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\begin{document} 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D}\\
\noindent Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.\\
\textbf{Session 2007}
\end{Large}
\end{center}
\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(10 points)\\

\noindent\textit{Dans cet exercice on s'intéresse à un flotteur réalisé en plastique allégé.}

\begin{center}
\textbf{\textit{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}
 
\vspace{1cm}
\noindent\textit{A. Résolution d'une équation différentielle}\\

\noindent On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'-y=-e^x$,\\
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.\\
\vspace{1cm}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $(E_0)$ :
\[y'-y=0.\]
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=-x e^{x}$.\\
Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(0)=2$.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent\textit{B. Etude d'une fonction et calcul intégral}\\

\noindent Soit $f$ la fonction définie sur [-2;2] par $f(x)=(2-x)e^x$.\\

\noindent On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij  où l'unité graphique est 2 centimètres.\\

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de [-2;2].
\item Etudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans [-2;2].
\item Etablir le tableau de variation de $f$ sur [-2;2].
\end{enumerate}
\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré.
\item
\begin{enumerate}
\item Résoudre algébriquement dans[-2;2] l'inéquation $f(x)\geqslant 2-x$.
\item Retrouver graphiquement le résultat du 3.a. On fera apparaître sur la figure du 2. les constructions utiles.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur [-2;2] par $F(x)=\left( \cfrac{1}{2}\text{ }x^2-\cfrac{5}{2}\text{ }x+\cfrac{13}{4} \right) e^{2x}$ est une primitive sur [-2;2] de la fonction $x \mapsto \left[ f(x) \right] ^2$.
\item Application :\\
On considère le solide $S$ engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation x=-2.\\
\vspace{1cm}
\textit{Le solide obtenu est utilisé pour réaliser un modèle de flotteur en plastique allégé.}\\
\vspace{1cm}
\noindent On admet que le volume $V$, en unités de volume, du solide $S$ est:
\[V=\pi \int_{-2}^2 \left[ f(x) \right] ^2 \text{d}x.\]
Etablir que $V=\cfrac{\pi}{4} (e^4-41e^{-4})$.
\item Donner la valeur approchée de $V$ en $\text{cm}^3$ arrondie à $10^{-3}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\vspace{3cm}
\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(10 points)\\
\begin{center}
\textbf{\textit{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}
\noindent \textit{Dans cet exercice, on s'interesse au contrôle de la qualité de la fabrication du modèle de flotteur décrit dans l'exercice 1.}\\
\linebreak
\noindent\textit{A. Loi binomiale}\\
\linebreak
On considère un stock important de flotteurs.\\
\linebreak
\noindent Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-2}$ près.\\
\noindent On dit qu'un flotteur est acceptable si sa masse, exprimée en grammes, appartient à l'intervalle [24,5 ; 25,5].\\
On prélève au hasard un flotteur dans le stock.\\
On note $E$ l'événement : \og le flotteur prélevé dans le stock est acceptable \fg.\\
On suppose que $P(E)=0,26$.\\
On prélève au hasard $n$ flotteurs dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement de $n$ flotteurs à un tirage avec remise.\\
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de flotteurs acceptables dans le prélèvement.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item \textbf{Dans cette question, on suppose $n=6$}.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, deux flotteurs exactement soient acceptables.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux flotteurs soient acceptables.
\end{enumerate}
\item \textbf{Dans cette question, on considère un prélèvement de $n$ flotteurs}.
\begin{enumerate}
\item Donner, en fonction de $n$ l'expression de $P(X=0)$.
\item Soit $F$ l'événement : \og Dans le prélèvement, au moins un flotteur est acceptable \fg.\\
Calculer la valeur minimale $n_0$ de $n$ telle que $P(F) \geqslant 0,95$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\noindent\textit{B. Loi normale}\\
\linebreak
Dans cette partie les résultats sont à arrondir à $10^{-2}$ près.\\
\linebreak
\noindent On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque flotteur prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe sa masse exprimée en grammes.\\
On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne 25 et d'écart-type 1,58.\\
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un flotteur prélevé au hasard dans la production de la journée ait une masse inférieure ou égale à 27 grammes
\item Calculer la probabilité qu'un flotteur prélevé au hasard dans la production de la journée ait une masse inférieure ou égale à 24,5 grammes

\end{enumerate}



\noindent\textit{C. Probabilités conditionnelles}\\
\linebreak
Dans cette partie, les résultats sont à arrondir à $10^{-4}$ près.\\
\linebreak
\noindent Les flotteurs sont fabriqués par deux machines notées $M_1$ et $M_2$.\\
60\% des flotteurs proviennent de la machine $M_1$ et 40\% proviennent de la machine $M_2$.\\
On admet que 1,3\% des flotteurs provenant de la machine $M_1$ sont défectueux et que 1,8\% des flotteurs provenant de la machine $M_2$ sont défectueux.\\
On prélève au hasard un flotteur dans la production d'un mois.\\
On considère les événements suivants:\\
$A_1$ : \og Le flotteur provient de la machine $M_1$ \fg ;\\
$A_2$ : \og Le flotteur provient de la machine $M_2$ \fg ;\\
$D$ : \og Le flotteur est défectueux \fg .\\
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(A_1)$, $P(A_2)$, $P(D/A_1)$ et $P(D/A_2)$.\\
\textit{On rappelle que $P(D/A_1)=P_{A_1}(D)$ est la probabilité de l'événement $D$ sachant que l'événement $A_1$ est réalisé.}\\
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes des probabilités $P(A_1 \cap D)$ et $P(A_2 \cap D)$.
\item En déduire la valeur exacte de la probabilité qu'un flotteur prélevé au hasard dans la production du mois soit défectueux.\\

\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un flotteur provienne de la machine $M_1$ sachant qu'il est défectueux.
\end{enumerate}



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\end{document}
