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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\va{variable aléatoire }
\def\ech{échantillon }
\def\norm{loi normale }
\def\et{écart-type }
\def\bin{binomiale }
\def\dP{de Poisson } 
\def\mo{moyenne }
\def\ic{intervalle de confiance }
\def\prob{probabilité }
\def\probs{probabilités }
\def\ev{événement }
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\def\ine{inéquation }
\def\max{maximum }
\def\min{minimum}
\def\prel{prélèvement }
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\begin{document} 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D}\\
\noindent Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.\\
\textbf{Session 2004}
\end{Large}
\end{center}
%\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(10 points)\\



\begin{center}
\noindent\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\noindent\textbf{Partie A : Résolution d'une \ode}\\
\linebreak
\noindent On considère l'\ode $(E)$ : $y'-y=2 (x+1) \text{e}^x$ où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur  $\R$ , $y'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'\ode $(E_0)$ : $y'-y=0$.
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ de façon que la fonction $g$ définie sur $\R$ par 
\[g(x)=(a x^2 + b x ) \text{e}^x\]
soit une solution particulière de $(E)$.
\item En déduire la solution générale de l'\ode $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie la condition initiale : $f'(0)=3$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent\textbf{Partie B : Etude d'une fonction}\\
\linebreak
\noindent Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x+1)^2\text{e}^x$. On note $\mathcal {C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij d'unités graphiques : 1 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et la limite de $f$ en $-\infty$ (on rappelle que, pour $\alpha > 0$, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}x^{\alpha}\text{e}^x=0$).\\
En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal {C}$.
\item Montrer que $f'(x)=(x+1)(x+3)\text{e}^x$.
\item Etudier les variations de $f$ sur $\R$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Tracer la courbe $\mathcal {C}$ dans le plan repéré par \Oij.
\item Calcul d'aire:
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $F(x)=(x^2+1)\text{e}^x$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item En déduire l'aire exacte $\mathcal {A}$, en $\text{cm}^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal {C}$, l'axe $(Ox)$ et les droites d'équations respectives $x=-1$ et $x=0$.
\item Donner la valeur arrondie de $\mathcal {A}$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(10 points)\\


\begin{center}
\noindent\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\noindent \textit{Une entreprise fabrique en grande quantité des tiges en plastique de longueur théorique 100 mm.\\
Les résultats seront arrondis au centième le plus proche.}\\
\linebreak
\noindent\textbf{Partie A : Loi normale}\\
\linebreak
\noindent Une tige est considérée comme conforme pour la \l lorsque sa\\ \l , exprimée en millimètres, est dans l'intervalle $[99,64; 100,36]$.\\
On note $X$ la \va qui, à chaque tige prise au hasard dans la production, associe sa\\ \l . On suppose que $X$ suit une \norm de \mo 100 et d'\et 0,16.
\begin{enumerate}
\item Calculer la \prob qu'une tige prélevée au hasard dans la production soit conforme pour la\\ \l.
\item Déterminer le nombre réel $a$ tel que $P(X < a)=0,96$.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\noindent\textbf{Partie B : Loi \bin et loi \dP}\\
\linebreak
\noindent Dans un lot de ce type de tiges, 2 \% des tiges n'ont pas une longueur conforme. On prélève au hasard $n$ tiges de ce lot pour vérification de  \l . Le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $n$ tiges.\\
On considère la \va $Y$ qui, à tout \prel de $n$ tiges, associe le nombre de tiges de \l non conforme.\\
\begin{enumerate}
\item Pour cette question on prend $n=50$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la \va $Y$ suit une loi \bin dont on donnera les paramètres.
\item Calculer $P(Y=3)$.
\end{enumerate}
\item Pour cette question on prend $n=100$. La \va $Y$ suit alors une loi \bin que l'on décide d'approcher par une loi \dP .
\begin{enumerate}
\item Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi \dP .
\item On désigne par $Z$ une  \va suivant la loi \dP de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est le paramètre obtenu à la question 2.a. A l'aide de l'approximation de $Y$ par $Z$, calculer la \prob d'avoir au plus 4 tiges de \l non conforme.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\newpage
\vspace{1cm}
\noindent\textbf{Partie C : Test d'hypothèse}\\
\linebreak
\noindent Un client reçoit un lot important de tiges de ce type. Il veut vérifier que la \mo $\mu$ de l'ensemble des longueurs, en mm, des tiges constituant ce lot est égale à la \l théorique.\\
On note $L$ la \va qui, à chaque tige prélevée au hasard dans le lot, associe sa \l en mm. La \va $L$ suit la \norm de \mo inconnue $\mu$ et d'\et 0,16.\\
On désigne par $\overline{L}$ la \va qui, à chaque \ech aléatoire de 90 tiges prélevé dans le lot, associe la \mo des longueurs de ces tiges (le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). $\overline{L}$ suit la \norm de \mo $\mu$ et d'\et $\sigma=\cfrac{0,16}{\sqrt{90}} \thickapprox 0,017$.\\
Le client construit un test d'hypothèse :
\begin{itemize}
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item L'hypothèse nulle est $\textbf{H}_0$ : $\mu=100$.
\item L'hypothèse alternative est $\textbf{H}_1$ : $\mu \neq100$.
\item Le seuil de signification est fixé à 5 \%.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle $\textbf{H}_0$ déterminer le réel positif $h$ tel que :
\[P(100-h < \overline{L} < 100+h)=0,95.\]
\item Enoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item Le client prélève un \ech aléatoire de 90 tiges dans la livraison et il constate que la \mo des longueurs de l'\ech est de 100,04 mm. Le client estime que le fournisseur n'a pas respecté ses engagements et renvoie tout le lot.\\
Le client a-t-il raison? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}



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%\input{formulaire.tex} 
\end{document}
