'\et 4.\\
Une \b n'est commercialisable que si la masse de sauce qu'elle contient est comprise entre 560 grammes et 580 grammes.\\
\begin{enumerate}
\item Calculer la \p qu'une \b prélevée au hasard dans la production de la journée soit commercialisée.
\item Calculer la \p que la masse de sauce soit supérieure ou égale à 565 grammes.\\
\end{enumerate}

\noindent\textit{B. Loi \bin et approximation d'une loi \bin par une loi \P}\\
\begin{enumerate}
\item Dans un stock important de \bs destinées aux livraisons en France, 10 \% des \bs contiennent une masse de sauce inférieure ou égale à 565 grammes.\\
Les \bs sont livrées en France par cartons de 16.\\
On prélève au hasard 16 \bs de ce stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 16 \bs.\\
On considère la \va $Y$ qui, à tout prélèvement de 16 \bs, associe le nombre de \bs de ce prélèvement qui contiennent une masse de sauce inférieure ou égale à 565 grammes.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la \va $Y$ suit une loi \bin dont on déterminera les paramètres.
\item Calculer la \p qu'aucune \b de ce prélèvement ne contienne une masse de sauce inférieure ou égale 565 grammes.
\item Calculer la \p que, dans un tel prélèvement, une \b au plus, contienne une masse de sauce inférieure ou égale 565 grammes.\\
\end{enumerate}
\item Les \bs destinées à l'exportation sont conditionnées par colis de 100.\\
On prélève au hasard 100 bouteilles pour vérification dans le stock destiné à l'exportation. Le stock est assez  important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 \bs.\\
On considère la \va $Z$ qui, à tout prélèvement de 100 \bs, associe le nombre de \bs de ce prélèvement qui contiennent une masse de sauce inférieure ou égale à 565 grammes.\\
On admet que la \va $Z$ suit la loi \bin de paramètres 100 et 0,1.
\begin{enumerate}
\item On considère que la loi suivie par $Z$ peut être approchée par une loi \P. Déterminer le paramètre de cette loi \P.
\item On désigne par $Z_1$ une \va suivant la loi \P de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est la valeur obtenue au a).\\
Calculer $P(Z_1\leqslant 5)$.\\
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\noindent\textit{C. Intervalle de confiance}\\
Dans cette partie, on s'intéresse à la masse de sucre, exprimée en grammes, contenue dans chaque \b.\\
On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 25 \bs dans un lot important.\\
Soit $\overline{S}$ la \va qui, à tout échantillon de 25 \bs prélevées au hasard et avec remise dans ce lot, associe la \m des masses de sucre contenue dans les \bs de cet échantillon.\\
On suppose que $\overline{S}$ suit la loi \n de \m inconnue $\mu$ et d'\et $\dfrac{\sigma}{\sqrt{25}}$ avec $\sigma=7$.\\
Pour l'échantillon prélevé, la \m obtenue, arrondie à $10^{-1}$, est $\overline{s}=137,7$.\\
Déterminer un \ic centré sur $\overline{s}$ de la \m $\mu$ des masses de sucre contenu dans chacune des \bs de ce lot, avec le coefficient de confiance 95 \%. 


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%\newpage
%\input{formulaire.tex} 
\end{document}
