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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
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\def\ech{échantillon }
\def\norm{loi normale }
\def\et{écart-type }
\def\bin{binomiale }
\def\dP{de Poisson } 
\def\mo{moyenne }
\def\ic{intervalle de confiance }
\def\prob{probabilité }
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\def\ev{événement }
\def\evs{événements }
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\begin{document} 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D}\\
\noindent Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.\\
\textbf{Session 2005}
\end{Large}
\end{center}
%\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(12 points)\\

\begin{center}
\noindent\textit{\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

Un laboratoire pharmaceutique fabrique, en très grande quantité, un certain type de comprimés dont la masse est exprimée en milligrammes.

\begin{center}
\noindent\textbf{Dans cet exercice, les résultats sont à arrondir à $10^{-2}$}
\end{center}

\vspace{1cm}
\noindent\textit{A. Loi normale}\\
\linebreak
\noindent Un comprimé de ce type est considéré comme acceptable pour la masse lorsque celle-ci appartient à l'intervalle $[580;620]$.\\
On note $X$ la \va qui, à chaque comprimé prélevé au hasard dans la production, associe sa masse.\\
On suppose que $X$ suit la \norm de \mo 600 et d'\et 9.
\begin{enumerate}
\item Calculer la \prob qu'un comprimé choisi au hasard dans la production soit acceptable pour la masse.
\item Déterminer le nombre réel positif $a$ tel que :
\[P(600-a \leqslant x \leqslant 600+a)=0,90.\]
\end{enumerate}




\vspace{1cm}
\noindent\textit{B. Loi \bin et approximation d'une loi \bin}\\
\linebreak
\noindent On admet que 3 \% des comprimés d'un lot important ne sont pas acceptables pour la masse.\\
On prélève au hasard $N$ comprimés de ce lot pour vérification de la masse. Le lot est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $N$ comprimés.\\
On considère la \va $Y$ qui, à tout \prel de $N$ comprimés, associe le nombre de comprimés non acceptables pour la masse.
\vspace{1cm}

\begin{enumerate}
\item Justifier que la \va $Y$ suit une loi \bin dont on déteminera les paramètres.
\item Dans cette question, on prend $N=10$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la \prob que, dans un prélèvement de 10 comprimés, un comprimé exactement, ne soit pas acceptable pour la masse.
\item Calculer la \prob que, dans un prélèvement de 10 comprimés, un comprimé au moins, ne soit pas acceptable pour la masse.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $N=50$.
\begin{enumerate}
\item On considère que la loi suivie par $Y$ peut être approchée par une loi \dP . Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi \dP.
\item On désigne par $Z_1$ une \va suivant la loi \dP de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ a la valeur obtenue au a. En utilisant cette loi \dP, calculer la \prob que, dans un tel prélèvement de 50 comprimés, au plus 2 comprimés ne soient pas acceptables pour la masse.
\end{enumerate}
\item  Dans cette question, on prend $N=1000$.\\
On décide d'approcher la loi de la \va $Y$ par la \norm de \mo 30 et d' \et 5,39.\\
On note $Z_2$ une \va suivant la \norm de \mo 30 et d' \et 5,39.
\begin{enumerate}
\item  Justifier les paramètres de cette \norm.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel tel prélèvement de 1000 comprimés, au plus 25 comprimés ne soient pas acceptables pour la masse, c'est-à-dire calculer $P\left( Z_2\leqslant 25,5\right) $.
%Pourquoi 25,5 et pas 25? Mystère...
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent\textit{C. Intervalle de confiance}\\
\linebreak
\noindent Dans cette partie, on s'intéresse à la masse d'un stock important de comprimés.\\
On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100 comprimés de ce stock.\\
Soit $\overline{M}$ la \va qui, à tout \ech de 100 comprimés prélevés au hasard et avec remise dans le stock, associe la \mo des masses des comprimés de cet \ech .\\
On suppose que $\overline{M}$ suit la \norm de \mo inconnue $\mu$ et d'\et $\cfrac{\sigma}{\sqrt{100}}$ avec $\sigma=9$.\\
Pour l'\ech prélevé, la \mo obtenue est $\overline{x}=602$.\\
\begin{itemize}
\renewcommand{\labelitemi}{ }
\item Déterminer un \ic centré sur $\overline{x}$ de la \mo inconnue $\mu$ des masses des comprimés du stock considéré, avec le coefficient de confiance 95 \%.

\end{itemize}
\vspace{1cm}

%\newpage
\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(8 points)\\

\noindent On décide de mesurer en fonction du temps la quantité de \emph{principe actif } d'un médicament présent dans le sang d'un groupe de patients en traitement dans un hôpital.\\
A l'instant $t$, exprimé en minutes, on note $q(t)$ la quantité exprimée en milligrammes de ce principe actif, contenue dans le sang d'un patient.
\begin{center}
\noindent\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\vspace{1cm}
\noindent\textit{A. Résolution d'une équation différentielle}\\
\linebreak
\noindent 
\noindent On admet que la fonction $q$ est solution de l' \ode $(E)$:
\[4y'+y=-0,002 t + 2,992 \]
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$ définie et dérivable sur $[0;1440]$ et $y'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions de l'\ode $(E_0)$: $4y'+y=0$.
\item Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie sur $[0;1440]$ par $g(t)=at+b$ soit une solution particulière de l'\ode $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $q$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $q(0)=0$.


\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent\textit{B. Etude d'une fonction et calcul intégral}\\
\linebreak
\noindent On admet dans cette partie que, pour tout $t$ de $[0;1440]$, $q(t)=3-0,002t-3 e^{-\frac{t}{4}}$.\\
On rappelle que le temps $t$ est exprimé en minutes.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $q'(t)$ pour tout $t$ de $[0;1440]$.
\item Résoudre dans $[0;1440]$ l'inéquation $q'(t) \geqslant 0$.
\item En déduire le sens de variations de $q$ sur $[0;1440]$.\\
La fonction $q$ admet un maximum pour $t=t_0$. Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ près de $t_0$ et $q(t_0)$.
\end{enumerate}
\item Calculer la quantité de principe actif restant dans le sang d'un patient 24 heures après l'injection du médicament. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
\item Démontrer que la valeur \mo $V_m$ de la fonction $q$ sur $[0;1440]$ est:
\[V_m=\cfrac{1}{1440}\left( 2234,4+12 \text{e}^{-360} \right) .\]
\end{enumerate}



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%\input{formulaire.tex} 
\end{document}
