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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
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\def\ODE{équation différentielle }
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\def\bin{binomiale }
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\begin{document} 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D}\\
\noindent Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.\\
\textbf{Session 2006}
\end{Large}
\end{center}
%\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(12 points)\\

\begin{center}
\noindent\textit{\textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

\noindent Une usine produit de l'eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille dépasse 6,5 mg par litre, on dit que l'eau dans cette bouteille est calcaire.

\begin{center}
\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont, \\sauf indication contraire, à arrondir à $10^{-3}$}
\end{center}


 
\vspace{1cm}
\noindent\textit{A. Loi \bin et loi \dP}\\
\linebreak
\noindent Dans un stock important de bouteilles, 7,5 \% des bouteilles contiennent de l'eau calcaire. \\
On prélève au hasard 40 bouteilles dans le stock pour vérification du taux de calcium. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 40 bouteilles.\\
On considère la \va $X$ qui, à tout prélèvement de 40 bouteilles, associe le nombre de bouteilles de ce prélèvement qui contiennent de l'eau calcaire.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la \va $X$ suit une loi \bin dont on déterminera les paramètres.
\item On considère que la loi suivie par $X$ peut être approchée par une loi \dP .\\
Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi \dP.
\item On désigne par $X_1$ une \va suivant la loi \dP de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est la valeur obtenue au 2°.\\
Calculer $P(X_1 \leqslant 4)$.
Traduire le résultat obtenu à l'aide d'une phrase.
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}
\noindent\textit{B. \norm}\\
\linebreak
\noindent L'eau minérale provient de deux sources, notées \og source 1 \fg \quad et \og source 2 \fg . On rappelle que lorsque le taux de calcium dépasse 6,5 mg par litre dans une bouteille, l'eau de cette bouteille est dite calcaire.\\
On note $Y$ la \va qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production de la source 1, associe le taux de calcium de l'eau qu'elle contient. On suppose que la \va $Y$ suit la \norm de \mo 5 et d'\et 1,5.\\
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(Y \leqslant 6,5)$.
\item En déduire la \prob que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production de la source 1 soit calcaire.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent\textit{C. Probabilités conditionnelles}\\
\linebreak
\noindent On suppose que la \prob qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source 1 contienne de l'eau calcaire est $p_1=0,16$ et que la \prob qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production de cette journée de la source 2 contienne de l'eau calcaire est $p_2=0,10$.\\
La source 1 fournit 70 \% de la production totale des bouteilles d'eau et la source 2 le reste de cette production.\\
On prélève au hasard une bouteille d'eau parmi la production totale de la journée.\\
Toutes les bouteilles d'eau ont la même \prob d'être tirées.\\
On définit les \evs suivants:\\
$A$ : \og La bouteille d'eau provient de la source 1 \fg ;\\
$B$ : \og La bouteille d'eau provient de la source 2 \fg ;\\
$C$ : \og L'eau contenue dans la bouteille est calcaire \fg.
\begin{enumerate}
\item Déduire des informations contenues dans l'énoncé :\\
$P(A)$, $P(B)$, $P(C/A)$, $P(C/B)$.\\
(On rappelle que $P(C/A)=P_{A}(C)$ est la probabilité de l'événement $C$ sachant que l'événement $A$ est réalisé.)
\item Calculer $P(C \cap A)$ et $P(C \cap B)$.
\item Déduire de ce qui précède $P(C)$.
\item Calculer la \prob que l'eau contenue dans une bouteille provienne de la source 1 sachant qu'elle est calcaire.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent\textit{D. Intervalle de confiance}\\
\linebreak
\noindent Dans cette question on s'intéresse au taux de calcium de l'eau d'une grande quantité de bouteilles devant être livrées à une chaîne d'hypermarchés.\\
On prélève au hasard et avec remise un \ech de 100 bouteilles dans cette livraison.\\
Soit $\overline{Z}$ la \va qui, à tout \ech de 100 bouteilles prélevées au hasard et avec remise dans la livraison, associe la moyenne des taux de calcium de l'eau contenue dans chacune des bouteilles de cet \ech.\\
On suppose que $\overline{Z}$ suit la \norm de \mo inconnue $\mu$ et d'\et $\cfrac{\sigma}{10}$ avec $\sigma=0,99$.\\
Pour l'\ech prélevé, la \mo obtenue, arrondie à $10^{-2}$, est $\overline{x}=5,37$.
\begin{enumerate}
\item A partir des informations portant sur cet \ech , donner une estimation ponctuelle de la \mo $\mu$ des taux de calcium de l'eau contenue dans chacune des bouteilles de la livraison.
\item Déterminer un \ic centré sur $\overline{x}$ de la \mo $\mu$ des taux de calcium de l'eau contenue dans chacune des bouteilles de la livraison, avec le coefficient de confiance 95 \%. Arrondir les bornes à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\newpage
\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(8 points)\\

\begin{center}
\noindent\textit{\textbf{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

\vspace{1cm}
\noindent\textit{A. Résolution d'une équation différentielle}\\
\linebreak
\noindent On considère l'\ODE $(E)$: $y'+0,01y=24$ , \\
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0;+\infty[$ et $y'$ sa fonction dérivée.\\
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $[0;+\infty[$ de l'équation différentielle $(E_0)$: $y'+0,01y=0$.
\item Déterminer la constante réelle $a$ pour que la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par : $g(t)=a$ soit une solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $v$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $v(0)=0$.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\noindent\textit{B. Etude d'une fonction et calcul intégral}\\
\linebreak
\noindent Soit $v$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $v(t)=2400(1-e^{-0,01 t})$.\\
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty}v(t)$.
\item On désigne par $v'$ la fonction dérivée de la fonction $v$.\\
Calculer $v'(t)$ pour tout $t$ de $[0;+\infty[$.
\item Déduire de ce qui précède le sens de variation de la fonction $v$ sur $[0;+\infty[$.
\item Résoudre sur $[0;+\infty[$ l'équation $v(t)=1200$.\\
Donner la valeur exacte de la solution, puis une valeur arrondie à $10^{-1}$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent\textit{C. Application des résultats de la partie B}\\
\linebreak
\noindent Un réservoir contient $60 \text{ m}^3$ d'eau destinée à abreuver du bétail.\\
Dans ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en heures.\\
A l'instant $t=0$, se déverse dans le réservoir une eau polluée par une substance $M$.\\
Un système de trop plein permet de conserver à tout instant à partir de l'instant $t=0$ un volume de $60 \text{ m}^3$ dans le réservoir.\\
On admet, qu'à l'instant $t$ (exprimé en heures), le volume, \textbf{exprimé en litres}, de substance polluante $M$ présente dans le réservoir est $v(t)$, où $v$ est la fonction définie dans la partie $B$.\\
\begin{enumerate}
\item La santé du bétail est menacée lorsque le volume de substance $M$ atteint 2 \% du volume total du réservoir. Déduire d'un résultat obtenu à la partie $B$ la valeur de $t$ à partir de laquelle la santé du bétail est menacée par la présence dans le réservoir de substance $M$.
\item Le volume  de substance $M$ dans le réservoir peut-il dépasser 4 \% du volume du réservoir? Justifier la réponse à l'aide d'un résultat de la partie $B$.
\end{enumerate}



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\end{document}
