\documentclass[11pt]{article} 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\va{variable aléatoire }
\def\ech{échantillon }
\def\norm{loi normale }
\def\et{écart-type }
\def\bin{binomiale }
\def\dP{de Poisson } 
\def\mo{moyenne }
\def\ic{intervalle de confiance }
\def\prob{probabilité }
\def\probs{probabilités }
\def\ev{événement }
\def\evs{événements }
\def\ine{inéquation }
\def\max{maximum }
\def\min{minimum}
\def\tv{tableau de variations }
\def\prel{prélèvement }
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\begin{document} 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D}\\
\noindent Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.\\
\textbf{Session 2003}
\end{Large}
\end{center}
%\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(11 points)\\




\noindent\textbf{Partie A }\\
\linebreak
\noindent On considère l'\ode $(E)$ : $4y'+y=1200\text{e}^{-\frac{1}{4}x}$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la constante réelle $a$ telle que la fonction $h_1$ définie par $h_1(x)=ax\text{e}^{-\frac{1}{4}x}$ soit solution de $(E)$.
\item Résoudre l'\ode $(E_0)$ : $4y'+y=0$ et en déduire les solutions de $(E)$.
\item Déterminer la fonction $h$ solution de $(E)$ qui vérifie $h(6)=0$.\\
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Partie B }\\
\linebreak
\noindent On considère la fonction $f$ définie sur $[6;+\infty[$ par $f(x)=300(x-6)\text{e}^{-\frac{1}{4}x}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Montrer que $f'(x)=75(10-x)\text{e}^{-\frac{1}{4}x}$.
\item Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[6;+\infty[$ et donner son \tv .
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal. (unités graphiques : 0,5 cm sur l'axe des abscisses ; 1 mm sur l'axe des ordonnées)\\
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Partie C }\\
\linebreak
\noindent Une société veut vendre des machines destinées à certaines entreprises. Le prix de vente minimal est fixé à \\10 000 euros. Le nombre prévisible, $y$, de machines vendues, est fonction du prix proposé, en milliers d'euros, $x$. Une enquête auprès de clients potentiels a donné les résultats suivants:\\
\linebreak
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline $x_i$: \small{Prix proposé pour une machine} &  &  &  &  &  &  \\ 
  & 10 & 12.5 & 15 & 17.5 & 20 & 25 \\ 
 \small{en milliers d'euros} &  &  &  &  &  &  \\  
\hline \small{$y_i$: Nombre prévisible de machines}&  &  &  &  &  &  \\ 
 & 100 & 85 & 62 & 42 & 28 & 11 \\ 
 \small{vendues au prix proposé} &  &  &  &  &  &  \\  
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}
\vspace{1cm}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Représenter les six points du nuage sur le graphique de la question B4.
\item On pose $z_i=\text{ln}\left( \cfrac{y_i}{x_i-6} \right)$. Donner les valeurs de $z_i$ arrondies au millième le plus proche.
\item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ ; les coefficients seront arrondis au millième le plus proche.
\item En déduire une expression approchée de $y$ de la forme $y=\alpha (x-6) \text{e}^{\beta x}$.

\end{enumerate}
\item On admet dans cette question que le chiffre d'affaires est $g(x)=xf(x)$ pour $x \geqslant 10$, où $x$ est le prix proposé en milliers d'euros et $f$ la fonction définie dans la partie B. En étudiant les variations de la fonction $g$ déterminer pour quel prix le chiffre d'affaires est maximal et donner la valeur du maximum.
\end{enumerate}

\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(9 points)\\

\noindent Deux machines $M_A$ et $M_B$ produisent, en grande série, des objets de masse théorique 180 grammes.\\

\noindent\textbf{Partie 1 }\\
\linebreak
\noindent On note $X_A$ (respectivement $X_B$) la \va qui, à un objet pris au hasard dans la production de la machine $M_A$  (respectivement $M_B$) associe sa masse en grammes. On sait que $X_A$ (respectivement $X_B$) suit une \norm de \mo $m_A$  (respectivement $m_B$) et d'\et $\sigma_A$ (respectivement $\sigma_B$). Un objet est conforme si sa masse est comprise entre 178 g et 182 g.
\begin{enumerate}
\item On donne $m_A=179,8$ et $\sigma_A=1$. Calculer la \prob qu'un objet pris au hasard dans la production de la machine $M_A$ soit conforme.
\item On donne $m_B=180$ et on sait que 98\% des objets fabriqués par la machine $M_B$ sont conformes. Calculer l'\et $\sigma_B$ (résultat arrondi au centième).
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Partie 2 }\\
\linebreak
\noindent Dans la production totale, 40\% des objets proviennent de la machine $M_A$ et 60\% de la machine $M_B$. La machine $M_A$ produit 5\% d'objets non conformes et la machine $M_B$ en produit 2\%.
\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard un objet dans la production. Calculer la \prob que cet objet soit conforme.
\item On prélève au hasard un objet dans la production et on constate qu'il est conforme. Quelle est alors la \prob (arrondie au millième) que cet objet provienne de la machine $M_A$?\\
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Partie 3 }\\
\linebreak
\noindent On admet que 96,8\% des objets de la production sont conformes. Les objets sont stockés par boîtes de vingt. On désigne par $Y$ la \va qui associe à une boîte prise au hasard le nombre d'objets conformes de cette boîte.
\begin{enumerate}
\item Donner les paramètres de la loi \bin suivie par $Y$.
\item On choisit une boîte au hasard dans la production. Calculer la \prob des \evs suivants:
\begin{itemize}
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item tous les objets sont conformes;
\item au moins dix-huit objets sont conformes.\\
\end{itemize}
\end{enumerate} 

\noindent\textbf{Partie 4 }\\
\linebreak
\noindent On admet que la \va $\overline{X}$ qui associe à un \ech de taille 100 sa masse \mo en grammes suit une \norm de \mo $m$ et d'\et 0,092.\\
La valeur exacte de la masse \mo $m$ des objets étant inconnue, on prélève au hasard un \ech de 100 objets dont la masse \mo est 179,93 g . Déterminer un \ic, au seuil de risque 10\%, de la valeur de $m$.



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%\input{formulaire.tex} 
\end{document}
