\documentclass[11pt]{article} 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\va{variable aléatoire }
\def\ech{échantillon }
\def\norm{loi normale }
\def\et{écart-type }
\def\bin{binomiale }
\def\dP{de Poisson } 
\def\mo{moyenne }
\def\ic{intervalle de confiance }
\def\prob{probabilité }
\def\probs{probabilités }
\def\ev{événement }
\def\evs{événements }
\def\ine{inéquation }
\def\max{maximum }
\def\min{minimum}
\def\tv{tableau de variations }
\def\prel{prélèvement }
\def\otg{orthogonal }
\def\otn{orthonormal }
\def\exp{\text{e}^}
\def\d{disque }
\def\ds{disques }
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\begin{document} 
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D}\\
\noindent Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.\\
\textbf{Session 2002}
\end{Large}
\end{center}
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\noindent\textbf{EXERCICE 1 }(11 points)\\

\noindent Les trois parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.\\
%\vspace{1cm}
\noindent Pour une étude cardio-vasculaire, on effectue une perfusion lente à débit constant d'une solution marquée par un indicateur radio-actif.\\
\vspace{1cm}


\noindent\textbf{Partie A : Etude expérimentale}\\
\linebreak
\noindent On relève l'évolution de la concentration au niveau du ventricule droit et on obtient les résultats suivants:\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline $i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 
\hline $t_i$ : \small{temps en minutes} & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 \\ 
\hline $c_i$: \small{concentration en } &  &  &  &  &  &  &  \\ 
  & 0 & 54 & 84 & 100 & 109 & 114 & 117 \\ 
 \small{      microgrammes par cm}$^3$ &  &  &  &  &  &  &  \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}
\noindent Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième le plus proche.
\begin{enumerate}
\item On pose $z_i=\text{ln}(120-c_i)$ (ln désigne le logarithme néperien).\\
Donner les valeurs de $z_i$ pour $i$ variant de 1 à 7.
\item Déterminer par la méthode des moindres carrés une équations de la droite de régression de $z$ en $t$.
\item Donner une expression de la concentration $c$ en fonction de $t$ déduite de cet ajustement.
\vspace{1cm}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent\textbf{Partie B : Résolution d'une \ode}\\
\linebreak
\noindent On admet que la fonction $c$ est solution de l'\ode (E) : $y'+0,3y=36$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'\ode : $y'+0,3y=0$.
\item Déterminer une solution constante de l'\ode (E).
\item En déduire les solutions de (E) et donner la fonction $c$ solution qui vérifie $c(0)=0$.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\noindent\textbf{Partie C : Etude d'une fonction}\\
\linebreak
\noindent Soit la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(t)=120(1-\exp{-0,3t})$.
\begin{enumerate}
\item Chercher les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$; que peut-on en déduire pour sa courbe représentative?
\item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère \otg (unités : 1,5 cm pour une unité en abscisse et 1 mm  pour une unité en ordonnée).
\item Calculer la valeur \mo de $f$ sur l'intervalle $[2 ; 12 ]$ et en donner une valeur approchée à une unité près.
\end{enumerate}

\newpage

\noindent\textbf{EXERCICE 2 }(9 points)\\

\noindent Un atelier produit en grande série des disques de diamètre nominal 25 mm.\\

\noindent\textbf{Partie A }\\
\linebreak
\noindent On désigne par $X$ la \va qui à chaque \d de la production, associe son diamètre en mm. On admet que $X$ suit une \norm de \mo $m$ et d'\et $\sigma$. Un \d est considéré comme valable si son diamètre est compris entre 24,90 mm et 25,08 mm, sinon il est considéré comme défectueux.
\begin{enumerate}
\item On suppose que $\sigma=0,04$. Calculer la \prob qu'un \d pris au hasard dans la production soit défectueux, dans chacun des deux cas suivants:
\begin{enumerate}
\item $m=25$
\item $m=24,99$
\end{enumerate}
\item On note $\overline{X}$ la \va qui, à chaque \ech de 100 \ds de la production, associe la \mo des diamètres de ces 100 \ds . On admet que $\overline{X}$ suit la \norm de \mo $m$ et d'\et 0,004.\\
On prélève au hasard et avec remise un \ech de 100 \ds dans la production. On souhaite construire un test bilatéral de validité d'hypothèse, pour savoir si l'on peut considérer, au risque de 5\%, que la \mo $m$ des diamètres des \ds de la production est égale à 25.
\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle $H_0$ ($m=25$), calculer la valeur du réel $d$ tel que:
\[P(\left| \overline{X}-25 \right| < d)=0,95.\]
\item La \mo des diamètres des 100 \ds de l'\ech prélevé dans la production est 24,994. Quelle est la conclusion du test ?
\vspace{1cm}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Partie B }\\
\linebreak
\noindent On suppose que 3\% des \ds de la production sont défectueux. On prélève au hasard un lot de 60 \ds dans la production; la production étant très importante, ce \prel peut être assimilé à un tirage avec remise.\\
On désigne par $Y$ la \va qui, à chaque lot de 60 \ds , associe le nombre de \ds défectueux.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par $Y$? Donner ses paramètres.
\item Calculer la \prob qu'un lot de 60 \ds contienne au moins deux \ds défectueux (arrondir au millième le plus proche).
\end{enumerate}
\item On admet que la loi de $Y$ peut être approchée par une loi \dP.
\begin{enumerate}
\item Donner le paramètre de cette loi \dP.
\item En utilisant cette loi \dP, calculer la \prob qu'un lot de 60 \ds contienne au moins  deux \ds défectueux (arrondir au millième le plus proche).
\end{enumerate}
\end{enumerate}




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%\input{formulaire.tex} 
\end{document}
